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用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子，叫做代數(shù)式，有理式和無理式統(tǒng)稱代數(shù)式，整式和 分式統(tǒng)稱有理式．
有條件的二次根式的化簡(jiǎn)求值問題是代數(shù)式的化簡(jiǎn)求值的重點(diǎn)與難點(diǎn)．這類問題包容了有理式的眾多知識(shí)，又涉及最簡(jiǎn)根式、同類根式、有理化等二次根式的重要概念，同時(shí)聯(lián)系著整體代入、分解變形、構(gòu)造關(guān)系式等重要的技巧與方法，解題的關(guān)鍵是，有時(shí)需把已知條件化簡(jiǎn)，或把已知條件變形，有時(shí)需把待求式化簡(jiǎn)或變形，有時(shí)需把已知條件和待求式同時(shí)變形．
例題求解
【例l】已知 ，那么 的值 等于 ．
(河北省初中數(shù)學(xué)創(chuàng)新與知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽題)
思路點(diǎn)撥 通過平方或分式性質(zhì)，把已知條件和待求式的被開方數(shù)都用 的代數(shù)式表示．
【例2】 滿足等式 的正整數(shù)對(duì)(x，y)的個(gè)數(shù)是( )
A．1 B． 2 C． 3 D． 4
(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)
思路點(diǎn)撥 對(duì)條件等式作類似于因式分解的變形，將問題轉(zhuǎn)化為求不定方程的正整數(shù)解．
【例3】已知a、b是實(shí)數(shù)，且 ，問a、b之間有怎樣的關(guān)系?請(qǐng)推導(dǎo)．
(第20屆俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題改 編)
思路點(diǎn)撥 由特殊探求一般，在證明一般性的過程中， 由因?qū)Ч�，從化�?jiǎn)條件等式入手，而化簡(jiǎn)的基本方法是有理化．
【例4】 已知： (0 (四川省中考題)
思路點(diǎn)撥 視 為整體，把 平 方 ，移項(xiàng)用含a代數(shù)式表示 ，注意0 【例5】 (1)設(shè)a、b、c、d為正實(shí)數(shù)，aad，有一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為 ， ， ，求此三角形的面積；
( “五羊杯”競(jìng)賽題)
（2）已知a，b均為正數(shù)，且a+b=2，求U= 的最小值．
(北京市競(jìng)賽題)
思路點(diǎn)撥 (1)顯然不能用面積公式求三角形面積(為什么?)， 的幾何意義是以a、c為直角邊的直角三角形的 斜邊，從構(gòu)造圖形人手，將復(fù)雜的根式計(jì)算轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決；(2)用代數(shù)的方法求U的最小值較繁，運(yùn)用對(duì)稱分析，借助圖形求U的最小值．
學(xué)力訓(xùn)練
1．已知 ， ，那么代數(shù)式 值為 ．
2．若 (03．已知 ，則 的值．
(2武漢市中考題)
4．已知a是 的小數(shù)部分，那么代數(shù)式 的值為 ．
(黃石市中考題)
5．若 ，則 的值是( )
A．2 B．4 C．6 D． 8 (河南省競(jìng)賽題)
6．已知實(shí)數(shù)a滿足 ，那么 的值是( )
A．1999 B．2000 C ．2001 D．2002
7．設(shè) ， , ，則a、b、c之間的大小關(guān)系是( )
A．a(chǎn)8．設(shè) ，則 的值為( )
A． B． C． D ．不能確定
9．若a>0，b>0， 且 ，求 的值．
10．已知 ，化簡(jiǎn) ．
11．已知 ，那么 = ．
( “信利杯”全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)
12．已知 ，則 = ．
13．已知 的最小值為= ．（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）
14．已知 ，則 = ．
(江蘇省競(jìng)賽題)
15．1+a2如果 ， ， ，那么a3b3－c3的值為( )
A．2002 B．200 1 C．1 D．0
(武漢市選拔賽試題)
16．已知 ， ， ，那么a、b、c的大小關(guān)系是( )
A．a(chǎn) (全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)
17．當(dāng) 時(shí)，代數(shù)式 的值是( )
A． 0 B．一1 C． 1 D．－ 22003 (2002年紹興市競(jìng)賽題)
18．設(shè)a、b、c為有理數(shù)，且等式 成立，則2a+999b+1001c的值是( )
A．1999 B． 2000 C． 2001 D．不能確定
(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)
19．某船在點(diǎn)O處測(cè)得一小島上的電視塔A在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到達(dá)B處，測(cè)得電視塔在船的西北方向，問再向西航行多少海里，船離電視塔最近?
20．已知實(shí)數(shù) a、b滿足條件 ，化簡(jiǎn)代數(shù)式 ，將結(jié)果表示成不含b的形式．
21．已知 (a>0)，化簡(jiǎn)： ．

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