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【例題求解】
【例1】 如圖，PT切⊙O于點T，PA交⊙O于A、B兩點，且與直徑CT交于點D，CD=2，AD=3，BD=6，則PB= ．
(成都市 中考題)
思路點撥 綜合運用圓冪定理、勾股定理求PB長．

注：比例線段是幾何之中一個重要問題，比例線段的學習是一個由一般到特殊、不斷深化的過程，大致經(jīng)歷了四個階段：
(1)平行線分線段對應(yīng)成比例；
(2)相似三角形對應(yīng)邊成比例；
(3)直角三角形中的比例線段可以用積的形式簡捷地表示出來；
(4)圓中的比例線段通過圓冪定理明快地反映出來．

【例2】 如圖，在平行四邊形ABCD中，過A、B、C三點的圓交AD于點E，且與CD相切， 若AB=4，BE=5，則DE的長為( )
A．3 B．4 C． D．
(全國初中數(shù)學聯(lián)賽題)
思路點撥 連AC，CE，由條件可得許多等線段，為切割線定理的運用創(chuàng)設(shè)條件．


注：圓中線段的算，常常需要綜合相似三角形、直角三角形、圓冪定理等知識，通過代數(shù)化獲解，加強對圖形的分解，注重信息的重組與整合是解圓中線段計算問題的關(guān)鍵．

【例3】 如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是∠O的直徑，PA是過A點的直線，∠PAC=∠B．
(1)求證：PA是⊙O的切線；
(2)如果弦CD交AB于E，CD的延長線交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，，AE：BE=2：3，求AB的長和∠ECB的正切值．
(北京市海淀區(qū)中考題)
思路點撥 直徑、切線對應(yīng)著與圓相關(guān)的豐富知識．(1)問的證明為切割線定理的運用創(chuàng)造了條件；引入?yún)��?shù)x、k處理(2)問中的比例式，把相應(yīng)線段用是的代數(shù)式表示，并尋找x與k的關(guān)系，建立x或k的方程．

【例4】 如圖，P是平行四邊形AB的邊AB的延長線上一點，DP與AC、BC分別交于點E、E，EG是過B、F、P三點圓的切線，G為切點，求證：EG=DE
(四川省競賽題)
思路點撥 由切割線定理得EG2=EF?EP，要證明EG=D E，只需證明DE2=EF?EP，這樣通過圓冪定理把線段相等問題的證明轉(zhuǎn)化為線段等積式的證明．

注：圓中的許多問題，若圖形中有適用圓冪定理的條件，則能化解問題的難度，而圓中線段等積式是轉(zhuǎn)化問題的橋梁．
需要注意的是，圓冪定理的運用不僅局限于計算及比例線段的證明，可拓展到平面幾何各 種類型的問題中．
【例5】 如圖，以正方形ABCD的AB邊為直徑，在正方形內(nèi)部作半圓，圓心為O，DF切半圓于點E，交AB的延長線于點F，BF＝4．
求：(1)cos∠F的值；(2)BE的長．
(成都市中考題)
思路點撥 解決本例的基礎(chǔ)是：熟悉圓中常用輔助線的添法(連OE，AE)；熟悉圓中重要性質(zhì)定理及角與線段的轉(zhuǎn)化方法．對于(1)，先求出EF，F(xiàn)O值；對于(2)，從△BE F∽△EAF，Rt△A EB入手．


注：當直線形與圓結(jié)合時就產(chǎn)生錯綜復雜的圖形，善于分析圖形是解與圓相關(guān)綜合題的關(guān)鍵，分析圖形可從以下方面入手：
(1)多視點觀察圖形．如本例從D點看可用切線長定理，從F點看可用切割線定理．
(2)多元素分析圖形．圖中有沒有特殊點、特殊線、特殊三角形、特殊四邊形、全等三角形、相似三角形．
(3)將以上分析組合，尋找聯(lián)系．

學力訓練
1．如圖，PT是⊙O的切線，T為切點，PB是⊙O的割線，交⊙O于A、B兩點，交弦CD于點M，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，則PT的長為 ．
(紹興市中考題)
2．如圖，PAB、PCD為⊙O的 兩條割線，若PA=5，AB=7，CD=11，則AC：BD= ．
3．如圖，AB是⊙O的直徑，C是AB延長線上的一點，CD是⊙O的切線，D為切點，過點B作⊙O的切線交CD于點F，若AB=C D=2，則CE= ．
(天津市中考題)

4．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以AC為直徑作圓與斜邊交于點P，則BP的長為( )
A．6．4 B．3．2 C ．3．6 D．8
(蘇州市中考題)


5．如圖，⊙O的弦AB平分半徑OC，交OC于P點，已知PA、PB的長分別為方程 的兩根，則此圓的直徑為( )
A． B． C． D．
(昆明市中考題)


6．如圖，⊙O的直徑Ab垂直于弦CD，垂足為H，點P是AC上一點(點P不與A、C兩點重合)，連結(jié)PC、PD、PA、AD，點E在AP的延長線上，PD與AB交于點F，給出下列四個結(jié)論：①CH2=AH?BH；②AD＝AC：③AD2=DF?DP；④∠EPC=∠APD，其中正確的個數(shù)是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(福州市中考題)
7．如圖，BC是半圓的直徑，O為圓心，P是BC延長線上一點，PA切半圓于點A，AD⊥BC于點D．
(1)若∠B =30°，問AB與AP是否相等?請說明理由；
(2)求證：PD?PO=PC?PB；
(3)若BD：DC=4：l，且BC＝10，求PC的長．
(紹興市中考題)
8．如圖，已知PA切⊙O于點A，割線PBC交⊙O于點B、C，PD⊥AB于點D，PD、AO的延長線相交于點E，連CE并延長交⊙O于點F，連AF．
(1)求證：△PBD∽△PEC；
(2)若AB=12，tan∠EAF= ，求⊙O的半徑的長．
(北京市崇文區(qū)中考題)
9．如圖，已知AB是⊙O的直徑，PB切⊙O于點B，PA交⊙O于點C，PF分別交 AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰哈好是關(guān)于x的方程 (其中 為實數(shù))的兩根．
(1)求證：BE=BD；(2)若GE?EF= ，求∠A的度數(shù)．
(山西省中考題)


10．如圖，△ABC中，∠C=90°，O為AB上一點，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB相交于點E，與AC相切于點D，已知AD=2，AE=1，那么BC= ．
(山東省臨沂市中考題)


11．如圖，已知A、B、C、D在同一個圓上，BC=CD，AC與BD交于E，若AC=8，CD=4，且線段BE、ED為正整數(shù)，則BD= ．

12．如圖，P是半圓O的直徑BC延長線上一點，PA切半圓于點A，AH⊥BC于H，若PA=1，PB+PC= ( >2)，則PH=( )
A． B． C． D．
13．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，弦EF經(jīng)過BC的中點D，且EF∥AB，若AB=2，則DE的長為( )
A． B． C． D．1
14．如圖，已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，延長BC至D，使CD=BC，CE⊥AD于E，B
E交⊙O于F，AF交CE于P，求證：PE=PC．
(太原市競賽題)

15．已知：如 圖，ABCD為正方形，以D點為圓心，AD為半徑 的圓弧與以BC為直徑的⊙O相交于P、C兩點，連結(jié)AC、AP、CP，并延長CP、AP分別交AB、BC、⊙O于E、H、F三點，連結(jié)OF．
(1)求證：△AEP∽△CEA；(2)判斷線段AB與OF的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(3)求BH:HC (四川省中考題)
16．如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，PEC是一條割線，D是AB與PC的交點，若PE=2，CD=1，求DE的 長．
(國家理科實驗班招生試題)



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