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九．幾何應(yīng)用題
幾何應(yīng)用問題是近幾年來中考的一大考點(diǎn)，它是把幾何知識(shí)與實(shí)際問題相結(jié)合的一類題型，一般有這樣幾類：（一）三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用；（二）幾何設(shè)計(jì)問題；（三）折線運(yùn)動(dòng)問題；（四）幾何綜合應(yīng)用問題。解決這類問題時(shí)，應(yīng)結(jié)合實(shí)際問題的背景，抽象出幾何模型，利用幾何知識(shí)加以解決，然后再回到實(shí)際問題，進(jìn)行檢驗(yàn)、解釋、反思，解題時(shí)應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想。
一、三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用
例1．某校把一塊形狀為直角三角形的廢地開辟為生物園，如圖所示，∠ACB=90，AC=80米，BC=60米。
（1）若入口E在邊AB上，且A，B等距離，求從入口E到出口C的最短路線的長(zhǎng)；
（2）若線段CD是一條水渠，且D點(diǎn)在邊AB上，已知水渠的造價(jià)為10元/米，則D點(diǎn)在距A點(diǎn)多遠(yuǎn)處時(shí)，此水渠的造價(jià)最低？最低造價(jià)是多少？

分析：本題是一道直角三角形的應(yīng)用問題，解決此題首先要弄清等距離，最短路線，最低造價(jià)幾個(gè)概念。
1．E點(diǎn)在AB上且與AB等距離，說明E點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，E點(diǎn)到C點(diǎn)的最短路線即為線段CE。
2．水渠DC越短造價(jià)越低，當(dāng)DC垂直于AB時(shí)最短，此時(shí)造價(jià)最低。
本題考察了中點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)的距離，點(diǎn)與直線的距離，以及解直角三角形的知識(shí)。
解：（1）由題意知，從入口E到出口C的最短路線就是Rt△ABC斜邊上的中線CE。
在Rt△ABC中，AB= （米）。
∴CE= AB= ×100=50（米）。
即從入口E到出口C的最短路線的長(zhǎng)為50米。
（3）當(dāng)CD是Rt△ABC斜邊上的高時(shí)，CD最短，從而水渠的造價(jià)最低。
∵CD?AB=AC?BC，∴CD= 米）。
∴AD= =64（米）。所以，D點(diǎn)在距A點(diǎn)64米的地方，水渠的造價(jià)最低，其最低造價(jià)為48 10=480元。
例2．一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長(zhǎng)為1.5米，面積為1.5平方米，要把它加工成一個(gè)面積最大的正方形桌面，甲乙兩位同學(xué)的加工方法分別如圖1，圖2所示，請(qǐng)你用學(xué)過的知識(shí)說明哪位同學(xué)的加工方法符合要求。（加工損耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)可保留）。

分析：本題是一道利用相似三角形性質(zhì)來解決的幾何應(yīng)用問題�？上仍O(shè)出正方形邊長(zhǎng)，利用對(duì)應(yīng)邊成比例，列方程求解邊長(zhǎng)，邊長(zhǎng)大則面積大。
解：由AB=1.5米，S△ABC=1.5平方米，得BC=2米.設(shè)甲加工的桌面邊長(zhǎng)為ｘ米，∵DE//AB，Rt△CDE∽R(shí)t△CBA ,∴ ，即 ，解得 。如圖，過點(diǎn)B作Rt△ABC斜邊AC的高BH，交DE于P，并AC于H。由AB＝1.5米，BC＝2米， 平方米，C＝2.5米，BH＝1.2米。設(shè)乙加工的桌面邊長(zhǎng)為y米，∵DE//AC，Rt△BDE∽R(shí)t△BAC，∴ ，即 ，解得 。因?yàn)?，即 ， ，所以甲同學(xué)的加工方法符合要求。

二、幾何設(shè)計(jì)問題
例3.在一服裝廠里有大量形狀為等腰三角形的邊角布料（如圖）�，F(xiàn)找出其中的一種，測(cè)得∠C＝90°，AB＝BC＝4，今要從這種三角形中剪出一種扇形，做成不同形狀的玩具，使扇形的邊緣半徑恰好都在△ABC的邊上，且扇形與△ABC的其他邊相切。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出所有可能符合題意的方案示意圖，并求出扇形的半徑（只要求畫出圖形，并直接寫出扇形半徑）。
分析：本題考察分類討論，切線的性質(zhì)以及作圖能力。本題的關(guān)鍵是找出圓心和半徑，分類時(shí)應(yīng)考慮到所有情況，可以先考慮圓心的位置，在各邊上或在各頂點(diǎn)，然后排除相同情況。
解：可以設(shè)計(jì)如下四種方案：

例4.小明家有一塊三角形菜地，要種植面積相等的四種蔬菜，請(qǐng)你設(shè)計(jì)四種不同的分割方案（分成三角形或四邊形不限）。


分析：本題如從三角形面積方面考慮可以把其中一邊四等分，再分別與對(duì)角頂點(diǎn)連結(jié)；也可從相似三角形性質(zhì)來考慮。
解：
三、折線運(yùn)動(dòng)問題
例5. 如圖，客輪沿折線A―B―C從A出發(fā)經(jīng)B再到C勻速航行，貨輪從AC的中點(diǎn)D出發(fā)沿直線勻速航行，將一批物品送達(dá)客輪．兩船同時(shí)起航，并同時(shí)到達(dá)折線A―B―C上的某點(diǎn)E處．已知AB＝BC＝200海里，∠ABC＝90°，客輪速度是貨輪速度的2倍．
(1) 選擇：兩船相遇之處E點(diǎn)在 ( )．
（A）線段AB上 （B）線段BC上 （C）可以在線段AB上，也可以在線段BC上
(2) 求貨輪從出發(fā)到兩船相遇共航行了多少海里？(結(jié)果保留根號(hào))
分析：本題是一道折線運(yùn)動(dòng)問題，考察合情推理能力和幾何運(yùn)算能力，首先要對(duì)兩船同時(shí)到達(dá)的E點(diǎn)作一個(gè)合理判斷，E點(diǎn)不可能在AB上，因?yàn)楫?dāng)E點(diǎn)在AB上時(shí)，DE的最短距離為D到AB中點(diǎn)的距離，而此時(shí)AB=2DE，當(dāng)E不是中點(diǎn)時(shí)，AB<2DE，所以E點(diǎn)不可能在AB上。然后利用代數(shù)方法列方程求解DE

解：（1）B
（2）設(shè)貨輪從出發(fā)到兩船相遇共航行了x海里．
過D作DF⊥CB，垂足為F，連結(jié)DE．則DE=x，AB+ BE=2x．
∵在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝200，D是AC中點(diǎn)，
∴DF＝100，EF＝300－2x．
在Rt△DEF中，DE 2＝DF 2 +EF 2，
∴x 2＝100 2+(300－2x) 2
解之，得 ．
∵ ＞200，
∴DE= ．
答：貨輪從出發(fā)到兩船相遇共航行了 海里．
四、綜合類幾何應(yīng)用

例6 .如圖1，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且∠QPN=30 ，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160米。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100米以內(nèi)會(huì)受到噪聲的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響？請(qǐng)說明理由；如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18千米/時(shí)，那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？

分析：本題是一道關(guān)于解直角三角形和圓的幾何綜合應(yīng)用問題
要判斷是否受到噪聲的影響，只需求出A點(diǎn)到直線MN
的距離AB，當(dāng)此AB≤100米時(shí)就要受到噪聲影響；第二
個(gè)問題只需要噪聲影響路段的長(zhǎng)度，就能求出受影響的時(shí)間。
解：過點(diǎn)A作AB⊥MN，垂足為B
在Rt△ABP中：∠APB=∠QPN=30°
AP=160米
則AB= AP=80米，所以
學(xué)校會(huì)受到噪聲影響。
以A為圓心，100米為半徑作?A,交MN于C、D兩點(diǎn)，在Rt△ABC中：AC=100米，AB=80米
則：BC= （米）
∴CD=2BC=120（米）；∵18千米/小時(shí)=5米/秒
∴受影響時(shí)間為：120米÷5米/秒=24（秒）
例7. 馬戲團(tuán)演出場(chǎng)地的外圍圍墻是用若干塊長(zhǎng)為5米、寬2.5米的長(zhǎng)方形帆布縫制成的，兩塊帆布縫合的公共部分是0.1米，圍成的圍墻高2.5米（如下圖）
(1) 若先用6塊帆布縫制成寬為2.5米的條形，求其長(zhǎng)度；
(2) 若用x塊帆布縫制成密封的圓形圍墻，求圓形場(chǎng)地的周長(zhǎng)y與所用帆布的塊數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式；
(3) 要使圍成的圓形場(chǎng)地的半徑為10米，至少需要買幾塊這樣的帆布縫制圍墻?
分析：本題的關(guān)鍵是弄清縫制成條形和縫制成密封的圓形后有幾塊公共部分。
解：(1)6塊帆布縫制成條形后，有5塊公共部分，所以6塊縫制后的總長(zhǎng)度為6×5－5×0.1＝29.5(米)
(2)x塊帆布縫制成密封的圓形圍墻后有x塊公共部分，設(shè)圓形圍墻的周長(zhǎng)為米，則y=5x-0.1x=4.9x，所以y=4.9x
(3)要圍成半徑為10米的圓形場(chǎng)地，則2π×10＝4.9x
(塊)
要到商店買這樣的帆布13塊。
解幾何應(yīng)用問題要求我們必須具備扎實(shí)的幾何基礎(chǔ)知識(shí)，較強(qiáng)的閱讀理解能力，以及對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握，只要我們有針對(duì)性地復(fù)習(xí)，就一定能掌握好幾何應(yīng)用問題的解決方法。
練習(xí)：
1、 在生活中需測(cè)量一些球（如足球、籃球…）的直徑。某校研究性學(xué)習(xí)小組，通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)下面的測(cè)量方法：如圖8，將球放在水平的桌面上，在陽光的斜射下，得到球的影子AB，設(shè)光線DA、CB分別與球相切于點(diǎn)E、F，則EF即為球的直徑。若測(cè)得AB的長(zhǎng)為40 cm，∠ABC＝30°。請(qǐng)你計(jì)算出球的直徑（精確到1 cm）。


2、 如圖；某人在公路上由A到B向東行走，在A處測(cè)得公路旁的建筑物C在北偏東
60°方向。到達(dá)B處后，又測(cè)得建筑物C在北偏東45°方向。繼續(xù)前進(jìn)，若此人在行走過程中離建筑物C的最近距離是（25 +25）米，求AB之間的距離。

3、 操作：將一把三角尺放在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上滑動(dòng)，直角的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)B，另一邊與射線DC相交于點(diǎn)Q。
探究：設(shè)A，P兩點(diǎn)間的距離為x。
（1）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，線段PQ與線段PB有怎樣的大小關(guān)系？試證明你觀察得到的結(jié)論；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，設(shè)四邊形PBCQ的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上滑動(dòng)時(shí)，△PCQ是否可能成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成為等腰三角形的點(diǎn)Q的位置，并求出相應(yīng)的x的值；如果不可能，試說明理由。（圖1，圖2，圖3的形狀，大小相同，圖1供操作實(shí)驗(yàn)用，圖2和圖3備用）
A D A D A D


本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.douzifanli.com/chusan/75659.html

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