福建師大附中2012-2013學(xué)年高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本大題有12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1．（5分）命題：“?x∈R，x2?x+2≥0”的否定是（ ） A．?x∈R，x2?x+2≥0B．?x∈R，x2?x+2≥0C．?x∈R，x2?x+2＜0D．?x∈R，x2?x+2＜0考點(diǎn)：命題的否定．.分析：利用含量詞的命題的否定形式是：將“?“改為“?”結(jié)論否定，寫出命題的否定．解答：解：利用含量詞的命題的否定形式得到：命題：“?x∈R，x2?x+2≥0”的否定是“?x∈R，x2?x+2＜0”故選C點(diǎn)評：考查含有全稱量詞的命題的否定．注意與否命題的區(qū)別． 2．（5分）下列有關(guān)命題的說法正確的是（ �。．命題“若x2=1，則x=1”的否命題為“若x2=1，則x≠1” B．命題“若x=y，則x2=y2”的逆否命題是假命題 C．命題“若a2+b2≠0，則a，b全不為0”為真命題 D．命題“若α≠β”，則cosα≠cosβ”的逆命題為真命題考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用；四種命題．.專題：閱讀型．分析：根據(jù)否命題的定義，寫出否命題判斷A是否正確；根據(jù)命題與其逆否命題同真、同假，通過判定命題的真假來判斷B是否正確；根據(jù)命題的條件與結(jié)論，判斷C是否正確；寫出否命題，根據(jù)否命題與逆命題是互為逆否命題，來判斷D的真確性．解答：解：對A，否命題應(yīng)是：若x2≠1，則x≠1，∴A錯(cuò)誤；∵命題是真命題，∴其逆否命題也是真命題，故B錯(cuò)誤；∵若a2+b2≠0，a、b可有一個(gè)為零，∴C錯(cuò)誤；對D，否命題是：若α=β，則cosα=cosβ．是真命題，∴D正確．點(diǎn)評：本題考查命題的真假判斷及四種命題關(guān)系． 3．（5分）拋物線y=ax2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ �。．B．C．D．考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)．.專題：計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，得到其焦點(diǎn)在y軸上．再分a的正負(fù)進(jìn)行討論，分別對照焦點(diǎn)在y軸上拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式，即可得到該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)．解答：解：∵拋物線y=ax2的標(biāo)準(zhǔn)形式是x2=y∴y=ax2表示焦點(diǎn)在y軸上的拋物線，而焦點(diǎn)在y軸的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=2py或x2=?2py，（p＞0）①當(dāng)a＞0時(shí)，2p=，可得=，此時(shí)焦點(diǎn)為F（0，）；②當(dāng)a＜0時(shí)，2p=?，可得=?，∵焦點(diǎn)為F（0，?），∴該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，）綜上所述，拋物線的焦點(diǎn)為F（0，）故選：C點(diǎn)評：本題給出拋物線的方程含有字母參數(shù)a，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)，著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題． 4．（5分）已知正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E為上底面A1C1的中心，若+，則x、y的值分別為（ �。．x=1，y=1B．x=1，y=C．x=，y=D．x=，y=1考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征；空間向量的加減法．.專題：計(jì)算題；作圖題．分析：畫出正方體，表示出向量，為+的形式，可得x、y的值．解答：解：如圖，++（）．故選C．點(diǎn)評：本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，向量加減運(yùn)算，是基礎(chǔ)題． 5．（5分）在如圖所示的正方體A1B1C1D1ABCD中，E是C1D1的中點(diǎn)，則異面直線DE與AC夾角的余弦值為（ �。．?B．?C．D．考點(diǎn)：異面直線及其所成的角．.專題：計(jì)算題；空間角．分析：取A1D1中點(diǎn)，連接EF、DF、A1C1，用三角形的中位線和平行線的傳遞性，證出EF∥AC，得∠DEF（或其補(bǔ)角）就是異面直線DE與AC所成的角．然后在△DEF中求出各邊的長，再利用余弦定理即可算出異面直線DE與AC夾角的余弦值．解答：解：取A1D1中點(diǎn)，連接EF、DF、A1C1，∵正方形ABCD?A1B1C1D1中，A1A∥C1C且A1A=C1C∴四邊形AA1C1C是平行四邊形，可得A1C1∥AC又∵△A1C1D1中，EF是中位線∴EF∥A1C1，且EF=A1C1．由此可得EF∥AC，得∠DEF（或其補(bǔ)角）就是異面直線DE與AC所成的角設(shè)正方體的棱長為a，則△DEF中DF=DE==a，EF=A1C1=a由余弦定理，得cos∠DEF==＞0可得∠DEF是銳角，因此∠DEF是異面直線DE與AC所成的角，余弦值為故選：D點(diǎn)評：本題在正方體中求異面直線所成角的余弦值，著重考查了正方體的性質(zhì)和異面直線所成角的定義及求法等知識，屬于基礎(chǔ)題． 6．（5分）過點(diǎn)P（2，?2），且與有相同漸近線的雙曲線方程是（ ） A．B．C．D．考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)．.專題：計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：設(shè)所求的雙曲線方程是 =k，由點(diǎn)P（2，?2）在雙曲線方程上，求出k值，即得所求的雙曲線方程．解答：解：由題意知，可設(shè)所求的雙曲線方程是=k，∵點(diǎn)P（2，?2）在雙曲線方程上，所以，∴k=?2，故所求的雙曲線方程是，故選B．點(diǎn)評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)漸近線方程相同設(shè)所求的雙曲線方程是 =k，屬于基礎(chǔ)題． 7．（5分）“方程+=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的充分不必要條件是（ �。．B．1＜m＜2C．2＜m＜3D．1＜m＜3考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．.專題：計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：根據(jù)題意，先求出“方程+=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的充要條件對應(yīng)的取值集合A，再將集合A的不等式范圍與各個(gè)選項(xiàng)加以對照，即可得到所求充分不必要條件．解答：解：設(shè)條件P：“方程+=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”，P的充要條件對應(yīng)m的取值集合為A則A的不等式為：3?m＞m?1＞0，解之得1＜m＜2∴A={m1＜m＜2}∵條件P的充分不必要條件對應(yīng)的取值集合必定是集合A的真子集，∴對照各個(gè)選項(xiàng)，可得A項(xiàng)是符合題意的選項(xiàng)故選：A點(diǎn)評：本題給出含有字母參數(shù)的橢圓，求它表示焦點(diǎn)在y軸上橢圓的充分不必要條件，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和充分必要條件的判斷等知識，屬于基礎(chǔ)題． 8．（5分）已知△ABP的頂點(diǎn)A、B分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)P在雙曲線C上，則的值等于（ �。．B．C．D．考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)；三角形中的幾何計(jì)算．.專題：計(jì)算題．分析：由題意得PB?PA=8，AB=2，再利用正弦定理進(jìn)行求解．解答：解：由題意得：PB?PA=8，AB=2，從而由正弦定理，得．故選C．點(diǎn)評：本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要熟練掌握雙曲線的性質(zhì)，注意正弦定理的合理運(yùn)用． 9．（5分）已知拋物線y2=?4x上的焦點(diǎn)F，點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)A（?2，1），則要使PF+PA的值最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ �。．B．C．D．考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)；兩點(diǎn)間的距離公式．.專題：計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：利用拋物線的定義，將點(diǎn)P（m，n）到焦點(diǎn)F的距離PF轉(zhuǎn)化為它到準(zhǔn)線l：x=1的距離，利用不等式即可求得答案．解答：解：∵拋物線y2=?4x的焦點(diǎn)F，∴F（?1，0），其準(zhǔn)線方程為l：x=1；∵點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)A（?2，1），設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線l：x=1上的射影為P′，則PF=PP′，∴PF+PA=PA+PP′≥AP′=3（當(dāng)A，P，P′三點(diǎn)共線時(shí)取“=”）．此時(shí)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為n=1，由12=?4m得：m=?．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（?，1）．故選A．點(diǎn)評：本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想與不等式思想，屬于中檔題． 10．（5分）已知正方形ABCD的邊長為4，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GC⊥平面ABCD，且GC=2，則點(diǎn)B到平面EFG的距離為（ �。．B．C．D．1考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．.專題：綜合題；空間位置關(guān)系與距離．分析：利用題設(shè)條件推導(dǎo)出BD∥平面EFG，從而得到BD和平面EFG的距離就是點(diǎn)B到平面EFG的距離，作OK⊥HG交HG于點(diǎn)K，由兩平面垂直的性質(zhì)定理知OK⊥平面EFG，所以線段OK的長就是點(diǎn)B到平面EFG的距離．解答：解：如圖，連接EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分別交AC于H、O．因?yàn)锳BCD是正方形，E、F分別為AB和AD的中點(diǎn)，故EF∥BD，H為AO的中點(diǎn)．由直線和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，所以BD和平面EFG的距離就是點(diǎn)B到平面EFG的距離．∵BD⊥AC，∴EF⊥HC．∵GC⊥平面ABCD，∴EF⊥GC，∵HC∩GC=C，∴EF⊥平面HCG．∵EF?平面EFG，∴平面EFG⊥平面HCG，HG是這兩個(gè)垂直平面的交線．作OK⊥HG交HG于點(diǎn)K，由兩平面垂直的性質(zhì)定理知OK⊥平面EFG，所以線段OK的長就是點(diǎn)B到平面EFG的距離．∵正方形ABCD的邊長為4，GC=2，∴AC=4，HO=，HC=3．∴在Rt△HCG中，HG==．由于Rt△HKO和Rt△HCG有一個(gè)銳角是公共的，故Rt△HKO∽△HCG．∴OK===．即點(diǎn)B到平面EFG的距離為．故選B．點(diǎn)評：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、平面與平面的位置關(guān)系、點(diǎn)到平面的距離等有關(guān)知識，考查學(xué)生的空間想象能力和思維能力，屬于中檔題．解決此類問題應(yīng)該注意從三維空間向二維平面的轉(zhuǎn)化，從而找到解題的捷徑． 11．（5分）橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D構(gòu)成的四邊形為菱形，若菱形ABCD的內(nèi)切圓恰好過焦點(diǎn)，則橢圓的離心率是（ �。．B．C．D．考點(diǎn)：圓與圓錐曲線的綜合；橢圓的簡單性質(zhì)．.專題：計(jì)算題．分析：根據(jù)題意，設(shè)出直線AB的方程，利用菱形ABCD的內(nèi)切圓恰好過焦點(diǎn)，可得原點(diǎn)到直線AB的距離等于半焦距，從而可求橢圓的離心率．解答：解：由題意，不妨設(shè)點(diǎn)A（a，0），B（0，b），則直線AB的方程為：即bx+ay?ab=0∵菱形ABCD的內(nèi)切圓恰好過焦點(diǎn)∴原點(diǎn)到直線AB的距離為∴a2b2=c2（a2+b2）∴a2（a2?c2）=c2（2a2?c2）∴a4?3a2c2+c4=0∴e4?3e2+1=0∴∵0＜e＜1∴故選C．點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查橢圓的幾何性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用菱形ABCD的內(nèi)切圓恰好過焦點(diǎn)，得到原點(diǎn)到直線AB的距離等于半焦距． 12．（5分）雙曲線的實(shí)軸長和焦距分別為（ ） A．B．C．D．考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)．.專題：計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：求出雙曲線的實(shí)軸與雙曲線的交點(diǎn)，求出a，利用雙曲線的漸近線方程求出焦距即可．【解析版】福建師大附中2012-2013學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題
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