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1．若xy＞0，則對 xy＋yx說法正確的是( )
A．有最大值－2 B．有最小值2
C．無最大值和最小值 D．無法確定
答案：B
2．設(shè)x，y滿足x＋y＝40且x，y都是正整數(shù)，則xy的最大值是( )
A．400 B．100
C．40 D．20
答案：A
3．已知x≥2，則當x＝____時，x＋4x有最小值____．
答案：2 4
4．已知f(x)＝12x＋4x.
(1)當x＞0時，求f(x)的最小值；
(2)當x＜0 時，求f(x)的最大值．
解：(1)∵x＞0，∴12x，4x＞0.
∴12x＋4x≥212x•4x＝83.
當且僅當12x＝4x，即x＝3時取最小值83，
∴當x＞0時，f(x)的最小值為83.
(2)∵x＜0，∴－x＞0.
則－f(x)＝12－x＋(－4x)≥212－x•－4x＝83，
當且僅當12－x＝－4x時，即x＝－3時取等號．
∴當x＜0時，f(x)的最大值為－83.
一、
1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是( )
A．x＋12x B．x2－1＋1x2－1
C．2x＋2－x D．x(1－x)
答案：C
2．函數(shù)y＝3x2＋6x2＋1的最小值是( )
A．32－3 B．－3
C．62 D．62－3
解析：選D.y＝3(x2＋2x2＋1)＝3(x2＋1＋2x2＋1－1)≥3(22－1)＝62－3.
3．已知、n∈R，n＝100，則2＋n2的最小值是( )
A．200 B．100
C．50 D．20
解析：選A.2＋n2≥2n＝200，當且僅當＝n時等號成立．
4．給出下面四個推導過程：
①∵a，b∈(0，＋∞)，∴ba＋ab≥2ba•ab＝2；
②∵x，y∈(0，＋∞)，∴l(xiāng)gx＋lgy≥2lgx•lgy；
③∵a∈R，a≠0，∴4a＋a ≥24a•a＝4；
④∵x，y∈R，，xy＜0，∴xy＋yx＝－[(－xy)＋(－yx)]≤－2－xy－yx＝－2.
其中正確的推導過程為( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：選D.從基本不等式成立的條件考慮．
①∵a，b∈(0，＋∞)，∴ba，ab∈(0，＋∞)，符合基本不等式的條件，故①的推導過程正確；
②雖然x，y∈(0，＋∞)，但當x∈(0,1)時，lgx是負數(shù)，y∈(0,1)時，lgy是負數(shù)，∴②的推導過程是錯誤的；
③∵a∈R，不符合基本不等式的條件，
∴4a＋a≥24a•a＝4是錯誤的；
④由xy＜0得xy，yx均為負數(shù)，但在推導過程中將全體xy＋yx提出負號后，(－xy)均變?yōu)檎龜?shù)，符合基本不等式的條件，故④正確．
5．已知a＞0，b＞0，則1a＋1b＋2ab的最小值是( )
A．2 B．22
C．4 D．5
解析：選C.∵1a＋1b＋2ab≥2ab＋2ab≥22×2＝4.當且僅當a＝bab＝1時，等號成立，即a＝b＝1時，不等式取得最小值4.
6．已知x、y均為正數(shù)，xy＝8x＋2y，則xy有( )
A．最大值64 B．最大值164
C．最小值64 D．最小值164
解析：選C.∵x、y均為正數(shù)，
∴xy＝8x＋2y≥28x•2y＝8xy，
當且僅當8x＝2y時等號成立．
∴xy≥64.
二、題
7．函數(shù)y＝x＋1x＋1(x≥0)的最小值為________．
答案：1
8．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，則xy有最________值，其值為________．
解析：1＝x＋4y≥2x•4y＝4xy，∴xy≤116.
答案：大 116
9．(2010年高考東卷)已知x，y∈R＋，且滿足x3＋y4＝1，則xy的最大值為________．
解析：∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y4≥2xy12，∴xy≤3.
當且僅當x3＝y(tǒng)4時取等號．
答案：3
三、解答題
10．(1)設(shè)x＞－1，求函數(shù)y＝x＋4x＋1＋6的最小值；
(2)求函數(shù)y＝x2＋8x－1(x＞1)的最值．
解：(1)∵x＞－1，∴x＋1＞0.
∴y＝x＋4x＋1＋6＝x＋1＋4x＋1＋5
≥2 x＋1•4x＋1＋5＝9，
當且僅當x＋1＝4x＋1，即x＝1時，取等號．
∴x＝1時，函數(shù)的最小值是9.
(2)y＝x2＋8x－1＝x2－1＋9x－1＝(x＋1)＋9x－1
＝(x－1)＋9x－1＋2.∵x＞1，∴x－1＞0.
∴(x－1)＋9x－1＋2≥2x－1•9x－1＋2＝8.
當且僅當x－1＝9x－1，即x＝4時等號成立，
∴y有最小值8.
11．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求證：(1a－1)•(1b－1)•(1c－1)≥8.
證明：∵a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，
∴1a－1＝1－aa＝b＋ca＝ba＋ca≥2bca，
同理1b－1≥2acb，1c－1≥2abc，
以上三個不等式兩邊分別相乘得
(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.
當且僅當a＝b＝c時取等號．
12．某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的二級污水處理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造單價為每米400元，中間一條隔壁建造單價為每米100元，池底建造單價每平方米60元(池壁忽略不計)．
問：污水處理池的長設(shè)計為多少米時可使總價最低．
解：設(shè)污水處理池的長為x米，則寬為200x米．
總造價f(x)＝400×(2x＋2×200x)＋100×200x＋60×200
＝800×(x＋225x)＋12000
≥1600x•225x＋12000
＝36000(元)
當且僅當x＝225x(x＞0)，
即x＝15時等號成立．
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