必修4第二章平面向量
第四部分 練習(xí)與試卷
2.1 平面向量的概念及其線性運(yùn)算（練習(xí)）
【練習(xí)目標(biāo)】
1、理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示；
2、掌握向量加、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義；
3、掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算，并理解其幾何意義，以及兩個(gè)向量共線的含義；
4、了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義。
【自我測試】
1、下列命題中
（1） 與 方向相同
（2） 與 方向相反
（3） 與 有相等的模
（4）若 與 垂直
其中真命題的個(gè)數(shù)是 ( )
A、0 B、1 C、2 D、3
2、 已知AD、BE是 ABC的邊BC、AC上的中線，且 ， ，
則 為 ( )
A、 B、 C、 D、
3、O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足 ，則P的軌跡一定經(jīng)過 ABC的( )
A、外心 B、內(nèi)心 C、垂心 D、重心
4、若非零向量 、 滿足 + = ― ，則 與 所成角的大小為_________________。
5、已知點(diǎn)M是 ABC的重心，若 ，求 的值。
6、 ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H， ，求實(shí)數(shù) 的值。
2.2 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
【練習(xí)目標(biāo)】
1、知識與技能：了解平面向量的基本定理及其意義、掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件。
2、能力目標(biāo)：會用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算；
3、情感目標(biāo)：通過對平面向量的基本定理來理解坐標(biāo)，實(shí)現(xiàn)從圖形到坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換過程，鍛煉學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力。
【自我測試】
1、下列命題正確的是 （ ）
A、 B、
C、 D、
2、已知正方形ABCD的邊長為1， ，則 = （ ）
A、0 B、3 C、 D、
3、已知 ，則 共線的條件是 （ ）
A、 B、 C、 D、 或
4、如圖，在 中D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，則 （ ）
A、 B、 C、 D、
5、若 ，則實(shí)數(shù)p、q的值為 （ ）
A、 B、 C、 D、
6、已知A、B、C是坐標(biāo)平面上的三點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為A（1，2），B（4，1），C（0，-1），則 是（ ）
A、等腰三角形 B、等腰直角三角形 C、直角三角形 D、以上都不對
2.3 平面向量的數(shù)量積及其運(yùn)算
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．知識與技能：
（1）理解向量數(shù)量積的定義與性質(zhì)；
（2）理解一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影的定義；
（3）掌握向量數(shù)量積的運(yùn)算律；
（4）理解兩個(gè)向量的夾角定義；
【自我測試】
1、已知 ， ， 和 的夾角為 ，則 為 （ ）
A． B． C． D．
2、已知向量 ， ，若 ，則 （ ）
A． B． C． D．
3、在△ABC中，a,b,c分別為三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對的邊，設(shè)向量 ，若 ,則角A的大小為（ ）
A. B. C. D.
4、設(shè) 是任意的非零平面向量，且它們相互不共線，下列命題：
① ②
③ 不與 垂直 ④
其中正確的是（ ）
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
5、若向量 與 的夾角為 ， ，則向量 的模為（ ）
A. B. C. D.
6、 為銳角三角形的充要條件是（ ）
A． B．
C． D．
7、設(shè) 是兩個(gè)非零向量， 是 在 的方向上的投影，而 是 在 的方向上的投影，若 與 的夾角為鈍角，則（ ）
A． B． C． D．
8、在 中，若 且 ，則 的形狀是（ ）
A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰非等邊三角形 D．三邊均不相等的三角形
9、若 ，則 與 的夾角為 ； = ．
10、已知 ， ,如果 與 的夾角為銳角,則 的取值范圍是
11、 = 時(shí) ， 與 垂直
12、設(shè)向量 其中 ，則 的最大值是 ．
13、已知向量 與 的夾角為 ， ，則 = ．
14、已知 ，
⑴求 與 的夾角 ； ⑵求 ；
⑶若 ， ，求 的面積．
15、已知向量 且 ．
⑴求 及 ；
⑵若 的最小值是 ，求 的值．
2.4平面向量的應(yīng)用
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學(xué) 問題與其他一些實(shí)際問題的 過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發(fā)展運(yùn)算能力
2.運(yùn)用向量的有關(guān)知識對物理中的問題進(jìn)行相關(guān)分析和計(jì)算，并在這個(gè)過程中培養(yǎng)學(xué)生探究問題和解決問題的能力
1．在△ABC中，AB=a，AC=b，當(dāng)a?b ＜0時(shí)，△ABC為（ ）
Ａ．直角三角形Ｂ．銳角三角形
Ｃ．鈍角三角形Ｄ．等腰三角形
2．若向量a、b、c滿足a +b+c=0，a=3，b=1，c=4，則a b+b c+c a等于（ ）
Ａ． 11Ｂ． 12Ｃ． 13Ｄ． 14
3．已知點(diǎn) ，則∠BAC 的余弦值為 ．
4．已知 ，且a 與b的夾角為鈍角，則x的取值范圍是 ．
5． 的頂點(diǎn)為 ，重心 ．求：
（1） 邊上的中線長 ；
（2） 邊上的高的長．
6．已知O為△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足 ，試判斷△ABC的形狀．
7．已知 ，設(shè)C是直線OP上的一點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求使 取得最小值時(shí)向量 的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)C滿足（1）時(shí)，求cos∠ACB．
8、已知O為△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足 ，試判斷△ABC的形狀．
9、已知 ，設(shè)C是直線OP上的一點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求使 取得最小值時(shí)向量 的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)C滿足（1）時(shí)，求cos∠ACB．
平面向量測試卷
命題人：藍(lán)承
一、：本大題共8小題，每小題4分，共32分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1、設(shè)向量 ， ，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A、 B、
C、 與 垂直D、 ∥
2、在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若 ， ,則 （ ）
A．（3，5） B．（2，4） C、（－2，－4）D．（－3，－5）
3、義平面向量之間的一種運(yùn)算“ ”如下，對任意的 ， ，令
，下面說法錯(cuò)誤的是（ ）
A.若 與 共線，則 B.
C.對任意的 ，有 D.
4、已知向量a,b滿足a?b＝0，a=1，b=2，則2a－b＝（ ）
A、8 B、4 C、2 D、0
5、在 中， ， ．若點(diǎn) 滿足 ，則 （ ）
A． B． C． D．
6、設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外， 則 （ ）
A、8 B、4 C、 2 D、1
7、 中，點(diǎn) 在 上， 平方 ．若 ， ， ， ，則 （ ）
A、 B、 C、 D 、
8、已知 和點(diǎn) 滿足 .若存在實(shí)數(shù) 使得 成立，則 =（ ）
A． 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．
9、如圖，在 中， ，
，則 = 。
10、已知向量 ，若 ∥ ，則 .
11、已知平面向量 則 的值是
12、直角坐標(biāo)平面 中，若定點(diǎn) 與動點(diǎn) 滿足 ，則點(diǎn)P的軌跡方程是__________
三、解答題：本大題共4小題，每小題14分，共52分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
13、已知向量 與 互相垂直，其中 ．
（1）求 和 的值；
（2）若 ，求 的值．
14、在 ，已知 ，求角A，B，C的大小.
15、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；
(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足( )? =0，求t的值。
16、如圖，在Rt△ABC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ
以點(diǎn)A為中點(diǎn)，問 與 的夾角θ取何值時(shí)， ? 的
值最大？并求出這個(gè)最大值.
平面向量測試卷答案
一、：
題號12345678
答案CDBCACDB
二、題：
9、
10、-1
11、
12、x+2y-4=0
三、解答題：
13、解：（1）∵ 與 互相垂直，則 ，即 ，代入 得 ，又 ，
∴ .
（2）∵ ， ，∴ ，
則 ，
14、解：設(shè)
由 得 ，所以
又 因此
由 得 ，于是
所以 ， ，因此
，既
由A= 知 ，所以 ， ，從而
或 ，既 或 故
或 。
15、解：由題設(shè)知 ，則
所以
故所求的兩條對角線的長分別為 、 。
（2）由題設(shè)知： =(－2,－1)， 。
由( )? =0，得： ，
從而 所以 。
或者： ，
16、解：∵ ⊥ ,∴ ? =0.
∵ = - , = - , = - ,
∴ ? =( - )?( - )
= ? - ? - ? + ?
= -a2- ? + ?
= -a2- ?( - )
= -a2+ ?
= -a2+ a2cosθ.
故當(dāng)cosθ=1,即θ=0 ( 與 方向相同)時(shí), ? 最大,最大值為0.
2013年全國高考理科數(shù)學(xué) 試題分類匯編：平面向量
一、選擇題
1 ．（2013年高考上海 卷（理））在邊長為1的正六邊形ABCDEF中,記以A為起點(diǎn),其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為 ;以D為起點(diǎn),其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為 .若 分別為 的最小值、最大值, 其中 , ,則 滿足（ �。�
A． B． C． D．
【答 案】D．
2 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD版））已知點(diǎn) （ �。�
A． B． C． D．
【答案】A
3 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））設(shè) 是邊 上一定點(diǎn),滿足 ,且對于邊 上任一點(diǎn) ,恒有 .則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
4 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））在四邊形ABCD中, , ,則四邊形的面積為（ �。�
A． B． C．5D．10
【答案】C
5 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））在平面直角坐標(biāo)系中, 是坐標(biāo)原點(diǎn),兩定點(diǎn) 滿足 則點(diǎn)集 所表示的區(qū)域的面積是（ �。�
A． B． C． D．
【答案】D
6 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））在平面上, , , .若 ,則 的取值范圍是（ �。�
A． B． C． D．
【答案】D
7 ．（2013年高考湖南卷（理））已知 是單位向量, .若向量 滿足 （ �。�
A． B．
C． D．
【答案】A
8 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對） ）已知向量 ,若 ,則 （ �。�
A． B． C． D．
【答案】B
9 ．（2013 年高考湖北卷（理））已知點(diǎn) . . . ,則向量 在 方向上的投影為（ �。�
A． B． C． D．
【答案】A
二、填空題
10．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案））已知正方形 的邊長為 , 為 的中點(diǎn),則 _______.
【答案】2
11．（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）已知向量 , .若 ,則實(shí) 數(shù) __________
【答案】
12．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））已知向量 與 的夾角為 °,且 , ,若 ,且 ,則實(shí)數(shù) 的值為__________.
【答案】
13．（2013年高考新課標(biāo)1（理））已知兩個(gè)單位向量a,b的夾角為60°,c= ta+(1-t)b,若b?c=0,則t=_____.
【答案】 = .
14．（2013年高考北京卷（理））向量a,b,c 在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若c=λa+μb (λ,μ∈R),則 =_________.
【答案】4
15．（201 3年普通高等學(xué)校招生 統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））設(shè) 為單位向量,非零向量 ,若 的夾角 為 ,則 的最大值等于________.
【答案】2
16．（2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對純WORD版含附加題））設(shè) 分別是 的邊 上的點(diǎn), , ,若 ( 為實(shí)數(shù)),則 的值為__________.
【答案】
17．（2013年高考四川卷（理））在平行四邊形 中,對角線 與 交于點(diǎn) , ,則 ___ ______.
【答案】2
18．（2013年高考江西卷（理））設(shè) , 為單位向量.且 , 的夾角為 ,若 , ,則向量 在 方向上的射影為 ___________
【答案】
19．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））在平行四邊形ABCD中, AD = 1, , E為CD的中點(diǎn). 若 , 則AB的長為______.
【答案】
2013年全國各地高考文科數(shù)學(xué)試題分類匯編：平面向量
一、選擇題
20 ．（20 13年高考遼寧卷（文））已知點(diǎn) （ �。�
A． B． C． D．
【答案】A
21 ．（2013年高考湖北卷（文））已知點(diǎn) 、 、 、 ,則向量 在 方向上的投影為（ �。�
A． B． C． D．
【答案】A
22 ．（2013年高考大綱卷（文））已知向量 （ �。�
A． B． C． D．
【答案】 B
23 ．（2013年高考湖南（文））已知a,b是單位向量,a?b=0.若向量c滿足c-a-b=1,則c的最大值為（ �。�
A． B． C． D．
【答案】C
24 ．（2013年高考廣東卷（文））設(shè) 是已知的平面向量且 ,關(guān)于向量 的分解,有如下四個(gè)命題:
①給定向量 ,總存在向量 ,使 ;
②給定向量 和 ,總存在實(shí)數(shù) 和 ,使 ;
③給定單位向量 和正數(shù) ,總存在單位向量 和實(shí)數(shù) ,使 ;
④給定正數(shù) 和 ,總存在單位向量 和單位向量 ,使 ;
上述命題中的向量 , 和 在同一平面內(nèi)且兩兩不共線,則真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【 答案】B
25 ．（2013年高考陜西卷（文））已知向量 , 若a//b, 則實(shí)數(shù)m等于（ �。�
A． B． C． 或 D．0
【答案】C
26 ．（2013年高考遼寧卷（文））已知點(diǎn) （ �。�
A． B．
C． D．
【答案】C
27 ．（2013年高考福建卷（文））在四邊形 中, ,則該四邊形的面積為（ �。�
A． B． C．5D．10
【答案】C
二、填空題
28 ．（2013年高考四川卷（文））如圖,在平行四邊形 中, 對角線 與 交于點(diǎn) , ,則 _____________.
【答案】2
29．（2013年高考天津卷（文））在平行四邊形ABCD中, AD = 1, , E為CD的中點(diǎn). 若 , 則AB的長為______.
【答案】
30．（2013年高考重慶卷（文）） 為邊, 為對角線的矩形中, , ,則實(shí)數(shù) ____________.
【答案】4
31．（ 2013年高考山東卷（文））在平面直 角坐標(biāo)系 中,已知 , ,若 ,則實(shí)數(shù) 的值為______
【答案】5
32．（2013年高考浙江卷（文））設(shè)e1.e2為單位向量,非零向量b=xe1+ye2,x.y∈R..若e1.e2的夾角為 ,則xb的最大值等于_______.
【答案】2
33．（2013年高考安徽（文））若非零向量 滿足 ,則 夾角的余弦值為_______.
【答案】
34．（2013年上海高考數(shù)學(xué)試題（文科））已知正方形 的邊長為1.記以 為起點(diǎn),其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為 、 、 ;以 為起點(diǎn),其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為 、 、 .若 且 ,則 的最小值是______ __.
【答案】
35．（2013年高考課標(biāo)Ⅱ卷（文））已知正方形ABCD的邊長為2,E為CD的 中點(diǎn),則 ________.
【答案】 2
36．（2013年高考課標(biāo)Ⅰ卷（文））已知兩個(gè)單位向量 , 的夾角為 , ,若 ,則 _____.
【答案】2;
37．（2013年高考北京卷（文））已知點(diǎn) , , .若平面區(qū)域D由所有滿足 的點(diǎn)P 組成,則D的面積為__________.
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.douzifanli.com/gaoer/76582.html
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