模塊檢測
(時間：100分鐘 滿分：120分)
一、(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．已知命題p：若x2＋y2＝0(x，y∈R)，則x，y全為0；命題q：若a>b，則1a<1b.給出下列四個復(fù)合命題：①p且q；②p或q；③?p；④?q.其中真命題的個數(shù)是( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 命題p為真，命題q為假，故p∨q真，?q真．
答案 B
2．“α＝π6＋2kπ(k∈Z)”是“cos 2α＝12”的( )．
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析 當(dāng)α＝π6＋2kπ(k∈Z)時，cos 2α＝cos(4kπ＋π3)＝cos π3＝12.反之當(dāng)cos 2α＝12時，有2α＝2kπ＋π3(k∈Z)⇒α＝kπ＋π6(k∈Z)，或2α＝2kπ－π3(k∈Z)⇒α＝kπ－π6(k∈Z)，故應(yīng)選A.
答案 A
3．過拋物線y2＝4x的焦點作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，如果x1＋x2＝6，那么AB等于( )．
A．10 B．8 C．6 D．4
解析 由拋物線的定義得AB＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
答案 B
4．函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3處取得極值，則a等于( )．
A．2 B．3 C．4 D．5
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f′(－3)＝0.∴3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，∴a＝5.
答案 D
5．設(shè)斜率為2的直線l過拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點F，且和y軸交于點A，若△OAF(O為坐標(biāo)原點)的面積為4，則拋物線方程為( )．
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
解析 y2＝ax的焦點坐標(biāo)為(a4，0)，過焦點且斜率為2的直線方程為y＝2(x－a4)，令x＝0得y＝－a2.∴12×a4×a2＝4，∴a2＝64，∴a＝±8.
答案 B
6．函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的極小值點共有( )．
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
解析 在極小值點附近左負(fù)右正，有一個極小值點．
答案 A
7．設(shè)雙曲線x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的漸近線與拋物線y＝x2＋1相切，則該雙曲線的離心率等于( )．
A.3 B．2 C.5 D.6
解析 雙曲線x2a2－y2b2＝1的漸近線方程為y＝±bax，因為y＝x2＋1與漸近線相切，故x2＋1±bax＝0只有一個實根，∴b2a2－4＝0，∴c2－a2a2＝4，∴c2a2＝5，∴e＝5.
答案 C
8．雙曲線x2a2－y2b2＝1與橢圓x22＋y2b2＝1(a>0，>b>0)的離心率互為倒數(shù)，那么以a、b、為邊長的三角形一定是( )．
A．銳角三角形 B．鈍角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
解析 雙曲線的離心率e21＝a2＋b2a2，橢圓的離心率e22＝2－b22，由已知e21e22＝1，即a2＋b2a2×2－b22＝1，化簡，得a2＋b2＝2.
答案 C
9．函數(shù)y＝xln x在(0，5)上是( )．
A．單調(diào)增函數(shù)
B．單調(diào)減函數(shù)
C．在0，1e上單調(diào)遞增，在1e，5上單調(diào)遞減
D．在0，1e上單調(diào)遞減，在1e，5上單調(diào)遞增
解析 f′(x)＝ln x＋x•1x＝ln x＋1(x>0)．
令f′(x)＝0，得x＝1e，
∴在x∈0，1e上，f′(x)<0，在x∈1e，5，f′(x)>0，故選D.
答案 D
10．若0<x<π2，則2x與3sin x的大小關(guān)系( )．
A．2x>3sin x B．2x<3sin x
C．2x＝3sin x D．與x的取值有關(guān)
解析 令f(x)＝2x－3sin x，則f′(x)＝2－3cos x.
當(dāng)cosx<23時，f′(x)>0，
當(dāng)cos x＝23時，f′(x)＝0，
當(dāng)cos x>23時，f′(x)<0.
即當(dāng)0<x<π2時，f(x)先遞減再遞增，
而f(0)＝0，fπ2＝π－3>0.故f(x)的值與x取值有關(guān)，即2x與sin x的大小關(guān)系與x取值有關(guān)．故選D.
答案 D
二、題(本大題共4小題，每小題4分，共16分．把答案填在題中橫線上)
11．給出下列結(jié)論：
①若命題p：∃x∈R，tan x＝1；命題q：∀x∈R，x2－x＋1>0，則命題“p∧?q”是假命題；
②已知直線l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，則l1⊥l2的充要條件是ab＝－3；
③命題“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”的逆否命題為：“若x≠1，則x2－3x＋2≠0”．
其中正確結(jié)論的序號為________(把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號都填上)．
解析 對于①，命題p為真命題，命題q為真命題，所以p∧?q為假命題，故①正確；對于②，當(dāng)b＝a＝0時，有l(wèi)1⊥l2，故②不正確；易知③正確．所以正確結(jié)論的序號為①③.
答案�、佗�
12．與雙曲線x2－y24＝1有共同的漸近線，且過點(2，2)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是______________．
解析 依題意設(shè)雙曲線的方程x2－y24＝λ(λ≠0)，將點(2，2)代入求得λ＝3，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x23－y212＝1.
答案 x23－y212＝1
13．曲線y＝xx－2在點(1，－1)處的切線方程為________．
解析 y′＝x－2－x（x－2）2＝－2（x－2）2，∴y′x＝1＝－2，
故所求切線方程為y＋1＝－2(x－1)，即2x＋y－1＝0.
答案 2x＋y－1＝0
14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：x225＋y29＝1的左、右焦點分別是F1、F2，P為橢圓C上的一點，且PF1⊥PF2，則△PF1F2的面積為______．
解析 ∵PF1⊥PF2，∴PF12＋PF22＝F1F22，由橢圓方程知a＝5，b＝3，∴c＝4，
∴PF12＋PF22＝4c2＝64，PF1＋PF2＝2a＝10，解得PF1PF2＝18.∴△PF1F2的面積為12PF1•PF2＝12×18＝9.
答案 9
三、解答題(本大題共5小題，共54分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
15．(10分)已知命題p：方程x22＋y29－＝1表示焦點在y軸上的橢圓，命題q：雙曲線y25－x2＝1的離心率e∈(62，2)，若命題p、q中有且只有一個為真命題，求實數(shù)的取值范圍．
解 若p真，則有9－>2>0，
即0<<3.若q真，則有>0，
且e2＝1＋b2a2＝1＋5∈(32，2)，即52<<5.
若p、q中有且只有一個為真命題，則p、q一真一假．
①若p真、q假，
則0<<3，且≥5或≤52，即0<≤52；
②若p假、q真，
則≥3或≤0，且52<<5，即3≤<5.
故所求范圍為：0<≤52或3≤<5.
16．(10分)已知函數(shù)f(x)＝ax－ln x，若f(x)>1在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
解 由f(x)>1，得ax－ln x－1>0.
即a>1＋ln xx在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)恒成立．
設(shè)g(x)＝1＋ln xx，則g′(x)＝－ln xx2，
∵x>1，∴g′(x)<0.
∴g(x)＝1＋ln xx在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減．
∴g(x)<g(1)＝1，
即1＋ln xx<1在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)恒成立，∴a≥1.
17．(10分)已知直線y＝ax＋1與雙曲線3x2－y2＝1交于A、B兩點．
(1)求a的取值范圍；
(2)若以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點，求實數(shù)a的值．
解 (1)由y＝ax＋1，3x2－y2＝1消去y，
得(3－a2)x2－2ax－2＝0.
依題意得3－a2≠0，Δ>0，即－6<a<6且a≠±3.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝2a3－a2，x1x2＝－23－a2.
∵以AB為直徑的圓過原點，∴OA⊥OB，
∴x1x2＋y1y2＝0，
即x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0，
即(a2＋1)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0.
∴(a2＋1)•－23－a2＋a•2a3－a2＋1＝0，
∴a＝±1，滿足(1)所求的取值范圍．故a＝±1.
18．(12分)某公司在甲、乙兩地銷售同一種品牌的汽車，利潤(單位：萬元)分別為L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)．若該公司在這兩地共銷售15輛車，求該公司能獲得的最大利潤為多少萬元？
解 設(shè)在甲地銷售輛車，在乙地銷售(15－)輛車，
則總利潤y＝5.06－0.152＋2(15－)＝－0.152＋3.06＋30，所以y′＝－0.3＋3.06.
令y′＝0，得＝10.2.
當(dāng)0≤<10.2時，y′>0；
當(dāng)10.2<≤15時，y′<0.
故當(dāng)＝10.2時，y取得極大值，也就是最大值．
又由于為正整數(shù)，且當(dāng)＝10時，y＝45.6；
當(dāng)＝11時，y＝45.51.
故該公司獲得的最大利潤為45.6萬元．
19．(12分)設(shè)圓C與兩圓(x＋5)2＋y2＝4，(x－5)2＋y2＝4中的一個內(nèi)切，另一個外切．
(1)求圓C的圓心軌跡L的方程；
(2)已知點(355，455)，F(xiàn)(5，0)，且P為L上動點，求P－FP的最大值及此時點P的坐標(biāo)．
解 (1)設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為(x，y)，半徑為r.
圓(x＋5)2＋y2＝4的圓心為F1(－5，0)，半徑為2，
圓(x－5)2＋y2＝4的圓心為F(5，0)，半徑為2.
由題意得CF1＝r＋2，CF＝r－2或CF1＝r－2，CF＝r＋2，
∴CF1－CF＝4.∵F1F＝25>4，
∴圓C的圓心軌跡是以F1(－5，0)，F(xiàn)(5，0)為焦點的雙曲線，其方程為x24－y2＝1.
(2)由圖知，P－FP≤F，
∴當(dāng)，P，F(xiàn)三點共線，且點P在F延長線上時，P－FP取得最大值F，
且F＝（355－5）2＋（455－0）2＝2.
直線F的方程為y＝－2x＋25，與雙曲線方程聯(lián)立得
y＝－2x＋25，x24－y2＝1，整理得15x2－325x＋84＝0.
解得x1＝14515(舍去)，x2＝655.此時y＝－255.
∴當(dāng)P－FP取得最大值2時，點P的坐標(biāo)為
(655，－ )．
來
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