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數(shù)學(xué)試卷（理科） 2019.4
本試卷共4 頁，150 分．考試時(shí)長120 分鐘．考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上
作答無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題共8 小題，每小題5 分，共40 分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目
要求的一項(xiàng)．
1．函數(shù) 的定義域?yàn)?BR>A．［0，＋ ）  B．［1，＋ ）  C．（－ ，0］ D．（－ ，1］
2．某程序的框圖如圖所示，若輸入的z＝i（其中i為虛數(shù)單位），則輸出的S 值為
A．－1 　　
B．1 　　　
C．－i 　　
D．i
3．若x，y 滿足 ，則 的最大值為
A． 　　　　B．3
C． 　　　　D．4
4．某三棱錐的三視圖如圖所示，則其體積為
A． 　　　B．
C． 　　D．
5．已知數(shù)列 的前n 項(xiàng)和為Sn，則“ 為常數(shù)列”是“ ”的
A．充分不必要條件 　　B．必要不充分條件
C．充分必要條件 　　　D．既不充分也不必要條件
6．在極坐標(biāo)系中，圓C1 : 與圓C2: 相交于 A，B兩點(diǎn)，則｜AB｜＝
A．1 　　B． 　 C． 　　 D． 2
7．已知函數(shù) 是偶函數(shù)，則下列結(jié)論可能成立的是
A． 　　B．
C． 　　　D．
8．某生產(chǎn)基地有五臺(tái)機(jī)器，現(xiàn)有五項(xiàng)工作待完成，每臺(tái)機(jī)器完成每項(xiàng)工作后獲得的效益值
如表所示．若每臺(tái)機(jī)器只完成一項(xiàng)工作，且完成五項(xiàng)工作后獲得的效益值總和最大，則
下列敘述正確的是

A．甲只能承擔(dān)第四項(xiàng)工作 　B．乙不能承擔(dān)第二項(xiàng)工作
C．丙可以不承擔(dān)第三項(xiàng)工作 　D．丁可以承擔(dān)第三項(xiàng)工作
二、填空題共6 小題，每小題5 分，共30 分．
9．已知向量 ，若 ，則t ＝ _______．
10．在等比數(shù)列 中，a2＝2，且 ，則 的值為_______．
11．在三個(gè)數(shù) 中，最小的數(shù)是_______．
12．已知雙曲線C： 的一條漸近線l 的傾斜角為 ，且C 的一個(gè)焦點(diǎn)到l 的距離
為 ，則C 的方程為_______．
13．如圖，在三角形三條邊上的6個(gè)不同的圓內(nèi)分別填入數(shù)字1，2，3 中的一個(gè)．
（?）當(dāng)每條邊上的三個(gè)數(shù)字之和為4 時(shí)，不同的填法有_______種；
（?）當(dāng)同一條邊上的三個(gè)數(shù)字都不同時(shí)，不同的填法有_______種．

14．已知函數(shù) ，對(duì)于實(shí)數(shù)t ，若存在a＞0，b ＞0 ，滿足： ，使得
2，則記a＋b的最大值為H（t ）．
（?）當(dāng) ＝2x時(shí)，H（0）＝ _______．
（?）當(dāng) 且t 時(shí)，函數(shù)H（t）的值域?yàn)開______．
三、解答題共6 小題，共80 分．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．
15．（本小題滿分13 分）
如圖，在△ABC 中，點(diǎn)D在邊 AB上，且 ．記∠ACD＝ ，∠BCD＝ ．
（Ⅰ）求證： ；
（Ⅱ）若 ，求BC 的長．

16．（本小題滿分13 分）
2004 年世界衛(wèi)生組織、聯(lián)合國兒童基金會(huì)等機(jī)構(gòu)將青蒿素作為一線抗瘧藥品推
廣．2018 年12 月10 日，我國科學(xué)家屠呦呦教授由于在發(fā)現(xiàn)青蒿素和治療瘧疾的療法
上的貢獻(xiàn)獲得諾貝爾醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)．目前，國內(nèi)青蒿人工種植發(fā)展迅速．
某農(nóng)科所為了深入研究海拔因素對(duì)青蒿素產(chǎn)量的影響，在山上和山下的試驗(yàn)田中
分別種植了100 株青蒿進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．現(xiàn)在從山上和山下的試驗(yàn)田中各隨機(jī)選取了4
株青蒿作為樣本，每株提取的青蒿素產(chǎn)量（單位：克）如下表所示：

（Ⅰ）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計(jì)山下試驗(yàn)田青蒿素的總產(chǎn)量；
（Ⅱ）記山上與山下兩塊試驗(yàn)田單株青蒿素產(chǎn)量的方差分別為 ， ，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，
試估計(jì) 與 的大小關(guān)系（只需寫出結(jié)論）；
（Ⅲ）從樣本中的山上與山下青蒿中各隨機(jī)選取1 株，記這2 株的產(chǎn)量總和為 ，求
隨機(jī)變量 的分布列和數(shù)學(xué)期望．

17．（本小題滿分14 分）
如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)M ，N
分別為線段PB，PC 上的點(diǎn)，MN⊥PB．
（Ⅰ）求證： BC⊥平面PAB ；
（Ⅱ）求證：當(dāng)點(diǎn)M 不與點(diǎn)P ，B 重合時(shí)，M ，N ，D ， A 四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)；
（Ⅲ）當(dāng)PA＝AB＝2，二面角C－AN －D的大小為 時(shí)，求PN 的長．

1

18．（本小題滿分13 分）
已知函數(shù)f (x) ＝ln x＋ －1，
（Ⅰ）求函數(shù) f (x)的最小值；
（Ⅱ）求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）求證：直線 y＝x不是曲線 y ＝g(x)的切線。
19．（本小題滿分14 分）
已知橢圓C： 的離心率為 ，橢圓C 與y 軸交于A ， B 兩點(diǎn)，
且｜AB｜＝2．
（Ⅰ）求橢圓C 的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P在 y軸的右側(cè)．直線PA，PB與直線x＝ 4
分別交于M ， N 兩點(diǎn)．若以MN 為直徑的圓與x 軸交于兩點(diǎn)E ， F ，求點(diǎn)P 橫
坐標(biāo)的取值范圍及｜EF｜的最大值．
20．（本小題滿分13 分）
給定正整數(shù)n(n≥3)，集合 ．若存在集合A，B，C，同時(shí)滿足下
列條件：
① U n ＝A∪B∪C，且A∩B ＝ B∩C ＝A∩C＝ ；
②集合A 中的元素都為奇數(shù)，集合B 中的元素都為偶數(shù)，所有能被3 整除的數(shù)都在集
合C 中（集合C 中還可以包含其它數(shù)）；
③集合A ， B ，C 中各元素之和分別記為SA ， SB ，SC ，有SA ＝SB ＝SC ；
則稱集合 Un為可分集合．
（Ⅰ）已知U8為可分集合，寫出相應(yīng)的一組滿足條件的集合A ， B ，C ；
（Ⅱ）證明：若n 是3 的倍數(shù)，則Un不是可分集合；
（Ⅲ）若Un為可分集合且n 為奇數(shù)，求n 的最小值．
（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）

海淀區(qū)高三年級(jí)第二學(xué)期期中練習(xí)參考答案
數(shù)學(xué)（理科） 2019.4
閱卷須知:
1.評(píng)分參考中所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到此步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。
2.其它正確解法可以參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)按相應(yīng)步驟給分。
一、選擇題（本大題共8小題,每小題5分,共40分）
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C A C B C B
二、填空題（本大題共6小題,每小題5分, 有兩空的小題，第一空3分，第二空2分，
共30分）
9．
10．
三、解答題(本大題共6小題,共80分)
15．解：（Ⅰ）
在 中，由正弦定理,有 …………………2分
在 中，由正弦定理,有 …………………4分
因?yàn)?,所以 …………………6分
因?yàn)?, 所以 …………………7分
（Ⅱ）因?yàn)?， ,
由（Ⅰ）得 …………………9分
設(shè) ,由余弦定理,
…………………11分
代入,得到 ,
解得 ,所以 . …………………13分
16解: (I)由山下試驗(yàn)田4株青蒿樣本青蒿素產(chǎn)量數(shù)據(jù)，得樣本平均數(shù)
…………………2分
則山下試驗(yàn)田 株青蒿的青蒿素產(chǎn)量 估算為
g …………………3分
（Ⅱ）比較山上、山下單株青蒿素青蒿素產(chǎn)量方差 和 ，結(jié)果為 .
…………………6分
（Ⅲ）依題意，隨機(jī)變量 可以取 ， …………………7分
,
,
, …………………9分

7.2 7.4 8 8.2 8.6 9.4
p

隨機(jī)變量 的分布列為

…………………11分
隨機(jī)變量 的期望 .
…………………13分
17解:
（Ⅰ）證明：在正方形 中， ,

…………………1分
因?yàn)?平面 ， 平面 ， 所以 . …………………2分
因?yàn)?，且 ， 平面 ，
所以 平面 …………………4分
（Ⅱ）證明：因?yàn)?平面 ， 平面 ,
所以 …………………5分
在 中， ， ，
所以 . …………………6分
在正方形 中， , 所以 ， …………………7分
所以 可以確定一個(gè)平面，記為
所以 四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面 內(nèi) …………………8分
（Ⅲ）因?yàn)?平面 ， 平面 ，
所以 , .
又 ,如圖，以 為原點(diǎn)， 所在直線為 軸建立空間直角坐標(biāo)系 , …………………9分
所以 .
設(shè)平面 的一個(gè)法向量為 ，
平面 的一個(gè)法向量為 ,
設(shè) , ，
因?yàn)?，所以 ，
又 ，所以 ，即 ，…………………10分
取 , 得到 , …………………11分
因?yàn)?，
所以 ，即 ，
取 得, 到 , …………………12分
因?yàn)槎��?大小為 , 所以 ,
所以
解得 , 所以 …………………14分
18解: （Ⅰ）函數(shù) 的定義域?yàn)?， …………………1分
…………………2分
當(dāng) 變化時(shí)， ， 的變化情況如下表：










極小值
…………………4分
函數(shù) 在 上的極小值為 ，
所以 的最小值為 …………………5分
（Ⅱ）解：函數(shù) 的定義域?yàn)?， …………………6分
…………………7分
由（Ⅰ）得， ，所以 …………………8分
所以 的單調(diào)增區(qū)間是 ，無單調(diào)減區(qū)間. …………………9分
（Ⅲ）證明：假設(shè)直線 是曲線 的切線. ………………10分
設(shè)切點(diǎn)為 ，則 ，即 …………………11分
又 ，則 . …………………12分
所以 , 得 ，與 矛盾
所以假設(shè)不成立，直線 不是曲線 的切線 …………………13分
19解：（Ⅰ）由題意可得， ， …………………1分
， …………………2分
得 ， …………………3分
解 ， …………………4分
橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 . …………………5分
（Ⅱ）設(shè) ， ， ，
所以 ，直線 的方程為 ， ………………

…6分
同理：直線 的方程為 ，
直線 與直線 的交點(diǎn)為 ， …………………7分
直線 與直線 的交點(diǎn)為 ，
線段 的中點(diǎn) ， …………………8分
所以圓的方程為 ， …………………9分
令 ，則 ， …………………10分
因?yàn)?，所以 ， …………………11分
所以 ，
因?yàn)檫@個(gè)圓與 軸相交,該方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
所以 ，解得 . …………………12分
設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo) ，則 （ ）
所以該圓被 軸截得的弦長為最大值為2. …………………14分
方法二：（Ⅱ）設(shè) ， ， ，
所以 ，直線 的方程為 ， …………………6分
同理：直線 的方程為 ，
直線 與直線 的交點(diǎn)為 ， …………………7分
直線 與直線 的交點(diǎn)為 ，
若以MN為直徑的圓與x軸相交，
則 ， …………………9分
即
即 …………………10分
因?yàn)?，所以 , …………………11分
代入得到 ，解得 . …………………12分
該圓的直徑為 ，
圓心到x軸的距離為 ，
該圓在x軸上截得的弦長為 ；
所以該圓被 軸截得的弦長為最大值為2. …………………14分
方法三：
（Ⅱ）設(shè) ， ， ，
所以 ，直線 的方程為 ， …………………6分
同理：直線 的方程為 ，
直線 與直線 的交點(diǎn)為 ， …………………7分
直線 與直線 的交點(diǎn)為 ，
所以 ， …………………8分
圓心到x軸的距離為 ， …………………9分
若該圓與 軸相交，則 ， …………………10分
即 ，
因?yàn)?，所以 , …………………11分
所以 ，解得 …………………12分
該圓在x軸上截得的弦長為 ；
所以該圓被 軸截得的弦長為最大值為2. …………………14分
方法四： 記 , ，設(shè)
由已知可得 ，
所以 的直線方程為 ， ……………………….6分
的直線方程為 ，
令 ，分別可得 ，
， ……………………….8分
所以
若以 為直徑的圓與 軸相交于 ，
因?yàn)?， 所以 ， ……………………….9分

……………………….10分
因?yàn)?，所以 , ……………………….11分
代入得到
所以 ， ……………………….12分
所以
所以該圓被 軸截得的弦長為最大值為2. …………………14分
方法五：
設(shè)直線 與 交于點(diǎn)
因?yàn)?軸，所以有
所以 ，所以 ，所以 是 的中點(diǎn). ……………………….6分
又設(shè) , 所以直線 方程為 , ……………………….7分
令 ,得 , 所以

……………………….8分
而 ……………………….9分
若以 為直徑的圓與 軸相交于
則 ……………………….10分
所以
因?yàn)?，所以 ,代入得到 ……………………….11分
所以 ，所以 或
因?yàn)辄c(diǎn) ，所以 ……………………….12分
而

所以該圓被 軸截得的弦長為最大值為2. …………………14分
20解：
（I）依照題意，可以取 ， ， …………………3分
（II）假設(shè)存在 是 的倍數(shù)且 是可分集合.
設(shè) ，則依照題意 ，
故 ，
而這 個(gè)數(shù)的和為 ，故 , 矛盾，
所以 是3的倍數(shù)時(shí)， 一定不是可分集合 …………………7分
(Ⅲ) 35. …………………8分
因?yàn)樗�有元素和�?，又 中元素是偶數(shù)，所以 = ( 為正整數(shù))
所以 ，因?yàn)?為連續(xù)整數(shù)，故這兩個(gè)數(shù)一個(gè)為奇數(shù)，另一個(gè)為偶數(shù)
由（Ⅱ）知道， 不是3的倍數(shù)，所以一定有 是 的倍數(shù).
當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)， 為偶數(shù)，而 ，
所以一定有 既是 的倍數(shù)，又是 的倍數(shù)，所以 ,
所以 . …………………10分
定義集合 ，即集合 由集合 中所有不是3的倍數(shù)的奇數(shù)組成，
定義集合 ，即集合 由集合 中所有不是3的倍數(shù)的偶數(shù)組成，
根據(jù)集合 的性質(zhì)知道，集合 ，
此時(shí)集合 中的元素之和都是 ，而 ，
此時(shí) 中所有 的倍數(shù)的和為 ，
,
顯然必須從集合 中各取出一些元素，這些元素的和都是 ，
所以從集合 中必須取偶數(shù)個(gè)元素放到集合 中，所以 ,
所以 ，此時(shí)
而令集合 ，
集合 ，
集合 ，
檢驗(yàn)可知，此時(shí) 是可分集合, 所以 的最小值為 . …………………13分