2014年2月20日下午3：00—5：002014屆高三下學期入學考試數(shù)學（理）試題第Ⅰ卷（選擇題，共50分）一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合M={xx2?1≤0}，N={x，x∈Z}，則M∩N={?1，0，1}{?1，0}[?1，1）[?1，0]3．已知的展開式中的系數(shù)為,則A．B．C．D．4．一個幾何體的三視圖如圖所示，且其側視圖是一個等邊三角形，則這個幾何體的體積為 B.C. D. 5．設x＞0，y＞0，且+=4，則z的最小值是 A．?4B．?3C．D．6．若A為不等式組表示的平面區(qū)域，則當從?2連續(xù)變化到1時，動直線掃過A中的那部分區(qū)域的面積為 A．B．1C．D．27．函數(shù)）的部分圖象如圖所示，設P是圖象的最高點，A，B是圖象與軸的交點，記∠APB=θ，則的值是A. B. C. D.8．下列命題中：①“x＞y”是“x2＞y2”的充要條件；②若“?x∈R，x2+2ax+1＜0”，則實數(shù)a的取值范圍是（?∞，?1）∪（1，+∞）；③已知平面α，β，γ，直線m，l，若α⊥γ，γ∩α=m，γ∩β=l，l⊥m，則l⊥α；④函數(shù)f（x）=（）x?的所有零點存在區(qū)間是（，）．其中正確的個數(shù)是 A．1B．2C．3D．49．某教師一天上3個班級的課，每班開1節(jié)，如果一天共9節(jié)課，上午5節(jié)、下午4節(jié)，并且教師不能連上3節(jié)課（第5節(jié)和第6節(jié)不算連上），那么這位教師一天的課表的所有排法有 A．474種B．77種C．462種D．79種10．已知函數(shù)f（x）=xex，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個實數(shù)根，則t的取值范圍為 A．（，+∞）B．（?∞，）C．（?，?2）D．（2，）11．從1，2，3，4，5中任取2個不同的數(shù)，事件A=“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B=“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P（BA）等于 �。�12．如圖給出了一個程序框圖，其作用是輸入x的值，輸出相應的y值．若要使輸入的x值與輸出的y值相等，則這樣的x值有 個．13．分別是橢圓的左、右焦點，與直線相切的⊙交橢圓于點E，且點E是直線與⊙的切點，則橢圓的離心率為 14．已知在平面直角坐標系中，A（?2，0），B（1，3），O為原點，且，（其中α+β=1，α，β均為實數(shù)），若N（1， 0），則的最小值是 �。�15．，若對任意實數(shù)、恒成立，則的取值范圍是_____ ___。三．解答題：本大題共6小題，共75分．其中，16—19題每小題滿分為12分，20題為13分，21題14分；解答應寫出文字說明．證明過程或演算步驟．16.等差數(shù)列的各項均為正數(shù)，前項和為為等比數(shù)列，且，（Ⅰ）求與；求的圖像經(jīng)過點A（0，1）、。（Ⅰ）時，求函數(shù)的單調增區(qū)間；(Ⅱ)已知，且的最大值為，求的值。18. 某商場一號電梯從1層出發(fā)后可以在2、3、4層停靠.已知該電梯在1層載有4位乘客，假設每位乘客在2、3、4層下電梯是等可能的.(Ⅰ) 求這4位乘客中至少有一名乘客在第2層下電梯的概率；(Ⅱ) 用表示4名乘客在第4層下電梯的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.19. 如圖，已知菱形的邊長為，,.將菱形沿對角線折起，使，得到三棱錐.（Ⅰ）若點是棱的中點，求證:平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）設點是線段上一個動點，試確定點的位置，使得，并證明你的結論.20. 已知橢圓：（）經(jīng)過（1，1）與（，）兩點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過原點的直線與橢圓C交于A、B兩點，橢圓上一點滿足．求證：為定值．設函數(shù)）（Ⅰ）討論的單調性；（Ⅱ）若有兩個極值點和記過點， 的直線的斜率為.問：是否存在，使得若存在，求出的值；若不存在，請說明理由． 解：f（x）=xex=，當x≥0時，f′（x）=ex+xex≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)；當x＜0時，f′（x）=?ex?xex=?ex（x+1），由f′（x）=0，得x=?1，當x∈（?∞，?1）時，f′（x）=?ex（x+1）＞0，f（x）為增函數(shù)，當x∈（?1，0）時，f′（x）=?ex（x+1）＜0，f（x）為減函數(shù)，所以函數(shù)f（x）=xex在（?∞，0）上有一個最大值為f（?1）=?（?1）e?1=，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個實數(shù)根，令f（x）=m，則方程m2+tm+1=0應有兩個不等根，且一個根在（0，）內，一個根在（ ，+∞）內，再令g（m）=m2+tm+1，因為g（0）=1＞0，則只需g（ ）＜0，即（ ）2+t+1＜0，解得：t＜?．所以，使得函數(shù)f（x）=xex，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四個實數(shù)根的t的取值范圍是（?∞，?）．故選B． 12. 3 13. 14. 15. 三．解答題16. 解： (1)設{an}的公差為d，{bn}的公比為q，則d為正數(shù)，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.依題意有解得或(舍去)故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.(2)Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＝ ＝－17. 解：（1）由得：即。 當，即）時，為增函數(shù)�！嗪瘮�(shù)的單調增區(qū)間為。 ………6分（2），即有。當，即時，，得；當，即時，，無解；當，即時，，矛盾。故。 ………12分18. 解：(Ⅰ) 設4位乘客中至少有一名乘客在第2層下電梯的事件為,……………1分由題意可得每位乘客在第2層下電梯的概率都是， ……………………3分則 . ………………………6分(Ⅱ) 的可能取值為0,1,2,3,4, …………………………7分由題意可得每個人在第4層下電梯的概率均為，且每個人下電梯互不影響，∴ ～ ……………………………9分∴X的分布列為01234 ………………………………11分∴X的數(shù)學期望 ……………………………12分19. （Ⅰ）證明：因為點是菱形的對角線的交點，所以是的中點.又點是棱的中點，所以是的中位線，.………………1分因為平面,平面,所以平面. ………………3分（Ⅱ）解：由題意，，因為，所以，. …………4分又因為菱形，所以，.建立空間直角坐標系，如圖所示..所以 …6分設平面的法向量為，則有即：令，則，所以. ………7分因為,所以平面. 平面的法向量與平行，所以平面的法向量為. …………8分，因為二面角是銳角，所以二面角的余弦值為. ……………9分（Ⅲ）解：因為是線段上一個動點，設，，則，所以， ……………10分則，，由得，即，……11分解得或， 所以點的坐標為或. ………12分（也可以答是線段的三等分點，或）20. 解：（Ⅰ）將（1，1）與（，）兩點代入橢圓C的方程，得解得．∴橢圓PM2的方程為．（Ⅱ）由MA=MB，知M在線段AB的垂直平分線上，由橢圓的對稱性知A、B關于原點對稱．①若點A、B是橢圓的短軸頂點，則點M是橢圓的一個長軸頂點，此時=．同理，若點A、B是橢圓的長軸頂點，則點M在橢圓的一個短軸頂點，此時=．②若點A、B、M不是橢圓的頂點，設直線l的方程為y=kx（k≠0），則直線OM的方程為，設A（x1，y1），B（x2，y2），由解得，，∴=，同理，所以=2×+=2，故=2為定值．(2)由(1)知，a＞2.因為f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋－a(ln x1－ln x2)，所以，k＝＝1＋－a?.又由(1)知，x1x2＝1，于是k＝2－a?.若存在a，使得k＝2－a，則＝1.即ln x1－ln x2＝x1－x2.由x1x2＝1得x2－－2ln x2＝0(x2＞1)．(*)再由(1)知，函數(shù)h(t)＝t－－2ln t在(0，＋∞)上單調遞增，而x2＞1，所以x2－－2ln x2＞1－－2 ln 1＝0.這與(*)式矛盾．故不存在a，使得k＝2－a.MzyxDOCBAM四川省綿陽市2014屆高三下學期入學考試數(shù)學（理）試題 Word版含答案
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