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新標(biāo)——回歸教材
數(shù)列
1、數(shù)列的概念:數(shù)列是一個定義域為正整數(shù)集 (或它的有限子集 )的特殊函數(shù)數(shù)列的通項公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式.
典例:1)已知 ,則在數(shù)列 的最大項為 ;
2)數(shù)列 的通項為 ,則 與 的大小關(guān)系為 ;
3)數(shù)列 的通項為 ,若 遞增,則實數(shù) 的取值范圍 ;
4)一給定函數(shù) 的圖象在下列圖中,并且對任意 ,由關(guān)系式 得到的數(shù)列 滿足 ,則該函數(shù)的圖象是( A )

A B C D
2.等差數(shù)列的有關(guān)概念:
(1)等差數(shù)列的判斷方法:
①定義法 、
②等差中項法 .
典例:設(shè) 是等差數(shù)列,求證:以bn= 為通項公式的數(shù)列 為等差數(shù)列.
(2)等差數(shù)列的通項: 或 .
典例:1)等差數(shù)列 中, , ,則通項 ;
2)首項為-24的等差數(shù)列,從第10項起開始為正數(shù),則公差的取值范圍是 ;
(3)等差數(shù)列的前 和: , .
典例:1)數(shù)列 中, , , ,則 -3 , = 10 ;
2)已知數(shù)列 的前n項和 ,求數(shù)列 的前 項和 （答: ）.
(4)等差中項:若 成等差數(shù)列,則A叫做 與 的等差中項,且 .
提醒:(1)等差數(shù)列的 公式中,涉及到5個元素: 其中 稱作為基本元素.只要已知這5個元素中的任意3個,便可求出其余2個,即知3求2.
(2)為減少運算量,要注意設(shè)元的技巧:
如奇數(shù)個數(shù)成等差,可設(shè)為…, …（公差為 ）;
偶數(shù)個數(shù)成等差,可設(shè)為…, ,…（公差為2 ）
3.等差數(shù)列的性質(zhì):
(1)當(dāng)公差 時,等差數(shù)列的
①通項公式 是關(guān)于 的一次函數(shù),且斜率為公差 ;
所以, 1)若公差 ,則 為遞增等差數(shù)列;
2)若公差 ,則 為遞減等差數(shù)列,
3)若公差 ,則 為常數(shù)列.
②前 和 是關(guān)于 的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.
提醒:若 時, 不是等差數(shù)列,但從第二項起(含第二項)為等差數(shù)列.
(3)當(dāng) 時,則有 ,特別地,當(dāng) 時,則有 .
典例:1)等差數(shù)列 中, ,則 ＝ 27 ;
2)在等差數(shù)列 中, ,且 , 是其前 項和,則( B )
A. 都小于0, 都大于0 B. 都小于0, 都大于0　C. 都小于0, 都大于0　　 D. 都小于0, 都大于0　
(4)若 , 是等差數(shù)列,則 、 ( 、 是非零常數(shù))、 、 ,…也成等差數(shù)列(注:其新公差與原數(shù)列的公差關(guān)系為: ),而 成等比數(shù)列;若 是等比數(shù)列,且 ,則 是等差數(shù)列.
典例:等差數(shù)列的前n項和為25,前2n項和為100,則它的前3n和為 225 ;
(5)等差數(shù)列 中,項數(shù)為偶數(shù) 時, ;項數(shù)為奇數(shù) 時, ,
(這里 即 ); .
典例:1)在等差數(shù)列中,S11＝22,則 ＝ 2 ;
2)項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列 中, ,求此數(shù)列的中間項與項數(shù)(答:5;31).
(6)若等差數(shù)列 , 的前 和分別為 ,則 .
典例:若{ },{ }是等差數(shù)列,它們前 項和分別為 , ,若 ,則 .
(7)等差數(shù)列 的前 項和 的最值求法:
法一(二次函數(shù)法):由 解析式結(jié)合二次函數(shù)圖象求解;
法二(通項比較法):具體操作如下
①當(dāng) 時,可求 的最大值;第一,若 時,顯然 ;若 時,設(shè)前 項和最大,則應(yīng)滿足 ;特別地,當(dāng) 時,則 ;
②當(dāng) 時,可求 的最小值;第一,若 時,顯然 ;若 時,設(shè)前 項和最小,則應(yīng)滿足 ;特別地,當(dāng) 時,則 ;
典例:1)等差數(shù)列 中, , ,則數(shù)列前 13 項和最大,最大值為 169 .
2)若 是等差數(shù)列,首項 , ,則使前n項和 成立的最大正整數(shù)n是 4006 ;
4.等比數(shù)列的有關(guān)概念:
(1)等比數(shù)列的判斷方法:
①定義法 ,其中 ;
②等比中項法 或 .
注: 是數(shù)列 等比的 必要不充分條 .(想想為什么?)
典例:1)一個等比數(shù)列{ }共有 項,奇數(shù)項之積為100,偶數(shù)項之積為120,則 為 ;
2)數(shù)列 中, 且 =1,若 ,求證:數(shù)列 是等比數(shù)列.
(2)等比數(shù)列的通項: 或 .
典例:數(shù)列 等比, , , ,求 和公比 .(答: , 或2)
(3)等比數(shù)列的前 和:當(dāng) 時, ;當(dāng) 時, .
典例:1)等比數(shù)列中, , ,求 （答:44）;
2)已知 等比,其 成等差數(shù)列,則公比 .
特別提醒:等比數(shù)列前 項和公式有兩種形式,為此在求等比數(shù)列前 項和時,首先要判斷公比 是否為1,再由 的情況選擇求和公式的形式,當(dāng)不能判斷公比 是否為1時,要對 分 和 兩種情形討論求解.
（4）等比中項:若 成等比數(shù)列,那么A叫做 與 的等比中項.
提醒:不是任何兩數(shù)都有等比中項,只有同號兩數(shù)才存在等比中項,且有兩個 .
典例:兩個正數(shù) 的等差中項為 ,等比中項為 ,則A與B的大小關(guān)系為 .
提醒:(1)等比數(shù)列的通項公式及前 和公式中,涉及到5個元素: 、 、 、 及 ,其中 、 稱作為基本元素.只要已知這5個元素中的任意3個,便可求出其余2個,即知3求2;
(2)為減少運算量,要注意設(shè)元的技巧,如奇數(shù)個數(shù)成等比,可設(shè)為…, …（公比為 ）;但偶數(shù)個數(shù)成等比時,不能設(shè)為… ,…,因公比不一定為正數(shù),只有公比為正時才可如此設(shè),且公比為 .
典例:有四個數(shù),其中前三個數(shù)成等差數(shù)列,后三個成等比數(shù)列,且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16,第二個數(shù)與第三個數(shù)的和為12,求此四個數(shù).(答:15,,9,3,1或0,4,8,16)
5.等比數(shù)列的性質(zhì):
(1)當(dāng) 時,則有 ,特別地,當(dāng) 時,則有 .
典例:1)在等比數(shù)列 中, ,公比q是整數(shù),則 = 512 ;
2)等比數(shù)列 中,若 ,則 10 .
(2)若 是等比數(shù)列,則 、 、 成等比數(shù)列;若 成等比數(shù)列,則 、 成等比數(shù)列;
若 是等比數(shù)列,且公比 ,則數(shù)列 ,…也是等比數(shù)列(其新公比與原數(shù)列公比之間關(guān)系式為 ).
注:當(dāng) ,且 為偶數(shù)時,數(shù)列 ,…是常數(shù)數(shù)列0,它不是等比數(shù)列.
典例:1)已知 且 ,設(shè)數(shù)列 滿足 ,且
,則 ;
2)在等比數(shù)列 中, 為其前n項和,若 ,則 的值為 40 .
(3)若 ,則 為遞增數(shù)列;若 ,則 為遞減數(shù)列;
若 ,則 為遞減數(shù)列;若 ,則 為遞增數(shù)列;
若 ,則 為擺動數(shù)列;若 ,則 為常數(shù)列.
(4)當(dāng) 時, ,這里 ,但 ,這是等比數(shù)列前 項和公式的一個特征,據(jù)此很容易根據(jù) ,判斷數(shù)列 是否為等比數(shù)列.
典例:1)若 是等比數(shù)列,且其前 項和 滿足: ,則 ＝ -1 .
2)等比數(shù)列 前 項和 等差數(shù)列 前 項和 則 -1 .
(5) .
典例:1)設(shè)等比數(shù)列 的公比為 ,若 成等差數(shù)列,則 的值 -2 .
2)在等比數(shù)列 中,公比 ,設(shè)前 項和為 .若 ,則 的大小關(guān)系是( B )
A. B. C. D. 不確定
(6)數(shù)列 等比,當(dāng)項數(shù)為偶數(shù) 時, ;項數(shù)為奇數(shù) 時, .
(7)如果數(shù)列 既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列,那么數(shù)列 是非零常數(shù)數(shù)列.
提醒:故常數(shù)數(shù)列 僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條.
典例:設(shè)數(shù)列 的前 項和為 ,關(guān)于數(shù)列 有下列三個命題:
①若 ,則 既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列;
②若 ,則 是等差數(shù)列;
③若 ,則 是等比數(shù)列.這些命題中,真命題的序號是 ②③ .
6.數(shù)列的通項求法:
⑴公式法:①等差數(shù)列通項公式;②等比數(shù)列通項公式.
典例:已知數(shù)列 試寫出其一個通項公式: .
⑵已知 (即 )求 ,用作差法: .
典例:1)已知 的前 項和滿足 ,求 .（答: ）;
2)數(shù)列 滿足 ,求 .（答: ）
⑶已知 求 ,用作商法: .
典例:數(shù)列 中, 對所有的 都有 ,則 .
⑷若 求 用累加法:
典例:已知數(shù)列 滿足 , ,則 = .
⑸已知 求 ,用累乘法: .
典例:已知數(shù)列 中, ,前 項和 ,若 ,求 （答: ）
⑹已知遞推關(guān)系求 ,用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列)..
(1)形如 、 ( 為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為 的等比數(shù)列后,再求 .
典例:1)已知 ,求 (答: );
2)已知 ,求 (答: );
(2)形如 的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項.
典例:1)已知 ,求 (答: );
2)已知數(shù)列滿足 =1, ,求 (答: )
注意:(1)用 求數(shù)列的通項公式時,你注意到此等式成立的條了嗎？（ ,當(dāng) 時, ）;
(2)一般地當(dāng)已知條中含有 與 的混合關(guān)系時,常需運用關(guān)系式 ,先將已知條轉(zhuǎn)化為只含 或 的關(guān)系式,然后再求解.
典例:數(shù)列 滿足 ,求 (答: )
7.數(shù)列求和的常用方法:
(1)公式法:①等差數(shù)列求和公式;②等比數(shù)列求和公式.③其它常用公式:
; ; .
, .
典例:1)等比數(shù)列 的前 項和 ,則 ＝ ;
2)計算機(jī)是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行處理的.二進(jìn)制即”逢2進(jìn)1”,如 表示二進(jìn)制數(shù),將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是 ,那么將二進(jìn)制 轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是 .
(2)分組求和法:在直接運用公式法求和有困難時,常將“和式”中“同類項”先合并在一起,再運用公式法求和.
典例:求 （答: ）
(3)并項法求和:將數(shù)列的每兩項(或多項)并到一起后,再求和,這種方法常適用于擺動數(shù)列的求和.
典例:求 （答: ;先分奇偶性討論）
(4)倒序相加法:將一個數(shù)列倒過排序,它與原數(shù)列相加時,若有公因式可提,并且剩余的項易于求和.(這也是等差數(shù)列前 和公式的推導(dǎo)方法).
典例:已知 ,則 ＝
(4)錯位相減法:如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相乘構(gòu)成,那么常選用錯位相減法(這也是等比數(shù)列前 和公式的推導(dǎo)方法).
典例:1)設(shè) 為等比數(shù)列, ,已知 , .
①求數(shù)列 的首項和公比;(答: , )
②求數(shù)列 的通項公式.（答: ）
2)若 ,數(shù)列 滿足 .
①求證:數(shù)列 是等比數(shù)列;(答:略;)
②令 ,求函數(shù) 在點 處的導(dǎo)數(shù) ,并比較 與 的大小.(答: ,當(dāng) 時, ＝ ;當(dāng) 時, < ;當(dāng) 時, > ).
(5)裂項相消法:如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式,且相鄰項分裂后相關(guān)聯(lián),那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有:
① ;② ;
③ , ;
④ ;⑤ ;
⑥ .
⑦
典例:1)求和: ;
2)在數(shù)列 中, ,且Sｎ＝９,則n＝ 99 ;
(6)通項轉(zhuǎn)換法:先對通項進(jìn)行變形,發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征,再運用分組求和法求和.
典例:1)求數(shù)列1×4,2×5,3×6,…, ,…前 項和 = ）;
2)求和 .
8.“分期付款”、“森林木材”型應(yīng)用問題
(1)這類應(yīng)用題一般可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題.但在求解過程中,務(wù)必“卡手指”,細(xì)心計算“年限”.對于“森林木材”既增長又砍伐的問題,則常選用“統(tǒng)一法”統(tǒng)一到“最后”解決.
(2)利率問題:
①單利問題:如零存整取儲蓄(單利)本利和計算模型:若每期存入本金 元,每期利率為 ,則 期后本利和為: .(等差數(shù)列問題);
②復(fù)利問題:按揭貸款的分期等額還款(復(fù)利)模型:若貸款(向銀行借款) 元,采用分期等額還款方式,從借款日算起,一期(如一年)后為第一次還款日,如此下去,分 期還清.如果每期利率為 (按復(fù)利),那么每期等額還款 元應(yīng)滿足:
(等比數(shù)列問題).
典例:1)從2008年到2011年期間,甲每年6月1日都到銀行存入 元的一年定期儲蓄.若年利率為 保持不變,且每年到期的存款本息均自動轉(zhuǎn)為新的一年定期,到2012年6月1日,甲去銀行不再存款,而是將每年所有的存款的本息全部取回,則取回的金額是( D )
A. B. C. D.
2)陳老師購買安居工程集資房 ,單價為1000元/ ,一次性國家財政補貼28800元,學(xué)校補貼14400元,余款由個人負(fù)擔(dān).房地產(chǎn)開發(fā)公司對教師實行分期付款,即各期所付的款以及各期所付的款到最后一次付款時所生的利息合計,應(yīng)等于個人負(fù)擔(dān)的購買房余款的現(xiàn)價以及這個余款現(xiàn)價到最后一次付款時所生利息之和,每期為一年,等額付款,簽訂購房合同后一年付款一次,再過一年又付款一次,等等,共付10次,10年后付清.如果按年利率7.5%,每年復(fù)利一次計算(即本年利息計入次年的本金生息),那么每年付款多少元?(參考數(shù)據(jù): )
【解】由題知余款額為 元;
設(shè)每期(年)付款為 元,依題意得,

所以 元.

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.douzifanli.com/gaosan/34703.html

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