第五 平面向量
【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】
【學(xué)法點(diǎn)撥】
向量是溝通代數(shù)與幾何的重要工具，它在日常生活、生產(chǎn)實(shí)踐以及其他相關(guān)學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用．學(xué)習(xí)和理解向量有關(guān)知識(shí)時(shí)，建議：
1.注意比較與分析．向量的有關(guān)概念與我們學(xué)習(xí)過(guò)的有關(guān)知識(shí)既有聯(lián)系又有區(qū)別，如：平行、相等、乘積等等．留心比較分析，可防止學(xué)習(xí)過(guò)的有關(guān)知識(shí)對(duì)現(xiàn)學(xué)知識(shí)的負(fù)面影響．
2.能畫(huà)圖時(shí)盡可能多畫(huà)草圖．?dāng)?shù)離形時(shí)少直觀，形離數(shù)時(shí)欠入微．向量具有數(shù)與形的雙重特征，加減法以三角形法則、平行四邊形法則為背景，平行、垂直都對(duì)應(yīng)著一個(gè)方程，數(shù)形結(jié)合考察問(wèn)題，常常事半功倍．
3.學(xué)會(huì)聯(lián)想與化歸．向量知識(shí)是從日常生活、生產(chǎn)實(shí)踐中抽象出的，求解向量綜合題，常需要適當(dāng)聯(lián)想，并將應(yīng)用問(wèn)題數(shù)學(xué)化，復(fù)雜問(wèn)題熟悉化、簡(jiǎn)單化．
第29 向量的基本運(yùn)算
【考點(diǎn)指津】
1.理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量、相等向量等
概念．
2．掌握向量的加法與減法，會(huì)正確運(yùn)用三角形法則、平行四邊形法則．
3掌握向量加法的交換律、結(jié)合律，并會(huì)用它們進(jìn)行向量化簡(jiǎn)與計(jì)算．
4．理解向量的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為向量的加法運(yùn)算．
【知識(shí)在線】
1．（2a＋8b）－（4a－2b）=
2．在△ABC中，BC→ =a， CA→ =b，則AB→ =
3．設(shè)a表示向東3km，b表示向北偏東30º走3km，則a＋b表示的意義為
4．畫(huà)出不共線的任意三個(gè)向量，作圖驗(yàn)證a－b－c=a－（b＋c）．
5．向量a、b滿(mǎn)足a=8，b=10，求a＋b的最大值、最小值．
【講練平臺(tái)】
例1 化簡(jiǎn)以下各式：①AB→ +BC→ +CA→ ；②AB→ －AC→ ＋BD→ －CD→ ；③OA→ －OD→ ＋AD→ ；④NQ→ ＋QP→ ＋N→ －P→ ．結(jié)果為０的個(gè)數(shù)為 （ �。�
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
分析 題設(shè)條中多處涉及首尾相接的兩個(gè)向量求和以及同起點(diǎn)的兩個(gè)向量相減，對(duì)此，我們可以運(yùn)用向量加減的定義進(jìn)行合并，當(dāng)最終形式出現(xiàn)兩相反向量之和或相等向量之差時(shí)，結(jié)果為０．
答�。模�
點(diǎn)評(píng) 本題鞏固了向量加減的定義及向量加法的交換律、結(jié)合律等基礎(chǔ)知識(shí)．求解時(shí)需將雜亂的向量運(yùn)算式有序化處理，必要時(shí)也可化減為加，減低出錯(cuò)律．注意：AB→ = －BA→ ， +CB→ =AB→ ．
變題 作圖驗(yàn)證 A1A2→ ＋A2A3→ ＋A3A4→ ＋…＋An－1An→ =A1An→ （n≥2，n∈N）．
例2 如圖，在ΔABC中，D、E為邊AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，CA→ =3a，CB→ =2b，求CD→ ，CE→ ．
分析 本題中的已知向量都集中體現(xiàn)在三角形中．為此，可充分利用向量加減法的三角形法則實(shí)施求解．如已知CA→ 、CB→ 可求AB→ ，根據(jù)AD→ 、AE→ 、AB→ 均為共線向量，故又可求得AD→ 、DE→ 、．由CA→ 、AD→ 又可求CD→ ，由DE→ 、CD→ 又可求CE→ ．
解 AB→ =AC→ +CB→ = －3a+2b，
因D、E為AB→ 的兩個(gè)三等分點(diǎn)，
故AD→ = AB→ =－a＋ b =DE→ ，
CD→ =CA→ ＋AD→ =3a－a＋ b =2a＋ b，
CE→ =CD→ ＋DE→ =2a＋ b－a＋ b=a＋ b．
點(diǎn)評(píng) 三角形中兩邊對(duì)應(yīng)向量已知，可求第三邊所對(duì)應(yīng)的向量．值得注意的是，向量的方向不能搞錯(cuò)．
當(dāng)向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化成基底向量的代數(shù)式運(yùn)算時(shí)，其運(yùn)算過(guò)程可仿照多項(xiàng)式的加減運(yùn)算進(jìn)行．
例3 已知A、B、C、P為平面內(nèi)四點(diǎn)，求證：A、B、C三點(diǎn)在一條直線上的充要條是存在一對(duì)實(shí)數(shù)m、n，使PC→ =mPA→ +nPB→ ，且m+n=1．
分析 A、B、C 三點(diǎn)共線的一個(gè)充要條是存在 實(shí)數(shù)λ，使得AC→ =λAB→ ．很顯然，題設(shè)條中向量表達(dá)式并未涉及AC→ 、AB→ ，對(duì)此，我們不妨利用 PC→ =PA→ ＋AC→ 轉(zhuǎn)化，以便進(jìn)一步分析求證．
證明 充分性，由PC→ =mPA→ ＋nPB→ ， m＋n=1， 得
PA→ ＋AC→ =mPA→ ＋n（PA→ ＋AB→ ）
=（m＋n）PA→ ＋nAB→ =PA→ ＋nAB→ ，
∴AC→ =nAB→ ．
∴A、B、C三點(diǎn)共線．
必要性:由A、B、C 三點(diǎn)共線知，存在常數(shù)λ，使得AC→ =λAB→ ，
即 AP→ +PC→ =λ（AP→ +PB→ ）．
PC→ =（λ－1）AP→ ＋λPB→ =（1－λ）PA→ ＋λPB→ ，
m=1－λ，n=λ，m＋n=1，
PC→ =mPA→ ＋nPB→ ．
點(diǎn)評(píng) 逆向應(yīng)用向量加法運(yùn)算法則，使得本題的這種證法比其他證法更簡(jiǎn)便，值得一提的是，一個(gè)向量拆成兩個(gè)向量的和，一定要強(qiáng)化目標(biāo)意識(shí)．
變題 在ΔABC 所在平面上有一點(diǎn)P ，滿(mǎn)足PA→ ＋PB→ ＋PC→ =AB→ ，試確定點(diǎn) P的位置．
答：P在 AC邊上，且 P為 AC的一個(gè)三等分點(diǎn)（距 A點(diǎn)較近）
例4 （1）若點(diǎn) O是三角形ABC的重心，求證：OA→ ＋OB→ ＋OC→ =0；（2）若 O為正方形ABCD的中心，求證：OA→ ＋OB→ ＋OC→ ＋OD→ =0；（3）若O 為正五邊形ABCDE 的中心，求證：OA→ ＋OB→ ＋OC→ ＋OD→ ＋OE→ =0．
若 O為正n邊形A1A2A3…A n的中心，OA1→ ＋OA2→ ＋OA3→ ＋…＋OAn→ =0 還成立嗎？說(shuō)明理由．
分析 本題四問(wèn)構(gòu)成一個(gè)題鏈，條相似，結(jié)論相似，求證方法可望相似．
正三角形、正方形性質(zhì)特殊，我們十分熟悉，求證方法多，不容易發(fā)現(xiàn)那一種方更有利于推廣，我們選定正五邊形研究．
看著結(jié)論，聯(lián)想一個(gè)相似的并且已經(jīng)解決的問(wèn)題，本例1的變題A1A2→ ＋A2A3→ ＋A3A4→ ＋…＋An－1An→ +AnA1→ =0 ，這里的向量首尾相接，我們能不能將OA→ 、OB→ 、OC→ 、OD→ 、OE→ 也轉(zhuǎn)化成首尾相接的形式呢？運(yùn)用向量相等的定義試試看．
解 證（3）以 A為起點(diǎn)作AB′→ =OB→ ，以 B′為起點(diǎn)作B′C′→ =OC→ ，以C′為起點(diǎn)作C′D′→ =OD→ ，以D′為起點(diǎn)作D′E′→ =OE→ ．
∵∠AOB=72º，
∴∠OAB′=108º．
同理∠AB′C′=∠B′C′D′=∠C′D′E′=108º，故∠D′E′A=108º．
OA→ =AB′→ =?B′C′→ =C′D′→ =D′E′→ ，
故 E′與 O重合，OAB′C′D′為正五邊形．
OA→ ＋OB→ ＋OC→ ＋OD→ ＋OE→ =OA→ ＋AB′→ ＋B′C′→ ＋C′D′→ ＋D′E′→ =0．
正三角形，正方形、正n邊形可類(lèi)似獲證．
點(diǎn)評(píng) 本題不僅揭示了正多邊形的一類(lèi)共同性質(zhì)，而且鞏固了“以退為進(jìn)”的數(shù)學(xué)思想．面對(duì)一般的問(wèn)題，我們經(jīng)常先考慮其特殊的情況；面對(duì)陌生的問(wèn)題，經(jīng)常去聯(lián)想熟悉的模型．注意退是為了進(jìn)，退到特殊簡(jiǎn)單情形后，要在求解中悟出一般的規(guī)律．如退到正方形情況，發(fā)現(xiàn)OA→ ＋OB→ 與OC→ ＋OD→ 正好互為相反向量，結(jié)論成立．這一方法卻不具一般性．
【知能集成】
1．基礎(chǔ)知識(shí)：向量加減的代數(shù)形式運(yùn)算與幾何形式運(yùn)算．
2．基本技能：向量運(yùn)算中的合二為一與拆一為二．
3．基本思想：向量表達(dá)式運(yùn)算與幾何式運(yùn)算的相互結(jié)合思想，聯(lián)想熟悉的類(lèi)似的模型，化歸轉(zhuǎn)化思想．
【訓(xùn)練反饋】
1．下列各式正確的是： （ ）
A．?a－b?≤?a?+?b? B． a+b?>?a?+?b?
C．?a+b?>?a－b? D．? a－b?=?a?－?b?
2．下面式子中不能化簡(jiǎn)成AD→ 的是 （ ）
A．OC→ －OA→ ＋C D→ B．PB→ －DA→ －BP→
C．AB→ －DC→ ＋BC→ D．（AD→ －B→ ）＋（BC→ －C→ ）
3．正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AB→ =a，BC→ =b，AC→ =c，則a＋b＋c、a－b＋c、－a－b＋ c 的摸分別等于 ．
4．設(shè)a、b 為已知向量，若3x＋4y=a，2x－3y=b ， 則 x= ．
y= ．
5．已知 e1、e2 不共線，AB→ =2e1＋ke2，CB→ =e1＋3e2，C D→ =2e1－e2，且A、B、D 三點(diǎn)在同一條直線上，求實(shí)數(shù)k ．
6．在正六邊形ABCDEF中，O 為中心，若OA→ =a，OE→ =b，用a、b 表示向量OB→ ，OC→ ，OD→ ，結(jié)果分別為 （ ）
A．－b，－b－a，－a B． b，－a，b－a
C．－b，a，a－b D．－b，－a，a＋b
7． 試用向量方法證明：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
8．已知P為△ABO 所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿(mǎn)足OP→ = ，則P在 （ ）
A．∠AOB的平分線所在直線上 B． 線段AB的中垂線上
C． AB邊所在的直線上 D． AB邊的中線上．
9．設(shè)O是平面正多邊形A1A2A3…A n 的中心，P
為任意點(diǎn)，求證：
PA1→ ＋PA2→ ＋PA3→ ＋…＋PAn→ =nPO→ ．
10．如圖設(shè)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PQ∥BC，且PQ→ ∶
BC→ =2∶3， OA→ =a，OB→ =b，OC→ =c，
則 OP→ ，OQ→ ．
11．P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，PA→ ＋PB→ ＋PC→ =0 ，則P為△ABC的 （ ）
A．重心 B．垂心 C． 內(nèi)心 D．外心
12．在四邊形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)．求證：EF→ = （AB→
＋DC→ ）．
第30 向量的坐標(biāo)運(yùn)算
【考點(diǎn)指津】
1．理解平面向量的坐標(biāo)表示法，知道平面向量和一對(duì)有序?qū)崝?shù)一一對(duì)應(yīng)．
2．掌握平面向量的和、差、實(shí)數(shù)與向量積的坐標(biāo)運(yùn)算，能利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題．
3．掌握平面向量平行的充要條的坐標(biāo)表示，并利用它解決向量平行（共線）的有關(guān)問(wèn)題，弄清向量平行和直線平行的區(qū)別．
【知識(shí)在線】
1．若向量a的起點(diǎn)坐標(biāo)為 （－2，1），終點(diǎn)坐標(biāo)為（2，－1），則向量a的坐標(biāo)為
2．若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量a=（－3，4），則與a共線的單位向量為
3．已知a=（－1，2），b=（1，－2），則a＋b與a－b的坐標(biāo)分別為 （ ）
A．（0，0），（－2，4） B．（0，0），（2，－4）
C．（－2，4），（2，－4） D．（1，－1），（－3，3）
4．若向量a=（x－2，3），與向量b=（1，y＋2）相等，則 （ ）
A.x=I，y=3， B． x=3，y=1
C． x=1，y=－5 D． x=5，y=－1
5．已知A（0，0），B（3，1），C（4，3），D（1，2），、N分別為DC、AB的中點(diǎn)．
（1）求證四邊形ABCD為平行四邊形；
（2）試判斷A→ 、CN→ 是否共線？為什么？
【講練平臺(tái)】
例1 已知a=（1，2），b=（－3，2），當(dāng)k為何值時(shí)，ka+b與a－3b平行？
分析 已知a、b的坐標(biāo)，可求a－3b的坐標(biāo)，ka＋b的坐標(biāo)也可用含k的表達(dá)式表示．運(yùn)用兩向量平行的充要條x1y2－x2y1=0可求k值．
解 由已知a=（1，2），b=（－3，2）， 得
a－3b=（10，－4）， ka＋b=（k－3，2k＋2）．
因（ka＋b）∥（a－3b），
故10（2k＋2）＋4（k－3）=0．
得k=－ ．
點(diǎn)評(píng) 坐標(biāo)形式給出的兩個(gè)向量，其橫坐標(biāo)之和即為和向量的橫坐標(biāo)；其縱坐標(biāo)之和即為和向量的縱坐標(biāo)．實(shí)數(shù)與向量的積其橫、縱坐標(biāo)分別等于實(shí)數(shù)與該向量的橫、縱坐標(biāo)的積．
向量的平行用坐標(biāo)形式表達(dá)即為一個(gè)方程．
例2 已知向量a=（ ， ），b=（－1，2），c=（2，－4）．求向量d，使2a，－b＋ c及4（c－a）與d四個(gè)向量適當(dāng)平移后，能形成一個(gè)順次首尾相接的封閉向量鏈．
分析 四個(gè)向量適當(dāng)平移后，形成一個(gè)順次首尾相接的封閉向量鏈，說(shuō)明這四個(gè)向量之和為0．即四個(gè)向量的縱橫坐標(biāo)之和均為0．據(jù)此列出關(guān)于向量d（x，y）的方程組，不難求得x、y．
簡(jiǎn)解 設(shè)向量d的坐標(biāo)為（x，y），由2a＋（－b＋ c）＋4（c－a）＋d=0，
可解得d=（－9，23）．
點(diǎn)評(píng) 數(shù)學(xué)語(yǔ)言常有多種表達(dá)方式，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化與變通是求解的關(guān)鍵．本題以幾何特征語(yǔ)言形式出現(xiàn)，最終落足點(diǎn)要變式成方程的語(yǔ)言求解，這一思想方法在求解向量問(wèn)題時(shí)經(jīng)常用到．
例3 已知平面上三點(diǎn)P（2，1），Q（3，－1），R（－1，3）．若點(diǎn)S與這三點(diǎn)可以為一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，求S的坐標(biāo)．
分析 平行四邊形對(duì)邊對(duì)應(yīng)向量相等或相反，由此可求得S點(diǎn)的坐標(biāo)．但由于題設(shè)四點(diǎn)構(gòu)成四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，那一組邊是對(duì)邊不明顯，需要分類(lèi)討論．
簡(jiǎn)解 設(shè)S的坐標(biāo)為（x，y）．
（1）當(dāng)PQ→ 與RS→ 是一組對(duì)邊時(shí)，
若PQ→ =RS→ ，則（3，－1）－（2，1）=（x＋1，y－3），
即 （1，－2）=（x＋1，y－3），得S點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）．
若PQ→ =SR→ ，則S點(diǎn)坐標(biāo)為（－2，5）．
（2）當(dāng)PR→ 與SQ→ 是一組對(duì)邊時(shí)，
若PR→ =SQ→ ，則S點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，－3）．
若PR→ =QS→ ，則S點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1）．
（3）當(dāng)PS→ 與RQ→ 是一組對(duì)邊時(shí)，
若PS→ =RQ→ ，則S點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，－3）．
若PS→ =QR→ ，則S點(diǎn)的坐標(biāo)為（－2，5）．
綜上所述，S點(diǎn)坐標(biāo)可以為（0，1），（6，－3），（－2，5）．
點(diǎn)評(píng) 本題求解需運(yùn)用分類(lèi)討論思想．上述解法思路自然、條理清晰，但很顯然不是最簡(jiǎn)方案，如何數(shù)形結(jié)合，避免重復(fù)勞動(dòng)，讀者不妨思考．
例4 向量PA→ =（k，12），PB→ =（4，5），PC→ =（10，k），當(dāng)k為何值時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線．
分析 三點(diǎn)共線問(wèn)題前一已涉及，A、B、C三點(diǎn)共線的充要條是AB→ =λBC→ ，本題所不同的是向量用坐標(biāo)形式給出，對(duì)此，我們可以將坐標(biāo)代入運(yùn)算．
解 AB→ =PB→ －PA→ =（4－k，－7），BC→ = PC→ －PB→ =（6，k－5）．
當(dāng)A、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，存在實(shí)數(shù)λ，使得AB→ =λBC→ ，將坐標(biāo)代入，得
4－k=6λ，且 －7=λ（k－5），
故（4－k）（k－5）=－42．
解得k=11，或k=－2．
點(diǎn)評(píng) 向量的幾何運(yùn)算與向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可以從不同角度去求解（證）同一個(gè)問(wèn)題．只不過(guò)兩套工具各有適用范圍，即便兩套工具都適用，也可能繁簡(jiǎn)不一，應(yīng)用時(shí)要注意前瞻性選擇．
變題 求證：互不重合的三點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）共線的充要條是（x2－x1）（y3－y1）=（x3－x1）（y2－y1）．
證明 必要性（略）．
充分性 若（x2－x1）（y3－y1）=（x3－x1）（y2－y1），由A、B、C互不重合，得（x2－x1）、（y3－y1）、（x3－x1）、（y2－y1）中至少有一個(gè)不為零，不妨設(shè)x3－x1≠0．令x2－x1=λ（x3－x1），若λ=0，則x2－x1=0，此時(shí)y2≠y1（否則A、B重合）．而已知等式不成立，故λ≠0．于是（x3－x1）（y2－y1）=λ（x3－x1）（y3－y1）．
因x3－x1≠0 ，故 （y2－y1）=λ（y3－y1）．
于是（x2－x1，y2－y1）=λ（x3－x1，y3－y1），即 AB→ =λAC→ ，且AC→ ≠0 ．
又因AB→ 與AC→ 有相同起點(diǎn)，所以A、B、C三點(diǎn)共線．
【知能集成】
基礎(chǔ)知識(shí)：坐標(biāo)形式的向量的加減運(yùn)算，實(shí)數(shù)與向量坐標(biāo)的積．
基本技能：向量平行的充要條及向量相等的充要條用坐標(biāo)形式描述和應(yīng)用．
基本思想：將向量等式轉(zhuǎn)化成方程的思想；對(duì)幾何圖形的分類(lèi)討論思想．
【訓(xùn)練反饋】
1．若a=（2，3），b=（4，y－1），且a∥b，則y= （ ）
A．6 B．5 C．7 D． 8
2．已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，n），AB→ 的坐標(biāo)為（i，j），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為 （ ）
A．（m－i，n－j） B．（i－m，j－n）
C．（m＋i，n＋j） D．（m＋n，i＋j）
3．若A（－1，－1），B（1，3），C（x，5）三點(diǎn)共線，則x= ．
4．已知a=（5，4），b=（3，2），則與2a－3b平行的單位向量為
5．有下列說(shuō)法
①已知向量PA→ =（x，y），則A點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）；
②位置不同的向量，其坐標(biāo)有可能相同；
③已知i=（1，0），j=（0，1），a=（3，4），a=3i－4j ；
④設(shè)a=（m，n），b=（p，q），則a=b的充要條為m=p，且n=q．
其中正確的說(shuō)法是 （ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
6．下列各向量組中，不能作為表示平面內(nèi)所有向量的基底的一組是 （ ）
A．a(chǎn)=（－1，2），b=（0，5） B．a(chǎn)=（1，2），b=（2，1）
C．a(chǎn)=（2，－1）b=（3，4） D．a(chǎn)=（－2，1），b=（4，－2）
7．設(shè)a=（－1，2），b=（－1，1），c=（3，－2），用a、b作基底，可將向量c表示為c=pa＋qb，則 （ ）
A．p=4， q=1 B．p=1， q=－4 C．p=0 ， q=4 D．p=1， q=4
8．設(shè)i=（1，0），j=（0，1），在平行四邊形ABCD中，AC→ =4i＋2j，BD→ =2i＋6j，則AB→ 的坐標(biāo)為 ．
9．已知3sinβ=sin（2α＋β），α≠kπ＋ ，β≠kπ，k∈z，a=（2，tan（α+β）），b=（1，tanα），求證：a∥b．
10．已知A（4，0），B（4，4），C（2，6），求AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y）．
11．已知點(diǎn)O（0，0），A（1，2），B（4，5），且OP→ =OA→ ＋tAB→ ．
（1）當(dāng)t變化時(shí)，點(diǎn)P是否在一條定直線上運(yùn)動(dòng)？
（2）當(dāng)t取何值時(shí)，點(diǎn)P在y軸上？
（3）OABP能否成為平行四邊形？若能求出相應(yīng)的t值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
第31 平面向量的數(shù)量積
【考點(diǎn)指津】
1．掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義．
2．了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題．
3．掌握向量垂直的條．
【知識(shí)在線】
1．若?a?=4，?b?=3，a•b=－6，則a與b的夾角等于 （ ）
A．150º B 120º C．60º D．30 º
2．若a=（－2，1），b=（1，3），則2a2－a•b= （ ）
A，15 B．11． C．9 D．6
3．已知向量 i=（1，0），j=（0，1），則與向量2i＋j垂直的一個(gè)向量為 （ ）
A． 2i－j B． i－2j C． i＋j D． i－j
4．已知a=（1，2），b=（1，1），c=b－ka，且c⊥a，則C點(diǎn)坐標(biāo)為
5．已知?a?=3，?b?=4，且a與b夾角為60º，?ka－2b?=13，求k的值
【講練平臺(tái)】
例1（1）在直角三角形ABC中，∠C=90º，AB=5，AC=4，求AB→ •BC→
（2）若a=（3，－4），b=（2，1），試求（a－2b）•（2a＋3b）
分析 （1）中兩向量AB→ 、BC→ 的模及夾角容易求得，故可用公式
a•b=abcosθ求解．
（2）中向量a、b坐標(biāo)已知，可求a2、b2、a•b，也可求a－2b與2a＋3b的坐標(biāo)，進(jìn)而用（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2＋y1y2求解．
解（1） 在△ABC中，∠C=90º，AB=5，AC=4，故BC=3，且cos∠ABC= ，AB→ 與BC→ 的夾角θ=π－∠ABC，
∴AB→ •BC→ =－?AB→ ??BC→ ?cos∠ABC=－5×3× =－9．
（2）解法一 a－2b=（3，－4）－2（2，1）=（－1，－6），
2a－3b=2（3，－4）＋3（2，1）=（12，－5），
（a－2b）•（2a＋3b）=（－1）×12＋（－6）×（－5）=18．
解法二 （a－2b）•（2a＋3b）=2a2－a•b－6b2
=2[32＋（－4）2]－[3×2＋（－4）×1]－6（22＋12）=18．
點(diǎn)評(píng) 向量的數(shù)量積有兩種計(jì)算方法，一是依據(jù)模與夾角計(jì)算，二是依據(jù)坐標(biāo)計(jì)算．具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條的特征選擇．
值得注意的是，向量的夾角與向量的方向相關(guān)，（1）中∠ABC并非AB→ 與BC→ 的夾角．
從第（2）問(wèn)的解法二可以看到，向量數(shù)量積的運(yùn)算律，類(lèi)似于多項(xiàng)式乘法法則，但并不是所有乘法法則都可以推廣到向量數(shù)量積的運(yùn)算．如：a•（b＋c）=a•b＋b•c，而（a•b）c≠a（b•c）．
例2．已知O為三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足OA2+BC2=OB2+CA2，試用向量方法證明AB⊥OC ．
分析 要證AB→ ⊥OC→ ，即證AB→ •OC→ =0，題設(shè)中不涉及AB→ ，我們用AB→ =AO→ +OB→ 代換，于是只需證AO→ •OC→ =BO→ •OC→ ．至此，我們可以嘗試將已知等式轉(zhuǎn)化成只含有OA→ 、OB→ 、OC→ 的形式．
證明 由已知得OA→ 2+BC→ 2=OB→ 2+CA→ 2，即OA→ 2+（BO→ +OC→ ）2=OB→ 2+（CO→ +OA→ ）2，整理得AO→ •OC→ =BO→ •OC→ ，即 OC→ •（BO→ +OA→ ）=0，
故 OC→ •AB→ =0．所以 AB→ ⊥OC→ ．
點(diǎn)評(píng) 用向量方法證明垂直問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為證兩個(gè)向量的數(shù)量積為0．本題已知式與求證式中向量的表達(dá)形式不統(tǒng)一，針對(duì)差異進(jìn)行有目標(biāo)的化歸，是求解的關(guān)鍵所在．
例3．設(shè)OA→ =a=（ ＋1， －1），OB→ =b=（ ，3），試求∠AOB及ΔAOB的面積．
分析 已知a、b可以求a、b及a•b，進(jìn)而求得∠AOB（即a與b的夾角），在求到三角形的兩邊及夾角后，可用公式：S= ?a??b?sinθ求面積．
解 設(shè)∠AOB=θ，ΔAOB的面積為S，由已知得：
?OA→ ?=?a?= =2 ，?OB→ ?=?b?=2 ，
∴cosθ= = = ．∴θ= ．
又S= ?a??b?sinθ= •2 =2 ，
即∠AOB= ，ΔAOB的面積為2 ．
點(diǎn)評(píng) 向量的數(shù)量積公式a•b=?a??b?cosθ不僅可以用求數(shù)量積，也可以用求模與夾角．要注意該公式與三角形的面積公式的區(qū)別．此外，本題的解題方法可適用于更一般的情況（見(jiàn)變題）．
變題 設(shè)ΔABC的面積為S，AB→ =a，AC→ =b，求證S=
例4．已知a與b都是非零向量，且a+3b與7a-5b垂直，a-4b與7a-2b垂直，求a與b的夾角．
分析 要求夾角θ，必需求出cosθ；求cosθ需求出a•b與?a??b?的比值（不一定要求出?a?、?b?的具體值）．由已知的兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，可以得到?a??b?與a•b的關(guān)系．
解 ∵（a+3b）⊥（7a-5b），（a-4b）⊥（7a-2b），
∴ （a+3b）•（7a-5b）=0，
（a-4b）•（7a-2b）=0．
即 7a2+16a•b-15b2=0，
7a2-30a•b+8b2=0．
兩式相減，得 b2=2a•b．
故 a2=b2 ， 即 ?a?=?b?．
∴cosθ= = ．
∴θ=60º ， a與b的夾角為60º ．
點(diǎn)評(píng) 從基本量思想考慮，似乎沒(méi)有具體的a與b，無(wú)法求出a與b的夾角，其實(shí)不然，cosθ是一個(gè)a•b與?a??b?的比值，并不需要具體分別求出．類(lèi)似于本題的條表明，向量的數(shù)量積公式、向量的垂直關(guān)系都揭示了一種數(shù)量積與模的關(guān)系，就此意義而言，它們的本質(zhì)是一致的相通的，可以相互轉(zhuǎn)化和利用．
在本題求解過(guò)程中注意，b2=2a•b不能得出b=2a，同樣a2=b2也不能得到a=±b．
【知能集成】
基礎(chǔ)知識(shí)：向量數(shù)量積的兩種計(jì)算公式，向量垂直的充要條．
基本技能：求向量數(shù)量積、模及向量的夾角，向量垂直問(wèn)題的論證與求解．
基本思想：向量表達(dá)式的數(shù)量積與多項(xiàng)式乘法進(jìn)行類(lèi)比的思想，將線的垂直這一圖形特征轉(zhuǎn)化成方程解決的思想．求向量夾角時(shí)的設(shè)而不求的思想．
【訓(xùn)練反饋】
1．已知 =5，a與b的夾角的正切值為 ，a•b=12，則b的模為（ ）
A．4 B．3 C． D．
2．已知 =2，向量a在單位向量e方向上的投影為－ ，則向量a與e向量的夾角為（ ）
A．30º B．60º C．120º D．150º
3．已知a=（1，－2），b=（5，8），c=（2，3），則a•（b•c）為 （ ）
A．34 B．（34，－68） C ．－68 D．（－34，68）
4．邊長(zhǎng)為 的正三角形ABC中，設(shè)AB→ =c，BC→ =a，CA→ =b，則a•b＋b•c＋c•a等于（ ）
A． －3 B． 0 C． 1 D． 3
5．已知a=（1，2），b=（x，1），當(dāng)（a＋2b）⊥（2a－b）時(shí)，實(shí)數(shù)x的值為 ．
6．已知m=（－5，3），n=（－1，2），當(dāng)（λm＋n）⊥（2n＋m）時(shí)，實(shí)數(shù)λ的值為 ．
7．已知a=b=1，a與b夾角為90º，c=2a＋3b，d=ka－4b，且c⊥d，則k=
8．已知A、B、C、D是平面上給定的四個(gè)點(diǎn)，則AB→ •CD→ ＋AC→ •DB→ ＋AD→ •BC→ = ．
9．已知a＋b=（2，－8），a－b=（－8，16），則a與b夾角的余弦值為 ．
10．設(shè)兩向量e1、e2滿(mǎn)足 e1=2， e2=1， e1、e2的夾角為60º，若向量2te1＋7e2與向量e1＋te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
11．設(shè)向量a=（cos23º，cos67º），b=（cos68º，cos32º），u=a＋tb (t∈R)．
（1）求a•b；
（2）求u的模的最小值．
12．設(shè)a=（1＋cosα，sinα）， b=（1－cosβ，sinβ）， c=（1，0）， α∈（0，π），β∈（π，2π），a與c的夾角為θ1，b與c的夾角為θ2，且θ1－θ2= ，求sin 的值．
第32 線段的定比分點(diǎn)、平移
【考點(diǎn)指津】
1．掌握線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并且熟練運(yùn)用．
2．掌握平移公式，并能運(yùn)用平移公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式．
3．理解公式的推導(dǎo)過(guò)程，必要時(shí)能回到定義去，用向量運(yùn)算的相關(guān)知識(shí)，解決定比分點(diǎn)問(wèn)題和平移問(wèn)題．
【知識(shí)在線】
1．若P分AB→ 所成的比為 ，則A分BP→ 的比為 （ ）
A． B．－ C．－ D．
2．設(shè)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，P分AB→ 所成的比為λ，則 （ ）
A．λ＜－1 B．－1＜λ＜0 C．0＜λ＜1 D．λ＞1
3．按向量a將點(diǎn)（2，3）平移到（0，1），則按向量a將點(diǎn)（7，1）平移到點(diǎn) （ ）
A．（9，－3） B．（9，3） C．（5，－1） D．（－5，－3）
4．若函數(shù)y=f（1－2x）的圖象，按向量a平移后，得到函數(shù)y=f（－2x）的圖象，則向量a= ．
5．設(shè)三個(gè)向量OA→ =（－1，2），OB→ =（2，－4），OC→ 的終點(diǎn)在同一條直線上（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）若點(diǎn)C內(nèi)分AB→ 所成的比為 ，求C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)C外分AB→ 所成的比為－ ，求C點(diǎn)坐標(biāo)．
【講練平臺(tái)】
例1已知P（1，1），A（2，3），B（8，－3），且C、D順次為AB的三等分點(diǎn)（C靠近A），求PC→ 和PD→ 的坐標(biāo)．
分析 已知A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，可求AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，進(jìn)而結(jié)合已知P點(diǎn)坐標(biāo)，可求PC→ ，PD→ ．
解 解法一 由題知，點(diǎn)C、D分AB所成的比分別為λ1= ，λ2=2 ，
設(shè)C（x，y），則
即C（4，1），同理可得D（6，－1）．
故PC=（4，1）－（1，1）=（3，0），PD=（6，－1）－（1，1）=（5，－2）．
解法二 因A、B、C、D四點(diǎn)共線，由已知得 ，AD→ =23 AB→ ，
故PC→ =PA→ ＋AC→ =（2－1，3－1）＋ （8－2，－3－3）=（3，0），
PD→ =PA→ ＋AD→ =（2－1，3－1）＋23 （8－2，－3－3）=（5，－2）．
點(diǎn)評(píng) 定比分點(diǎn)公式涉及起點(diǎn)坐標(biāo)、終點(diǎn)坐標(biāo)、分點(diǎn)坐標(biāo)、定比七個(gè)量，它們之間固有的聯(lián)系有兩個(gè)方程，故已知其中五個(gè)量能求其余兩個(gè)量，若是只考察其中一個(gè)方程（如橫坐標(biāo)關(guān)系式），只須已知其中三個(gè)，可求第四個(gè)．對(duì)此，我們不僅要考察公式的原形，還需掌握公式的變形．
本題的解法二，回歸到最基礎(chǔ)的向量加減處理定比分點(diǎn)問(wèn)題，運(yùn)算量小，出錯(cuò)率低．
例2 將函數(shù) 的圖象按向量a平移后得到函數(shù) 的圖形，求a和實(shí)數(shù)k．
分析 平移前后的函數(shù)表達(dá)式已知，可以通過(guò)恒等變形，求得整體結(jié)構(gòu)一致，再比較變量x、y的變化，確定平移公式，得向量a，而k則可通過(guò)比較系數(shù)法求得．
解
令 x′ = x－ ，
y′=y－ ．
原函數(shù)解析式變形為y′=－ ，
∴ a=（－ － ）， k=－ ．
點(diǎn)評(píng) 圖形的平移變換，實(shí)質(zhì)是圖形上任意一點(diǎn)的變換，求解平移變換問(wèn)題至關(guān)重要的是確定關(guān)于點(diǎn)的坐標(biāo)的平移公式．
面對(duì)較為復(fù)雜的函數(shù)表達(dá)式，為了畫(huà)出其圖形，并討論其性質(zhì)，常采納平移變換化繁為簡(jiǎn)．
變題 通過(guò)平移變換，化簡(jiǎn) （ad－bc≠o ， c≠o），并作出圖形．
提示： = ，
令
并記 =k≠0， 則原方程化簡(jiǎn)為 ．
因此，原函數(shù)的圖象按向量a= 平移后得 的圖象，故其圖象是以 為中心的，以x= 為漸近線的雙曲線．
例3．將函數(shù) 的圖象，按向量a平移后得到的函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．這樣的向量是否唯一？若唯一，求出向量a；若不唯一，求a模的最小值．
分析 正弦函數(shù)是周期函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)時(shí)，表達(dá)式不唯一．就本題而言，平移后的函數(shù)解析式可以是y=2sin2x ， 也可以是y=2sin（2x＋π），y=2sin（2x－π）等等．因此，向量a不唯一．
要求?a?的最小值，首先必需確定平移后函數(shù)表達(dá)式的一般式，并在此基礎(chǔ)上建立關(guān)于?a?的目標(biāo)函數(shù)．
解 向量a不唯一．平移后的圖象對(duì)應(yīng)解析式可以為y=2sin（2x＋kπ）， k∈Z
考察原函數(shù)表達(dá)式 ，
可令 （k∈Z）
即 ，
∴ a=（－ ，－1）， ( k∈Z)，
a （k∈Z）．
∴ 當(dāng)k=2 時(shí)，?a?取最小值，最小值為 ．
點(diǎn)評(píng) 常見(jiàn)向量平移變換應(yīng)用于三角函數(shù)式化簡(jiǎn)，多數(shù)問(wèn)題思路單一，結(jié)論唯一．本題突破常規(guī)，開(kāi)放性的設(shè)計(jì)，要求解題者具有更深刻的思維能力．
例4．設(shè)A（1，1），B（5，5），且P在直線AB上，若AB→ =λAP→ ，AP→ =λPB→ ，P點(diǎn)是否可能落在線段AB的延長(zhǎng)線上 ？若能，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不能；說(shuō)明理由．
分析 由AB→ =λAP→ 知，要使P落在線段AB的延長(zhǎng)線上，只需λ∈（0，1）．為此，我們?cè)O(shè)法將兩個(gè)已知向量等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于λ的方程，解出λ，檢驗(yàn)λ∈（0，1）是否成立．
解 AB→ =（5，5）－（1，1）=（4，4），
設(shè)P（x，y），則AB→ =λAP→ =λ2 PB→ ．
（4，4）=λ2（5－x，5－y）=λ（x－1，y－1），
且
依據(jù)兩個(gè)方程組的第一個(gè)方程，消去x，得
5λ2－λ（4＋λ）=4，即λ2－λ－1=0，
∴ λ= ．
數(shù)形結(jié)合知，在AB→ =λAP→ 時(shí)，要P落在線段AB的延長(zhǎng)線上，則需λ∈（0，1），所求兩個(gè)λ的值均不符合題意，故P不可能落在AB延長(zhǎng)線上．
【知能集成】
基礎(chǔ)知識(shí)：向量的平移公式，定比分點(diǎn)定義、公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式．
基本技能：求平移公式，求點(diǎn)關(guān)于向量平移后的坐標(biāo)，求函數(shù)圖象關(guān)于向量平移后對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．運(yùn)用定比分點(diǎn)公式，求端點(diǎn)、分點(diǎn)坐標(biāo)及定比．
基本思想：①回到定義去，回避定比分點(diǎn)公式的繁瑣運(yùn)算．②用基本量思想看定比分點(diǎn)公式．③運(yùn)用整體分析、比較觀點(diǎn)，確定平移公式．
【訓(xùn)練反饋】
1．點(diǎn)（4，3）關(guān)于點(diǎn)（5，－3）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)是 （ ）
A．（4，－3） B．（6，－9） C．（ ，0） D．（ 12 ，3）
2．點(diǎn)A（0，m）按向量a平移后得到點(diǎn)B（m，0），則向量a的坐標(biāo)是 （ ）
A．（m ， m） B．（m ， －m） C．（－m ， m） D．（－m ， －m）
3． 按向量a可把點(diǎn)（2，0）平移到點(diǎn)（－1，2），則點(diǎn)（－1，2）按向量a平移后得到的點(diǎn)是（ ）
A．（2，0） B．（－3，2） C．（2，4） D．（－4，4）
4．將函數(shù) 的圖象，按向量a平移后得到的圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，則a可以是 （ ）
A． （－ ，－4） B． （－ ，4） C． （ ，4） D． （－ ，－4）
5．已知點(diǎn)P（2，3），分P1P2所成的比為2，且點(diǎn)P2（1，2），則點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（ ）
A．（4，5） B．（0，1） C．（3，4） D．（5，6）
6．將函數(shù)y=x2＋mx＋n圖象的頂點(diǎn)P按向量a平移到原點(diǎn)O，則a= ．
7． 函數(shù) 的圖象按向量a=（2，1）平移后得到函數(shù) 的圖象．
8．已知A（2，2），B（－3，4），C（4，－1），則ΔABC的重心坐標(biāo)為 ．
9．若?P1P2?=5 cm，點(diǎn)P在線段P1P2的反向延長(zhǎng)線上，且?P1P?=1 cm，則P分P1P2所成的比為 ．
10． 已知O為原點(diǎn)，m∈R且m≠0，OA=（m，2m），OB=（2，2），求點(diǎn)B關(guān)于直線OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C的坐標(biāo)．
11． 已知關(guān)于x的一次函數(shù)y=ax+b的圖象C按向量p =（1，2）平移后，得到的圖象仍然是C，問(wèn)這樣的一次函數(shù)是否唯一？若唯一，求出該函數(shù)的解析式；若不唯一，說(shuō)明這類(lèi)函數(shù)的表達(dá)式的共同特征．
12．已知A、B、C三點(diǎn)在一條直線上，且OA→ －3OB→ ＋2OC→ =0 ，求點(diǎn)A分BC→ 所成的比λ．
第33 平面向量的應(yīng)用
【考點(diǎn)指津】
1．在閱讀、理解具有實(shí)際意義的字的基礎(chǔ)上，能準(zhǔn)確、清晰、有條理地用向量的語(yǔ)言表述問(wèn)題．
2．能從實(shí)際問(wèn)題中提煉、概括抽象出數(shù)學(xué)模型．
3．能綜合運(yùn)用所學(xué)向量知識(shí)及有關(guān)數(shù)學(xué)思想方法，求出數(shù)學(xué)模型的解．
4．能結(jié)合實(shí)際意義，正確表述問(wèn)題的解．
5．能用向量知識(shí)簡(jiǎn)捷地處理其它數(shù)學(xué)分支相關(guān)問(wèn)題．
【知識(shí)在線】
1．下列各個(gè)量：①物體的位移；②汽車(chē)的速度；③物體的質(zhì)量；④某液體的溫度．其中能稱(chēng)為向量的有 ．
2．已知三個(gè)力F1=（1，3），F(xiàn)2（－2，1），F(xiàn)3=（x，y），某物體在這三個(gè)力的同時(shí)作用下保持平衡，則力F3= ．
3．設(shè)某人向東走3 km后，又改變方向向北偏東30º走3 km，該人行走的路程是 ，他的位移是 ．
4．用向量方法證明勾股定理．
5．一條東西方向的河流，水流速度為2 km/h，方向正東．一船從南岸出發(fā)，向北岸橫渡，船速為4 km/h，試求船的實(shí)際航行速度，并畫(huà)出圖形（角度可用反三角函數(shù)表示）．
【講練平臺(tái)】
例1 某一天，一船從南岸出發(fā)，向北岸橫渡．根據(jù)測(cè)量，這一天水流速度3km/h，
方向正東，風(fēng)向北偏西30º，受風(fēng)力影響，靜水中船的飄行速度大小也為3 km/h，若要使該船由南向北沿垂直于河岸的方向以23 km/h．的速度橫渡，求船本身的速度大小及方向．
分析 撇開(kāi)題設(shè)情境，提煉出四個(gè)速度，即水流速度v1，風(fēng)的速度v2，船本身的速度v3，船的實(shí)際航行速度v，并且有v1＋v2＋v2=v，在這一等式中，v1、v2、v已知，v3可求．
略解：設(shè)水的速度為v1 ，風(fēng)的速度v2，v1＋v2=a，
易求得a的方向是北偏東 30º，a的大小為 3 km/h ．
設(shè)船的實(shí)際航行速度v，方向南向北，大小 23 km/h．．船本身的速度v3，則a+v3=v ， 即 v3=v-a ， 數(shù)形結(jié)合知，v3方向是北偏西60º，大小為3 km/h．．
點(diǎn)評(píng) 這是一個(gè)與“知識(shí)在線”第5題相似的問(wèn)題，熟悉的情境以及簡(jiǎn)單情況下的解題經(jīng)驗(yàn)為本題求解奠定了基礎(chǔ)．
四種速度融為一體，我們采納分步合成，步步為營(yíng)的策略．每一次合成只相當(dāng)于求解了一個(gè)簡(jiǎn)單題．
例2 已知O為ΔABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足
OA→ 2＋ BC→ 2=CA→2＋OB→2=OC→2＋AB→2．試證明O是ΔABC的垂心．
分析 已知等式是關(guān)于線段長(zhǎng)度平方和的等式，OA→ 與BC→ 、OB→與CA→、OC→與AB→ 都不是同一個(gè)直角三角形中的線段，用純平面幾何知識(shí)證明相當(dāng)困難．
但線段長(zhǎng)度平方和即向量模的平方，要證O是ΔABC的垂心，只需證得OA→ ⊥BC→ ，OB→⊥CA→，聯(lián)想向量的數(shù)量積，只需證OA→ •BC→ =OB→•CA→=0．
OA→ 2＋ BC→ 2=CA→2＋OB→2 ，得
a2＋（c－b）2=b2＋（a－c）2 ， c•b=a•c ，即（b－a）•c=0．
OC→•AB→=0， 故 AB→⊥OC→．
同理 CA→⊥OB→，BC→ ⊥OA→ ．
故O是ΔABC的垂心．
點(diǎn)評(píng) 向量知識(shí)的應(yīng)用領(lǐng)域很寬泛，中學(xué)數(shù)學(xué)所涉及的平幾、立幾、解幾、函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式等等，都可以與向量綜合，求解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于揭去偽裝，合理轉(zhuǎn)化．
例3．如圖所示，對(duì)于同一高度（足夠高）的兩個(gè)定滑輪A、B，用一條足夠長(zhǎng)的繩子跨過(guò)它們，并在兩端分別掛有質(zhì)量為m1和m2的物體（m1≠m2），
另在兩滑輪中間的一段繩子的O點(diǎn)處懸掛質(zhì)量為m的另一物體，已知m1∶m2=OB∶OA，且系統(tǒng)保持平衡（滑輪半徑、繩子質(zhì)量均忽略不計(jì)）．求證：
（1）∠AOB為定值；
（2） ＞2．
分析 依據(jù)題意，我們可以作出物體的受力圖，
引用平衡條可列出方程組，在方程組的變形中，探索∠AOB的大小，在求出∠AOB后，再向第2問(wèn)結(jié)論努力．
解（1）設(shè)兩繩子AO、BO對(duì)物體m的拉力分別為
F1、F2，物體m向下的重力為F，由系統(tǒng)平衡條知F1+F2+F=0．
如圖，設(shè)∠BAO=α，∠ABO=β，根據(jù)平行四邊形法則，得
F2cosβ+F1cos（π－α）=0，
F2sinβ+F1sin（π－α）＋F=0．
即 m2cosβ－m1 cosα=0 ， ①
m2sinβ＋m1 sinα=m． ②
在ΔAOB中，由正弦定理，得OB∶OA= sinα∶sinβ，將m1∶m2= sinα∶sinβ代入①，得
sinβcosβ= sinαcosα，即sin2β= sin2α．
∵m1≠m2 ，∴OA≠OB． ∴α≠β，2α＋2β=180º．
∴α＋β=90º， 即∠AOB=90º．
（２）由α＋β=90º，得 cosβcosα＝sinβsinα．
將①②平方相加，得m2=m12＋m22 ．
由m2－2m1m2=m12＋m22－2m1m2=（m1－m2）2>0 ，得m2>2m1m2．
∴ ＞2．
點(diǎn)評(píng) 向量在物理中的應(yīng)用最常見(jiàn)的是力學(xué)問(wèn)題，物體處于平衡狀態(tài)即所受各力的合力為０，亦即向量之和為零向量，運(yùn)用三角形法則、平行四邊形法則及解斜三角形的基礎(chǔ)知識(shí)可望得到問(wèn)題的解．本題所列方程組，是根據(jù)物體水平方向、豎直方向所受各力的合力分別為０得到．
【知能集成】
向量知識(shí)是一種基礎(chǔ)性、工具性知識(shí)，在跨學(xué)科內(nèi)分支、跨學(xué)科范疇、跨認(rèn)知領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用中，我們應(yīng)逐步增強(qiáng)閱讀理解能力，數(shù)學(xué)建模、解模能力，和分析問(wèn)題解決問(wèn)題能力．
【訓(xùn)練反饋】
１．如果一架向東飛行200km，再向南飛行300km，記飛機(jī)飛行的路程為s，位移為a，則 （ ）
A． s>a B． s<a C． s=a D． s與a不能比大小
２．當(dāng)兩人同提重G的書(shū)包時(shí)，用力都為F，夾角為θ，則F、G、θ之間的關(guān)系為F = G2cosθ2；當(dāng)θ= 時(shí)，F(xiàn)取得最小值；當(dāng)F=G時(shí)，θ= ．
３．一條河寬為d，水流速度為v2，一船從岸邊A處出發(fā)，垂直河岸線航行到河的正對(duì)岸B處，船在靜水中的速度為v1，則船在航行過(guò)程中，船的實(shí)際航行速度大小為 （ ）
A． v1 B． v12＋ v22 C． v12－ v22 D． v1－ v2
4．一艘船以4km/h的速度，沿著與水流方向成120º的方向航行，已知河水流速為2 km/h，該船若航行6 km，所須時(shí)間為 （ ）
A．3 h B．23 h C．3 h D．2 h
5.已知向量OA1→ =3i＋2j，AnAn＋1→ =2i＋2j（n∈N＋），則OAn→= ．
6.已知A（k，12），B（4，5），C（10，k），若點(diǎn)C在線段AB上，則k值等于 （ ）
A．11 B．－2 C．－11或2 D．485 或252
7．已知ΔABC中，AB→=c，BC→=a，CA→=b，則下列推理不正確的是 （ ）
A．若a•b=b•c，則ΔABC為等腰三角形
B．若a•b>0，則ΔABC為鈍角三角形
C．若a•b=0，則ΔABC為直角三角形
D．若c•（a＋b＋c）=0，則ΔABC為正三角形
8．在一次抗洪搶險(xiǎn)中，某救生艇發(fā)動(dòng)機(jī)突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動(dòng)，失去動(dòng)力的救生艇在洪水中漂行．此時(shí)，風(fēng)向是北偏東30º，風(fēng)速是20 km/h．；水的流向是正東，流速為20 km/h．，若不考慮其它因素，救生艇在洪水中漂行的速度為 ．
9．已知a=（sinα， sinα－cosα），b=（cosα，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OP→=a＋b，
則OP→= ．
10．一個(gè)30º的斜面上放有一個(gè)質(zhì)量為1kg的球，若要保持球在斜面上靜止不動(dòng)，應(yīng)沿斜面方向給球多大的力？若表示球的重力的向量為p，球?qū)π泵娴膲毫棣�，則球的重力沿斜面方向的分力f如何表示？保持球在斜面上靜止不動(dòng)的推力f′又如何表示？
11． 已知點(diǎn)A（1，2）和B（4，－1），問(wèn)能否在y軸上找一點(diǎn)C，使∠ACB=90º，若能，求出C點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由．
12． 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA→ =（3，0），OB→ =（ ），兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)甲、乙分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度均為4km/h，且甲沿AO→方向運(yùn)動(dòng)，乙沿OB→方向運(yùn)動(dòng)．
（1）甲乙兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的初始距離是多少？
（2）用包含t的式子f（t）表示t小時(shí)后，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的距離；
（3）什么時(shí)候兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間相距最近．
單元練習(xí)五 （平面向量）
（考試時(shí)間120分鐘 總分150分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．向量a=（1，－2），向量a與b共線，且b=4a．則b= （ ）
A．（－4，8） B．（－4，8）或（4，－8）
C．（4，－8） D．（8，4）或（4，8）
2．已知a=（2，1），b=（x，1），且a＋b與2a－b平行，則x等于 （ ）
A．10 B．－10 C．2 D．－2
3．已知向量a和b滿(mǎn)足a=1，b= ，a⊥（a－b）．則a與b的夾角為 （ ）
A．30º B．45º C．75º D．135º
4．設(shè)e1、e 2是兩個(gè)不共線向量，若向量 a=3e1＋5e2與向量b=me1－3e2共線，
則m的值等于 （ ）
A．－ 53 B．－ 95 C．－ 35 D．－ 59
5．設(shè)□ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，AD→ =（3，7），AB→ =（－2，1），OB→ = （ ）
A．（ －52 ，－3） B．（52 ，3） C．（1，8） D．（12 ，4）
6．設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，且a•b=0，那么下列四個(gè)等式①a=b；
②a＋b=a－b；③a•（b＋a）=0；④（a＋b）2=a2＋b2．
其中正確等式個(gè)數(shù)為 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．將y=2x的圖象 （ ）
A．按向量（0，1）平移 B．按向量（0，－1）平移
C．按向量（1，0）平移 D．按向量（－1，0）平移
再作關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)的圖象，可得到函數(shù)y=log2（x＋1）的圖象．
8．a(chǎn)=（－1，2），b=（1，－1），c=（3，－2）用a、b作基底可將c表示為c=pa＋qb，則實(shí)數(shù)p、q的值為 （ ）
A．p=4 q=1 B． p=1 q=4
C． p=0 q=4 D． p=1 q=0
9．將函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量a的方向平移得到函數(shù)y=2sin（2x＋π3 ）＋1的圖象，則向量a的坐標(biāo)為 （ ）
A．（－π3 ，1） B．（－π6 ，1） C．（π3 ，－1） D．（－π6 ，－1）
10．設(shè)平面上四個(gè)互異的點(diǎn)A、B、C、D，已知（DB→ ＋DC→ －2DA→ ）•（AB→ －AC→ ）=0．則ΔABC的形狀是 （ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形
11．將函數(shù)y=2x的圖象按向量a平移后得到函數(shù)y=2x＋6的圖象，給出以下四個(gè)命題：① a的坐標(biāo)可以是（－３，０）；�、� a的坐標(biāo)可以是（０，6）；
③a的坐標(biāo)可以是（6，０）； ④ a的坐標(biāo)可以有無(wú)數(shù)種情況．
其中真命題的個(gè)數(shù)為 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．設(shè)F1、F2是雙曲線 x24 －y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且PF1→ •PF2→ =0，則PF1→ •PF2→ 的值為 （ ）
A．2 B．22 C．4 D．8
二、填空題：每小題4分，共16分．
13．設(shè)線段P1P2的長(zhǎng)為10cm，P在P1P2的延長(zhǎng)線上，且P2P=20cm，則P分P1P2→ 所成的比為 ．
14．已知向量a=（2 ，－2 ），b=（3 ，1）那么（a＋b）•（a－b）的值是 ．
15．若a=（2，3），b=（－4，7），a＋c=0，則c在b方向上的投影為 ．
16．若對(duì)n個(gè)向量 a1，a2，a3，…，an，存在n個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)k1，k2，…，kn，使得k1 a1＋k2a2＋…＋knan=0成立，則稱(chēng)a1，a2，…，an為“線性相關(guān)”．依此規(guī)定，能使a1=（1，0），a2=（1，－1），a3=（2，2）“線性相關(guān)”的實(shí)數(shù)k1，k2，k3 依次可以取 ．
三、解答題
17．（本題滿(mǎn)分12分）
如圖，一艘船從點(diǎn)A出發(fā)以23 km/h的速度向垂直于對(duì)岸
的方向AD→ 行駛，同時(shí)河水的流速為2 km/h．求船實(shí)際航行
速度的大小與方向（用與流速間的夾角表示）．
18．（本題滿(mǎn)分12分）
已知△OFQ的面積為S，且OF→ • FQ→ =1 ，若12 ＜S＜ ，求向量OF→ 與 FQ→ 的夾角θ的范圍．
19．（本題滿(mǎn)分12分）
已知點(diǎn)H（－3，0），點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，點(diǎn)在直線PQ上，且滿(mǎn)足 ，當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡C．
20． （本題滿(mǎn)分12分）
已知向量OA→ =3i－4j，OB→ =6i－3j，OC→ =（5－m）i－（4＋m）j，其中i、j分別是直角坐標(biāo)系內(nèi)x軸與y軸正方向上的單位向量．
（1）若A、B、C能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)m應(yīng)滿(mǎn)足的條；
（2）若ΔABC為直角三角形，且∠A為直角，求實(shí)數(shù)m的值．
21．（本題滿(mǎn)分12分）
已知平面上三個(gè)向量a、b、c的模均為1，它們相互之間的夾角均為120º．
（1）求證(a－b)⊥c；
（2）若│ka＋b＋c│>1(k∈R)，求k的取值范圍．
22． （本題滿(mǎn)分14分）
已知向量a、b、c、d，及實(shí)數(shù)x、y，且a=1，b=1，c=a＋（x2－3）b，d=－ya＋xb，如果a⊥b，c⊥d，且c≤10 ．
（1）求x、y的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x）及定義域；
（2）（供部分考生選做）判斷f（x）的單調(diào)性，指出單調(diào)區(qū)間，并求出函數(shù)的最大值、最小值．
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.douzifanli.com/gaosan/39574.html
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