●考點(diǎn)目標(biāo)定位
1.理解函數(shù)的概念，了解映射的概念.
2.了解函數(shù)的單調(diào)性的概念，掌握判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性的方法.
3.了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的反函數(shù).
4.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).
5.理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).
6.能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.
●復(fù)習(xí)方略指南
基本函數(shù)：一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)，它們的圖象與性質(zhì)是函數(shù)的基石.求反函數(shù)，判斷、證明與應(yīng)用函數(shù)的三大特性（單調(diào)性、奇偶性、周期性）是高考命題的切入點(diǎn)，有單一考查（如全國(guó)2004年第2題），也有綜合考查（如江蘇2004年第22題）.函數(shù)的圖象、圖象的變換是高考熱點(diǎn)（如全國(guó)2004年Ⅳ，北京2005年春季理2），應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解其他問(wèn)題，特別是解應(yīng)用題能很好地考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，這類問(wèn)題在高考中具有較強(qiáng)的生存力.配方法、待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法、分類討論等，這些方法構(gòu)成了函數(shù)這一章應(yīng)用的廣泛性、解法的多樣性和思維的創(chuàng)造性，這均符合高考試題改革的發(fā)展趨勢(shì).
特別在“函數(shù)”這一章中，數(shù)形結(jié)合的思想比比皆是，深刻理解和靈活運(yùn)用這一思想方法，不僅會(huì)給解題帶來(lái)方便，而且這正是充分把握住了中學(xué)數(shù)學(xué)的精髓和靈魂的體現(xiàn).
復(fù)習(xí)本章要注意：
1.深刻理解一些基本函數(shù)，如二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對(duì)數(shù)與形的基本關(guān)系能相互轉(zhuǎn)化.
2.掌握函數(shù)圖象的基本變換，如平移、翻轉(zhuǎn)、對(duì)稱等.
3.二次函數(shù)是初中、高中的結(jié)合點(diǎn)，應(yīng)引起重視，復(fù)習(xí)時(shí)要適當(dāng)加深加寬.二次函數(shù)與二次方程、二次不等式有著密切的聯(lián)系，要溝通這些知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運(yùn)用它們?nèi)ソ鉀Q有關(guān)問(wèn)題.
4.含參數(shù)函數(shù)的討論是函數(shù)問(wèn)題中的難點(diǎn)及重點(diǎn)，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)適當(dāng)加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，做到條理清楚、分類明確、不重不漏.
5.利用函數(shù)知識(shí)解應(yīng)用題是高考重點(diǎn)，應(yīng)引起重視.
2.1函數(shù)的概念
●知識(shí)梳理
1.函數(shù)的定義：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f（x），x∈A，其中x叫做自變量.x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）x∈A}叫做函數(shù)的值域.
2.兩個(gè)函數(shù)的相等：函數(shù)的定義含有三個(gè)要素，即定義域A、值域C和對(duì)應(yīng)法則f.當(dāng)函數(shù)的定義域及從定義域到值域的對(duì)應(yīng)法則確定之后，函數(shù)的值域也就隨之確定.因此，定義域和對(duì)應(yīng)法則為函數(shù)的兩個(gè)基本條件，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才是同一個(gè)函數(shù).
3.映射的定義：一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f，對(duì)于集合A中的任何一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么，這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合A、B，以及集合A到集合B的對(duì)應(yīng)關(guān)系f）叫做集合A到集合B的映射，記作f:A→B.
由映射和函數(shù)的定義可知，函數(shù)是一類特殊的映射，它要求A、B非空且皆為數(shù)集.
特別提示
函數(shù)定義的三要素是理解函數(shù)概念的關(guān)鍵，用映射的觀點(diǎn)理解函數(shù)概念是對(duì)函數(shù)概念的深化.
●點(diǎn)擊雙基
1.設(shè)集合A=R，集合B=正實(shí)數(shù)集，則從集合A到集合B的映射f只可能是
A.f:x→y=xB.f:x→y=
C.f:x→y=3－xD.f:x→y=log2（1+x）
解析：指數(shù)函數(shù)的定義域是R，值域是（0，+∞），所以f是x→y=3－x.
答案：C
2.設(shè)M={x－2≤x≤2}，N={y0≤y≤2}，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镸，值域?yàn)镹，則f（x）的圖象可以是
解析：A項(xiàng)定義域?yàn)椋郏?，0］，D項(xiàng)值域不是［0，2］，C項(xiàng)對(duì)任一x都有兩個(gè)y與之對(duì)應(yīng)，都不符.故選B.
答案：B
3.（2004年全國(guó)Ⅰ，理2）已知函數(shù)f（x）=lg ，若f（a）=b，則f（－a）等于
A.bB.－bC. D.－
解析：f（－a）=lg =－lg =－f（a）=－b.
【答案】B
4.（2004年全國(guó)Ⅲ，理5）函數(shù)y= 的定義域是
A.［－ ，－1）∪（1， ］B.（－ ，－1）∪（1， ）
C.［－2，－1）∪（1，2］D.（－2，－1）∪（1，2）
解析： － ≤x＜－1或1＜x≤ .∴y= 的定義域?yàn)椋郏?，－1）∪（1， ］.
答案：A
5.（2004年浙江，文9）若函數(shù)f（x）=loga（x+1）（a＞0，a≠1）的定義域和值域都是［0，1］，則a等于
A. B. C. D.2
解析：f（x）=loga（x+1）的定義域是［0，1］，∴0≤x≤1，則1≤x+1≤2.
當(dāng)a＞1時(shí)，0=loga1≤loga（x+1）≤loga2=1，∴a=2；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，loga2≤loga（x+1）≤loga1=0，與值域是［0，1］矛盾.
綜上，a=2.
答案：D
●典例剖析
【例1】試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？
（1）f（x）= ，g（x）= ；
（2）f（x）= ，g（x）=
（3）f（x）= ，g（x）=（ ）2n－1（n∈N*）；
（4）f（x）= ，g（x）= ；
（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1.
剖析：對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=f（x）和y=g（x），當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則都相同時(shí)，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函數(shù).若兩個(gè)函數(shù)表示同一函數(shù)，則它們的圖象完全相同，反之亦然.
解：（1）由于f（x）= =x，g（x）= =x，故它們的值域及對(duì)應(yīng)法則都不相同，所以它們不是同一函數(shù).
（2）由于函數(shù)f（x）= 的定義域?yàn)椋ǎ蓿?）∪（0，+∞），而g（x）= 的定義域?yàn)镽，所以它們不是同一函數(shù).
（3）由于當(dāng)n∈N*時(shí)，2n±1為奇數(shù)，∴f（x）= =x，g（x）=（ ）2n－1=x，它們的定義域、值域及對(duì)應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù).
（4）由于函數(shù)f（x）= 的定義域?yàn)閧xx≥0}，而g（x）= 的定義域?yàn)閧xx≤－1或x≥0}，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù).
（5）函數(shù)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù).
評(píng)述：（1）第（5）小題易錯(cuò)判斷成它們是不同的函數(shù)，原因是對(duì)函數(shù)的概念理解不透.要知道，在函數(shù)的定義域及對(duì)應(yīng)法則f不變的條件下，自變量變換字母，以至變換成其他字母的表達(dá)式，這對(duì)于函數(shù)本身并無(wú)影響，比如f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1）2+1都可視為同一函數(shù).
（2）對(duì)于兩個(gè)函數(shù)來(lái)講，只要函數(shù)的三要素中有一要素不相同，則這兩個(gè)函數(shù)就不可能是同一函數(shù).
【例2】集合A={3，4}，B={5，6，7}，那么可建立從A到B的映射個(gè)數(shù)是__________，從B到A的映射個(gè)數(shù)是__________.
剖析：從A到B可分兩步進(jìn)行：第一步A中的元素3可有3種對(duì)應(yīng)方法（可對(duì)應(yīng)5或6或7），第二步A中的元素4也有這3種對(duì)應(yīng)方法.由乘法原理，不同的映射種數(shù)N1＝3×3＝9.反之從B到A，道理相同，有N2＝2×2×2＝8種不同映射.
答案：98
深化拓展
設(shè)集合A中含有4個(gè)元素，B中含有3個(gè)元素，現(xiàn)建立從A到B的映射f:A→B，且使B中每個(gè)元素在A中都有原象，則這樣的映射有___________________個(gè).
提示：因?yàn)榧螦中有4個(gè)元素，集合B中有3個(gè)元素，根據(jù)題意，A中必須有2個(gè)元素有同一個(gè)象，因此，共有C A =36個(gè)映射.
答案：36
【例3】（2004年廣東，19）設(shè)函數(shù)f（x）=1－ （x＞0），證明：當(dāng)0＜a＜b，且f（a）=f（b）時(shí)，ab＞1.
剖析一：f（a）=f（b） 1－ =1－ （1－ ）2=（1－ ）2 2ab=a+b≥2 ab＞1.
證明：略.
剖析二：f（x）=
證明：f（x）在（0，1］上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù).由0＜a＜b且f（a）=f（b），得0＜a＜1＜b且 －1=1－ ，即 + =2 a+b=2ab≥2 ab＞1.
評(píng)注：證法一、證法二是去絕對(duì)值符號(hào)的兩種基本方法.
●闖關(guān)訓(xùn)練
夯實(shí)基礎(chǔ)
1.設(shè)集合A和B都是自然數(shù)集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，則在映射f下，象20的原象是
A.2B.3C.4D.5
解析：由2n＋n＝20求n，用代入法可知選C.
答案：C
2.某種型號(hào)的手機(jī)自投放市場(chǎng)以來(lái)，經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，單價(jià)由原來(lái)的2000元降到1280元，則這種手機(jī)平均每次降價(jià)的百分率是
A.10%B.15%C.18%D.20%
解析：設(shè)降價(jià)百分率為x%，
∴2000（1－x%）2=1280.解得x=20.
答案：D
3.（2004年全國(guó)Ⅲ，理11）設(shè)函數(shù)f（x）= 則使得f（x）≥1的自變量x的取值范圍為
A.（－∞，－2］∪［0，10］B.（－∞，－2］∪［0，1］
C.（－∞，－2］∪［1，10］D.［－2，0］∪［1，10］
解析：f（x）是分段函數(shù)，故f（x）≥1應(yīng)分段求解.
當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）≥1 （x+1）2≥1 x≤－2或x≥0，∴x≤－2或0≤x＜1.
當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥1 4－ ≥1 ≤3 x≤10，∴1≤x≤10.
綜上所述，x≤－2或0≤x≤10.
答案：A
4.（2004年浙江，文13）已知f（x）= 則不等式xf（x）+x≤2的解集是___________________.
解析：x≥0時(shí)，f（x）=1，
xf（x）+x≤2 x≤1，∴0≤x≤1；
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=0，
xf（x）+x≤2 x≤2，∴x＜0.綜上x(chóng)≤1.
答案：{xx≤1}
5.（2004年全國(guó)Ⅳ，文）已知函數(shù)y=log x與y=kx的圖象有公共點(diǎn)A，且A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則k的值等于
A.－ B. C.－ D.
解析：由點(diǎn)A在y=log x的圖象上可求出A點(diǎn)縱坐標(biāo)y=log 2=－ .又A（2，－ ）在y=kx圖象上，－ =k?2，∴k=－ .
答案：A
培養(yǎng)能力
6.如下圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD上有一點(diǎn)P，沿著折線BCDA由B點(diǎn)（起點(diǎn)）向A點(diǎn)（終點(diǎn)）移動(dòng)，設(shè)P點(diǎn)移動(dòng)的路程為x，△ABP的面積為y=f（x）.
（1）求△ABP的面積與P移動(dòng)的路程間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）作出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象求y的最大值.
解：（1）這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)椋?，12）.
當(dāng)0＜x≤4時(shí)，S=f（x）= ?4?x=2x；
當(dāng)4＜x≤8時(shí)，S=f（x）=8；
當(dāng)8＜x＜12時(shí)，S=f（x）= ?4?（12－x）=2（12－x）=24－2x.
∴這個(gè)函數(shù)的解析式為f（x）=
（2）其圖形為
由圖知，［f（x）］max=8.
7.若f:y=3x+1是從集合A={1，2，3，k}到集合B={4，7，a4，a2+3a}的一個(gè)映射，求自然數(shù)a、k的值及集合A、B.
解：∵f（1）=3×1+1=4，f（2）=3×2+1=7，f（3）=3×3+1=10，f（k）=3k+1，由映射的定義知（1） 或（2）
∵a∈N，∴方程組（1）無(wú)解.
解方程組（2），得a=2或a=－5（舍），3k+1=16，3k=15，k=5.∴A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}.
8.如果函數(shù)f（x）=（x+a）3對(duì)任意x∈R都有f（1+x）=－f（1－x），試求f（2）+f（－2）的值.
解：∵對(duì)任意x∈R，總有f（1+x）=－f（1－x），
∴當(dāng)x=0時(shí)應(yīng)有f（1+0）=－f（1－0），
即f（1）=－f（1）.∴f（1）=0.
又∵f（x）=（x+a）3，∴f（1）=（1+a）3.
故有（1+a）3＝0 a=－1.∴f（x）=（x－1）3.
∴f（2）+f（－2）=（2－1）3＋（－2－1）3＝13＋（－3）3＝－26.
探究創(chuàng)新
9.集合M={a，b，c}，N={－1，0，1}，映射f:M→N滿足f（a）+f（b）+f（c）=0，那么映射f:M→N的個(gè)數(shù)是多少？
解：∵f（a）∈N，f（b）∈N，f（c）∈N，且f（a）+f（b）+f（c）=0，
∴有0+0+0=0+1+（－1）=0.
當(dāng)f（a）=f（b）=f（c）=0時(shí)，只有一個(gè)映射；
當(dāng)f（a）、f（b）、f（c）中恰有一個(gè)為0，而另兩個(gè)分別為1，－1時(shí)，有C ?A =6個(gè)映射.因此所求的映射的個(gè)數(shù)為1+6=7.
評(píng)述：本題考查了映射的概念和分類討論的思想.
●思悟小結(jié)
1.本節(jié)重點(diǎn)內(nèi)容是函數(shù)概念、定義域、值域，難點(diǎn)是映射及其意義.
2.理解映射的概念，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
（1）集合A、B及對(duì)應(yīng)法則f是確定的，是一個(gè)系統(tǒng)；
（2）對(duì)應(yīng)法則有“方向性”，即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)，它與從集合B到集合A的對(duì)應(yīng)關(guān)系一般是不同的；
（3）集合A中每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，這是映射區(qū)別于一般對(duì)應(yīng)的本質(zhì)特征；
（4）集合A中不同元素，在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)；
（5）不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象.
3.函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的非常重要的部分，如沒(méi)有標(biāo)明定義域，則認(rèn)為定義域?yàn)槭沟煤瘮?shù)解析式有意義的x的取值范圍，即分式中分母應(yīng)不等于0；偶次根式中被開(kāi)方數(shù)應(yīng)為非負(fù)數(shù)；零指數(shù)冪中，底數(shù)不等于0，負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪中，底數(shù)應(yīng)大于0；對(duì)數(shù)式中，真數(shù)必須大于0，底數(shù)必須大于0且不等于1……實(shí)際問(wèn)題中還需考慮自變量的實(shí)際意義.若解析式由幾個(gè)部分組成，則定義域?yàn)楦鱾�(gè)部分相應(yīng)集合的交集.
●教師下載中心
點(diǎn)睛
1.復(fù)習(xí)本節(jié)時(shí)，教師應(yīng)先指導(dǎo)學(xué)生看課本，并對(duì)課本上的重要知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)，對(duì)課本上的典型例題、典型習(xí)題要讓學(xué)生再做，并注重一題多解、一題多變.
2.畫(huà)分段函數(shù)的圖象，求分段函數(shù)的定義域、值域是本節(jié)的一個(gè)難點(diǎn).時(shí)，要指導(dǎo)學(xué)生按x的特點(diǎn)分好段，并向?qū)W生指明分段函數(shù)其實(shí)是一個(gè)函數(shù)，只是由于該函數(shù)在自變量取值的各個(gè)階段其對(duì)應(yīng)關(guān)系不一樣才以分段式給出，因此它的定義域、值域應(yīng)是各階段相應(yīng)集合的并集.
拓展題例
【例1】設(shè)f（x）是定義在（－∞，+∞）上的函數(shù)，對(duì)一切x∈R均有f（x）+f（x+2）=0，當(dāng)－1＜x≤1時(shí)，f（x）=2x－1，求當(dāng)1＜x≤3時(shí)，函數(shù)f（x）的解析式.
解：設(shè)1＜x≤3，則－1＜x－2≤1，又對(duì)任意的x，有f（x）+f（x+2）=0，∴f（x+2）=－f（x）.∴f（x－2）=－f［（x－2）+2］=－f（x）.又－1＜x－2≤1時(shí)，f（x－2）=2（x－2）－1=2x－5，∴f（x）=－f（x－2）=－2x+5（1＜x≤3）.
評(píng)述：將1＜x≤3轉(zhuǎn)化成－1＜x－2≤1，再利用已知條件是解本題的關(guān)鍵.
【例2】設(shè)m=（log2x）2+（t－2）log2x+1－t，若t在區(qū)間［－2，2］上變化時(shí)，m值恒正，求x的取值范圍.
解：由m=［log2x+（t－1）］（log2x－1）＞0，得
①或 ②
在①中，（log2x－1）+t＞0對(duì)于t∈［－2，2］恒成立時(shí)，應(yīng)有l(wèi)og2x－1＞2，即x＞8；
在②中，（log2x－1）+t＜0對(duì)于t∈［－2，2］恒成立時(shí)，應(yīng)有l(wèi)og2x－1＜－2，即0＜
x＜ .
綜上，得x＞8或0＜x＜ .
評(píng)述：本題還可用如下方法求解：m=（log2x－1）t+［（log2x）2－2log2x+1］關(guān)于變量t的圖象是直線，要t∈［－2，2］時(shí)m值恒正，只要t=－2和2時(shí)m的值恒正，即有
∴l(xiāng)og2x＞3或log2x＜－1.
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