2012屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)資料
專題三 數(shù)列（教師版）
【考綱解讀】
1.理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng).
2.理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用公式解答簡單的問題.
3.理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用公式解決簡單的問題.
【考點(diǎn)預(yù)測】
1.等差（比）數(shù)列的基本知識是必考內(nèi)容，這類問題既有選擇題、填空題，也有解答題；難度易、中、難三類皆有.
2.數(shù)列中an與Sn之間的互化關(guān)系也是高考的一個熱點(diǎn).
3.函數(shù)思想、方程思想、分類討論思想等數(shù)學(xué)思想方法在解決問題中常常用到，解答試題時要注意靈活應(yīng)用.
4.解答題的難度有逐年增大的趨勢,還有一些新穎題型,如與導(dǎo)數(shù)和極限相結(jié)合等.
因此復(fù)習(xí)中應(yīng)注意：
1.數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，學(xué)習(xí)時要善于利用函數(shù)的思想來解決.如通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等.
2.運(yùn)用方程的思想解等差（比）數(shù)列，是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個環(huán)節(jié)，常通過“設(shè)而不求，整體代入”來簡化運(yùn)算.
3.分類討論的思想在本章尤為突出.學(xué)習(xí)時考慮問題要全面，如等比數(shù)列求和要注意q=1和q≠1兩種情況等等.
4.等價轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中常常運(yùn)用的，數(shù)列也不例外.如an與Sn的轉(zhuǎn)化；將一些數(shù)列轉(zhuǎn)化成等差（比）數(shù)列來解決等.復(fù)習(xí)時，要及時總結(jié)歸納.
5.深刻理解等差（比）數(shù)列的定義，能正確使用定義和等差（比）數(shù)列的性質(zhì)是學(xué)好本章的關(guān)鍵.
6.解題要善于總結(jié)基本數(shù)學(xué)方法.如觀察法、類比法、錯位相減法、待定系數(shù)法、歸納法、數(shù)形結(jié)合法，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，定能達(dá)到事半功倍的效果.
7．?dāng)?shù)列應(yīng)用題將是命題的熱點(diǎn)，這類題關(guān)鍵在于建模及數(shù)列的一些相關(guān)知識的應(yīng)用.
【要點(diǎn)梳理】
1.證明數(shù)列 是等差數(shù)列的兩種基本方法：（1）定義法： 為常數(shù)；（2）等差中項(xiàng)法： .
2.證明數(shù)列 是等比數(shù)列的兩種基本方法：（1）定義法： (非零常數(shù))；（2）等差中項(xiàng)法： .
3.常用性質(zhì):(1)等差數(shù)列 中,若 ,則 ;
(2)等比數(shù)列 中,若 ,則 .
4.求和:
(1)等差等比數(shù)列,用其前n項(xiàng)和求出;
(2)掌握幾種常見的求和方法:錯位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法、倒序相加法;
(3)掌握等差等比數(shù)列前n項(xiàng)和的常用性質(zhì).
【考點(diǎn)在線】
考點(diǎn)1 等差等比數(shù)列的概念及性質(zhì)
在等差、等比數(shù)列中，已知五個元素 或 ， 中的任意三個，運(yùn)用方程的思想，便可求出其余兩個，即“知三求二”。本著化多為少的原則，解題時需抓住首項(xiàng) 和公差（或公比 ）。另外注意等差、等比數(shù)列的性質(zhì)的運(yùn)用.例如
（1）等差數(shù)列 中，若 ，則 ；等比數(shù)列 中，若 ，則 .
（2）等差數(shù)列 中， 成等差數(shù)列。其中 是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列 中（ ）， 成等比數(shù)列。其中 是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；
（3）在等差數(shù)列 中，項(xiàng)數(shù)n成等差的項(xiàng) 也稱等差數(shù)列.
（4）在等差數(shù)列 中， ； .
在復(fù)習(xí)時，要注意深刻理解等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及其等價形式.注意方程思想、整體思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.
例1. (2011年高考重慶卷理科11)在等差數(shù)列 中， ，則
.
【答案】74
【解析】 ，故
【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì).
【備考提示】：熟練掌握等差等比數(shù)列的概念與性質(zhì)是解答好本類題的關(guān)鍵.
考點(diǎn)2 數(shù)列的遞推關(guān)系式的理解與應(yīng)用
在解答給出的遞推關(guān)系式的數(shù)列問題時，要對其關(guān)系式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，轉(zhuǎn)化為常見的類型進(jìn)行解題。如“逐差法”若 且 ；我們可把各個差列出來進(jìn)行求和，可得到數(shù)列 的通項(xiàng).
再看“逐商法”即 且 ，可把各個商列出來求積。
另外可以變形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列與等比數(shù)列，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)解決問題.
例2.（2011年高考四川卷文科9)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=1, an+1 =3Sn(n ≥1),則a6=( )
（A）3 ×44 （B）3 × 44+1
(C) 44 （D）44+1
【答案】A
【解析】由題意，得a2=3a1=3.當(dāng)n ≥1時，an+1 =3Sn(n ≥1) ①，所以an+2 =3Sn+1 ②，
②-①得an+2 = 4an+1 ，故從第二項(xiàng)起數(shù)列等比數(shù)列，則a6=3 ×44.
【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查 與 的關(guān)系： ，數(shù)列前n項(xiàng)和 和通項(xiàng) 是數(shù)列中兩個重要的量，在運(yùn)用它們的關(guān)系式 時，一定要注意條件 ，求通項(xiàng)時一定要驗(yàn)證 是否適合。解決含 與 的式子問題時，通常轉(zhuǎn)化為只含 或者轉(zhuǎn)化為只 的式子.
【備考提示】：遞推數(shù)列也是高考的內(nèi)容之一,要熟練此類題的解法,這是高考的熱點(diǎn).
練習(xí)2.（2011年高考遼寧卷文科5)若等比數(shù)列{an}滿足anan+1=16n，則公比為（ ）[Z
（A）2 （B）4 （C）8 （D）16
【答案】B
【解析】設(shè)公比是q，根據(jù)題意a1a2=16 ①，a2a3=162 ②，②÷①，得q2=16 .因?yàn)閍12q=16>0, a12>0，則q>0，q=4.
考點(diǎn)3 數(shù)列的通項(xiàng)公式 與前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用
等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式要深刻理解，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次函數(shù).等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 （ ），因此可以改寫為 是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，當(dāng) 時， .
例3.(2011年高考江蘇卷13)設(shè) ，其中 成公比為q的等比數(shù)列， 成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是 .
【答案】
【解析】由題意： ，
【答案】A
【解析】通過 ，設(shè)公比為 ，將該式轉(zhuǎn)化為 ，解得 =-2，帶入所求式可知答案選A，本題主要考察了本題主要考察了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.
考點(diǎn)4. 數(shù)列求和
例4. (山東省濟(jì)南市2011年2月高三質(zhì)量調(diào)研理科20題)
已知 為等比數(shù)列， ； 為等差數(shù)列 的前n項(xiàng)和， .
（1） 求 和 的通項(xiàng)公式；
（2） 設(shè) ，求 .
【解析】（1） 設(shè) 的公比為 ,由 ,得 所以
設(shè) 的公差為 ，由 得 ,
所以
（2）
①
②
②-①得：
所以
【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查等比等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力、綜合分析和解決問題的能力.
【備考提示】：熟練數(shù)列的求和方法等基礎(chǔ)知識是解答好本類題目的關(guān)鍵.
練習(xí)4. （2010年高考山東卷文科18）
已知等差數(shù)列 滿足： ， . 的前n項(xiàng)和為 .
（Ⅰ）求 及 ；（Ⅱ）令 （ ）,求數(shù)列 的前n項(xiàng)和 .
【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列 的公差為d，因?yàn)?， ，所以有
考點(diǎn)5 等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用
解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程中適時應(yīng)用．
例5．(2011年高考浙江卷理科19)已知公差不為0的等差數(shù)列 的首項(xiàng) ( ),設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為 ，且 ， ， 成等比數(shù)列（Ⅰ）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式及 （Ⅱ）記 ， ，當(dāng) 時，試比較 與 的大小.[
當(dāng) 時， 即 ；
所以當(dāng) 時， ；當(dāng) 時， .
【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查等差等比數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和等基本知識，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力．
【備考提示】：熟練掌握等差等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識是解決本類問題的關(guān)鍵.
練習(xí)5.(2011年高考天津卷文科20)
已知數(shù)列 與 滿足 , ,且 .
（Ⅰ）求 的值;
(Ⅱ)設(shè) , ,證明 是等比數(shù)列;
(Ⅲ)設(shè) 為 的前n項(xiàng)和,證明 .
【解析】（Ⅰ）由 ,可得
, ,
當(dāng)n=1時, 由 ,得 ;
當(dāng)n=2時, 可得 .
(Ⅱ)證明:對任意 , --------①
---------------②
②-①得: ,即 ,于是 ,所以 是等比數(shù)列.
(Ⅲ)證明: ,由(Ⅱ)知,當(dāng) 且 時,
=2+3(2+ )=2+ ,故對任意 , ,
由①得 所以 , ,
因此, ,于是 ,
故 = ,
所以 .
【易錯專區(qū)】
問題：已知 ,求 時,易忽視 的情況
例. （2010年高考上海卷文科21）
已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，且 ，
(1)證明： 是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式，并求出使得 成立的最小正整數(shù) .
【考題回放】
1.(2011年高考安徽卷文科7)若數(shù)列 的通項(xiàng)公式是 ,則 （ ）
（A） 15 (B) 12 (C ) (D)
【答案】A
【解析】法一：分別求出前10項(xiàng)相加即可得出結(jié)論；
法二： ，故 .故選A.
2. （2011年高考江西卷文科5)設(shè){ }為等差數(shù)列，公差d = -2， 為其前n項(xiàng)和.若 ，則 =（ ）
A.18 B.20 C.22 D.24
【答案】B
【解析】 .
3. (2011年高考江西卷理科5)已知數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和 滿足： ，且 =1．那么 =（ ）
A．1 B．9 C.10 D．55
【答案】A
【解析】因?yàn)?,所以令 ,可得 ;令 ,可得 ;同理可得 , , ,
,所以 = ,故選A.
4. (2011年高考四川卷理科8)數(shù)列 的首項(xiàng)為 ， 為等差數(shù)列且 .若則 ， ，則 ( )
（A）0 （B）3 （C）8 （D）11
【答案】B
【解析】由已知知 由疊加法 .
5．（ 2010年高考全國Ⅰ卷文科4）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{ }， =5， =10，則 =（ ）
(A) (B) 7 (C) 6 (D)
【答案】A
【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知 ， 10,所以 ,所以 .
6．（2010年高考全國卷Ⅱ文科6）如果等差數(shù)列 中， + + =12，那么 + +???…+ =（ ）
（A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35
【答案】C
【解析】∵ ，∴
7.（2009年高考安徽卷理科第5題）已知 為等差數(shù)列， + + =105， =99，以 表示 的前 項(xiàng)和，則使得 達(dá)到最大值的 是高. （ ）
【解析】設(shè)公比為 ,由已知得 ,即 ,因?yàn)榈缺葦?shù)列 的公比為正數(shù)，所以 ,故 ,選B
9．（2009年高考湖南卷文科第3題）設(shè) 是等差數(shù)列 的前n項(xiàng)和，已知 ， ，則 等于( )
A．13 B．35 C．49 D． 63
【答案】C
【解析】 故選C.
或由 ,
所以 故選C.
10. （2009年高考福建卷理科第3題）等差數(shù)列 的前n項(xiàng)和為 ，且 =6， =4， 則公差d等于( )
A．1 B C.- 2 D 3
【答案】C
【解析】∵ 且 .故選C
11．（2009年高考江西卷理科第8題）數(shù)列 的通項(xiàng) ，其前 項(xiàng)和為 ，則 為( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于 以3 為周期,故
故選A
12.（2011年高考湖北卷文科9)《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自下而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為（ ）
A. 1升B. 升C. 升D. 升
【答案】D
【解析】設(shè)9節(jié)竹子的容積從上往下依次為a1,a2,……a9，公差為d，則有a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+9d=4,聯(lián)立解得： ，所以選B.
13. (2011年高考湖南卷理科12)設(shè) 是等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和，且 ， ，則 .
【答案】25
【解析】 因?yàn)?， ，所以 ，則 .故填25
14. (2011年高考廣東卷理科11)等差數(shù)列 前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和.若 ，則 .
【答案】10
【解析】由題得 .
【解析】 則
于是 令 得 ，則 ， 時遞增，令 得 ，則 ， 時遞減，故 是最大項(xiàng)，即 .
17. （2011年高考江西卷文科21) (本小題滿分14分）
（1）已知兩個等比數(shù)列 ，滿足 ，
若數(shù)列 唯一，求 的值；
（2）是否存在兩個等比數(shù)列 ，使得 成公差 為
的等差數(shù)列？若存在，求 的通項(xiàng)公式；若 存在，說明理由．
【解析】（1） 要唯一， 當(dāng)公比 時，由 且 ，
， 最少有一個根（有兩個根時，保證僅有一個正根）
，此時滿足條件的a有無數(shù)多個，不符合。
當(dāng)公比 時，等比數(shù)列 首項(xiàng)為a，其余各項(xiàng)均為常數(shù)0，唯一，此時由 ，可推得 符合
綜上： 。
（2）假設(shè)存在這樣的等比數(shù)列 ，則由等差數(shù)列的性質(zhì)可得： ，整理得：
要使該式成立，則 = 或 此時數(shù)列 ， 公差為0與題意不符，所以不存在這樣的等比數(shù)列 .
18. （2011年高考福建卷文科17)（本小題滿分12分）
已知等差數(shù)列{an}中，a1=1，a3=-3.
（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（II）若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和Sk=-35，求k的值.
【解析】（I）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為 ,則 ,由 ， 可得 ，解得
,從而 .
（II）由（I）可知 ,所以 ,由Sk=-35，可得 ,
即 ,解得 或 ,又 ,故 .
19．（2011年高考湖南卷文科20)（本題滿分13分）
某企業(yè)在第1年初購買一臺價值為120萬元的設(shè)備M，M的價值在使用過程中逐年減少，從第2年到第6年，每年初M的價值比上年初減少10萬元；從第7年開始，每年初M的價值為上年初的75%．
（I）求第n年初M的價值 的表達(dá)式；
（II）設(shè) 若 大于80萬元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n年初對M更新，證明：須在第9年初對M更新．
【解析】（I）當(dāng) 時，數(shù)列 是首項(xiàng)為120，公差為 的等差數(shù)列．
因?yàn)?是遞減數(shù)列，所以 是遞減數(shù)列，又
所以須在第9年初對M更新．
20. （2011年高考四川卷文科20)（本小題共12分）
已知? ?是以 為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列， 為它的前 項(xiàng)和.
（Ⅰ）當(dāng) 成等差數(shù)列時，求q的值；
(Ⅱ)當(dāng) ， ， 成等差數(shù)列時，求證：對任意自然數(shù) 也成等差數(shù)列.
【解析】（Ⅰ）當(dāng) 時， ，因?yàn)?成等差數(shù)列，所以 ，解得 ，因?yàn)?，故 ；
當(dāng) 時， ，由 成等差數(shù)列得 ，得 ，即 ， .
21．（2010年高考天津卷文科22）（本小題滿分14分）
在數(shù)列 中， =0，且對任意k ， 成等差數(shù)列，其公差為2k.
（Ⅰ）證明 成等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）記 ，證明 .
【解析】（I）證明：由題設(shè)可知， ， ， ， ， .從而 ，所以 ， ， 成等比數(shù)列.
（II）解：由題設(shè)可得
所以
.
由 ，得 ，從而 .
所以數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 或?qū)憺?， 。
（III）證明：由（II）可知 ， ，
以下分兩種情況進(jìn)行討論：
（1）當(dāng)n為偶數(shù)時，設(shè)n=2m
若 ，則 ，
若 ，則
.
所以 ，從而
（2）當(dāng)n為奇數(shù)時，設(shè) 。
所以 ，從而
綜合（1）和（2）可知，對任意 有
22．(2010年高考北京卷文科16)（本小題共13分）
已知 為等差數(shù)列，且 ， 。
（Ⅰ）求 的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若等差數(shù)列 滿足 ， ，求 的前n項(xiàng)和公式
【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列 的公差 。
23．(2010年高考江西卷文科22)（本小題滿分14分）
正實(shí)數(shù)數(shù)列 中， ， ，且 成等差數(shù)列．
（1）證明數(shù)列 中有無窮多項(xiàng)為無理數(shù)；
（2）當(dāng) 為何值時， 為整數(shù)，并求出使 的所有整數(shù)項(xiàng)的和．
【解析】證明：（1）由已知有： ，從而 ，
方法一：取 ，則 ．
用反證法證明這些 都是無理數(shù)．
假設(shè) 為有理數(shù)，則 必為正整數(shù)，且 ，
故 ． ，與 矛盾，
所以 都是無理數(shù)，即數(shù)列 中有無窮多項(xiàng)為無理數(shù)；
方法二：因?yàn)?，當(dāng) 得末位數(shù)字是3,4,8,9時， 的末位數(shù)字是3和7，它不是整數(shù)的平方，也不是既約分?jǐn)?shù)的平方，故此時 不是有理數(shù)，因這種 有無窮多，故這種無理項(xiàng) 也有無窮多．
（2）要使 為整數(shù)，由 可知： 同為偶數(shù)，且其中一個必為3的倍數(shù)，所以有 或 當(dāng) 時，有 又 必為偶數(shù)，所以 滿足
即 時， 為整數(shù)；同理 有
也滿足
即 時， 為整數(shù)；顯然 和 是數(shù)列中的不同項(xiàng)；所以當(dāng) 和 時， 為整數(shù)；由 有 ，
由 有 ．
設(shè) 中滿足 的所有整數(shù)項(xiàng)的和為 ，則
．
24. (2010年高考浙江卷文科19)（本題滿分14分）設(shè)a1，d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足 +15=0.
（Ⅰ）若 =5，求 及a1；（Ⅱ）求d的取值范圍.
【解析】(Ⅰ)解：由題意知S6= =-3,
A6=S6-S5=-8所以 解得a1=7,所以S6= -3,a1=7
(Ⅱ)解：因?yàn)镾5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.
【解析】通過 ，設(shè)公比為 ，將該式轉(zhuǎn)化為 ，解得 =-2，帶入所求式可知答案選A，本題主要考察了本題主要考察了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式
2．(2010年高考安徽卷文科5)設(shè)數(shù)列 的前n項(xiàng)和 ，則 的值為( )
（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64
【答案】A
【解析】 .
3．（2010年高考山東卷文科7）設(shè) 是首項(xiàng)大于零的等比數(shù)列，則“ ”是“數(shù)列 是遞增數(shù)列”的( )
（A）充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件
(C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】若已知 ，則設(shè)數(shù)列 的公比為 ，因?yàn)?，所以有 ，解得 又 ，所以數(shù)列 是遞增數(shù)列；反之，若數(shù)列 是遞增數(shù)列，則公比 且 ，所以 ，即 ，所以 是數(shù)列 是遞增數(shù)列的充分必要條件。
4．(2010年高考江西卷文科7)等比數(shù)列 中， ， ， ，則
A． B． C． D．
5．（2010年高考遼寧卷文科3）設(shè) 為等比數(shù)列 的前 項(xiàng)和，已知 ， ，則公比 ( )
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
【答案】B
【解析】兩式相減得， ， .
6．（2010年高考廣東卷文科4）已知數(shù)列{ }為等比數(shù)列， 是它的前n項(xiàng)和，若 ，
且 與 的等差中項(xiàng)為 ，則S5=w( )
A．35 B．33 C．31 D．29
7．（2010年高考重慶卷文科2）在等差數(shù)列 中， ，則 的值為( )
（A）5 （B）6
（C）8 （D）10
【答案】A
【解析】由角標(biāo)性質(zhì)得 ，所以 =5.
8．（2010年高考湖北卷文科7）已知等比數(shù)列{ }中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且 ， 成等差數(shù)列，則 ( )
A. B. C. D
【答案】C
二．填空題：
13．（2009年高考北京卷文科第10題）若數(shù)列 滿足： ，則
；前8項(xiàng)的和 .（用數(shù)字作答）
【答案】255
【解析】 ，
易知 .
14．（2010年高考遼寧卷文科14）設(shè) 為等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和，若 ，則 。
【答案】15
【解析】由 ,解得 ，
15．(浙江省溫州市2011年高三第一次適應(yīng)性測試?yán)砜?已知數(shù)列 是公比為 的等比數(shù)列，集合 ，從 中選出4個不同的數(shù)，使這4個數(shù)成等比數(shù)列，這樣得到4個數(shù)的不同的等比數(shù)列共有 ．
【答案】
【解析】以公比為 的等比數(shù)列有 … 共 組；
以公比為 的等比數(shù)列有 … 共 組；
以公比為 的等比數(shù)列有 共 組.
再考慮公比分別為 的情形，可得得到4個數(shù)的不同的等比數(shù)列共有 個.
三．解答題：
17.（2009年高考山東卷理科第20題）（本小題滿分12分）
等比數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為 ，已知對任意的 ，點(diǎn) ，均在函數(shù) 的圖像上.
（Ⅰ）求r的值；
(文科)（Ⅱ）當(dāng)b=2時，記 ,求數(shù)列 的前n項(xiàng)和 .
(理科)（Ⅱ）當(dāng)b=2時，記 ,證明：對任意的 ，不等式 成立
【解析】(Ⅰ) 由題意知: ,
當(dāng) 時, ,
由于 且 所以當(dāng) 時, { }是以 為公比的等比數(shù)列,
又 , , 即 解得 .
(理科) (Ⅱ)∵ ,∴當(dāng) 時, ,
又當(dāng) 時, ,適合上式,∴ , ,
∴ ,
下面用數(shù)學(xué)歸納法來證明不等式:
證明:(1)當(dāng) 時,左邊= 右邊,不等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng) 時,不等式成立,即 ,
則當(dāng) 時,
不等式左邊=
所以當(dāng) 時,不等式也成立,
綜上(1)(2)可知:當(dāng) 時,不等式 恒成立,
所以對任意的 ,不等式 成立.
(文科)（Ⅱ）由（Ⅰ）知, , ,所以 = ,
,
+ ,
兩式相減得:
,
故 = .
（Ⅱ）因?yàn)?， …10分
所以
． …14分
19．（天津市南開中學(xué)2011年3月高三月考文科）已知數(shù)列 的前以項(xiàng)和為 且對于任意的 恒有 設(shè)
(1)求證：數(shù)列 是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式 和
(3)若 證明：
【解析】 (1)當(dāng)n=l時， 得
當(dāng) 時， 兩式相減得：
是以 為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．……………………4分
(2)由(1)得
……………………………………8分
由 為正項(xiàng)數(shù)列，所以 也為正項(xiàng)數(shù)列，
從而 所以數(shù)列 遞減，
所以 …12分
另證：由
所以
20．(天津市紅橋區(qū)2011屆高三一模文科)（本題滿分14分）
設(shè)數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，且 ；數(shù)列 為等差數(shù)列，且 。
（1）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；
（2）若 為數(shù)列 的前 項(xiàng)和，求證： 。
【解析】（1）由 ,
（2）數(shù)列 為等差數(shù)列，公差
從而
從而
21. (山東省濟(jì)南市2011年2月高三質(zhì)量調(diào)研文科)
已知{an}是遞增的等差數(shù)列，滿足a2?a4=3,a1+a5=4.
(1) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式；
(2) 設(shè)數(shù)列{bn}對n∈N*均有 成立，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.
22. (山東省青島市2011年3月高考第一次模擬理科)已知數(shù)列 滿足 ，且 ， 為 的前 項(xiàng)和.
(Ⅰ)求證：數(shù)列 是等比數(shù)列，并求 的通項(xiàng)公式；
(Ⅱ)如果對任意 ，不等式 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
【解析】(Ⅰ) 對任意 ,都有 ，所以
則 成等比數(shù)列,首項(xiàng)為 ，公比為 …………2分
所以 ， …………4分
(Ⅱ) 因?yàn)?
所以 …………6分
因?yàn)椴坏仁?，化簡得 對任意 恒成立…………7分
設(shè) ，則 …………8分
當(dāng) , , 為單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng) , , 為單調(diào)遞增數(shù)列
,所以, 時, 取得最大值 …………11分
所以, 要使 對任意 恒成立， …………12分
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