201３年重慶一中高2013級(jí)高三下期第三次月考
數(shù) 學(xué) 試 題 卷（理科） 2013.5
數(shù)學(xué)試題共4頁(yè)。滿分150分�？荚嚂r(shí)間120分鐘。
注意事項(xiàng)：
1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上。
2.答時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。
3.答非時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。
4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)備選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.設(shè)全集 集合 ，則 （ ）
A. B. C. D.
2.向量 ，且 ∥ ，則銳角 的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
3. 的展開式中，常數(shù)項(xiàng)等于（ ）
A. 15 B. 10 C. D.
4.在等差數(shù)列 中每一項(xiàng)均不為0，若 ，則 （ ）
A. 2014 B. 2014 C. 2013 D. 2014
5.采用系統(tǒng)抽樣方法從1000人中抽取50人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機(jī)編號(hào)為1，2，…，1000，適當(dāng)分組后在第一組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號(hào)碼為8．抽到的50人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[1，400]的人做問卷A，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[401，750]的人做問卷B，其余的人做問卷C．則抽到的人中，做問卷C的人數(shù)為（ ）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
6.在 中，已知 ，那么 一定是（ ）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形
7.若定義在R上的函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)是 ，則函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）
A. B. C. D.
8 右圖給出了一個(gè)程序框圖，其作用是輸入x的值，輸出相應(yīng)的y值。若要使輸入的x值與輸出的y值相等，則這樣的x值有 ( )
A. 1個(gè) B. 2 個(gè) C. 3 個(gè) D. 4個(gè)
9 已知正數(shù) 滿足 則 的最小值為（ ）
A. B. 4 C. D.
10過雙曲線 的左焦點(diǎn)
，作傾斜角為 的直線FE交該雙曲
線右支于點(diǎn)P，若 ，且
則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非選擇題，共 分)
二、題：本大題共6小題，考生作答5小題，每小題5分，共25分. 把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.
11.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸上，則
12.某四面體的三視圖如下圖所示，則該四面體的四個(gè)面中，直角三角形的面積和是_______.
13.用紅、黃、藍(lán)三種顏色去涂圖中標(biāo)號(hào)為1，2，3， ，9的9個(gè)小正方形，使得任意相鄰（由公共邊）的小正方形所涂顏色都不相同，且標(biāo)號(hào)為“3，5，7”的小正方形涂相同的顏色，則符合條件的涂法共有 種。
考生注意：14，15，16三題為選作題，請(qǐng)從中任選兩題作答，若三題全做，則按前兩題給分
14． 是圓O的直徑， 為圓O上一點(diǎn)，過 作圓O的切線交 延長(zhǎng)線于點(diǎn) ，若DC=2，BC=1，則 .
15.在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A、B的極坐標(biāo)分別為 、 ，則 （其中O為極點(diǎn)）的面積為
16 .若不等式 的解集為空集，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為
三.解答題.（本大題6個(gè)小題，共75分.各題解答必須答在答題卷上相應(yīng)題目指定位置）
17．（本小題滿分13分）
已知向量 ， ，函數(shù)
圖象的一個(gè)對(duì)稱中心與它相鄰的一條對(duì)稱軸之間的距離為1，且經(jīng)過點(diǎn) 。
（1）求函數(shù) 的解析式
（2）當(dāng) 時(shí)，求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間。
18 （本小題滿分13分）
設(shè)甲、乙、丙三人進(jìn)行圍棋比賽，每局兩人參加，沒有平局。在一局比賽中，甲勝乙的概率為 ，甲勝丙的概率為 ，乙勝丙的概率為 。比賽順序?yàn)椋菏紫扔杉缀鸵疫M(jìn)行第一局的比賽，再由獲勝者與未參加比賽的選手進(jìn)行第二局的比賽，依此類推，在比賽中，有選手獲勝滿兩局就取得比賽的勝利，比賽結(jié)束。
（1）求只進(jìn)行了三局比賽，比賽就結(jié)束的概率；
（2）記從比賽開始到比賽結(jié)束所需比賽的局?jǐn)?shù)為 ，求 的概率分布列和數(shù)學(xué)期望 。
19 （本小題滿分13分）
已知函數(shù) ，其中 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
（Ⅰ）當(dāng) 時(shí)，求曲線 在 處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；
（Ⅱ）若函數(shù) 存在一個(gè)極大值和一個(gè)極小值，且極大值與極小值的積為 ，求 的
值.
20 （本小題滿分12分）
如圖，四邊形ABCD中， 為正三角形， ， ，AC與BD交于O點(diǎn)．將 沿邊AC折起，使D點(diǎn)至P點(diǎn)，已知PO與平面ABCD所成的角為 ，且P點(diǎn)在平面ABCD內(nèi)的射影落在 內(nèi)．
（Ⅰ）求證： 平面PBD；
（Ⅱ）若 時(shí)，求二面角 的余弦值。
21（本小題滿分12分）
中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 軸上的橢圓的離心率為 ，且經(jīng)過點(diǎn) 。
若分別過橢圓的左右焦點(diǎn) 、 的動(dòng)直線l1、l2相交于P點(diǎn)，與橢圓分別交于A、
B與C、D不同四點(diǎn)，直線OA、OB、OC、OD的斜率 、 、 、 滿足
．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在定點(diǎn)M、N，使得 為定值．若存在，求出M、N點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
22 （本小題滿分12分）
已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 滿足： 。
（1）求 的通項(xiàng)公式
（2）當(dāng) 時(shí)，求證：
2013年重慶一中高2013級(jí)高三下期第三次月考
數(shù) 學(xué) 答 案（理科） 2013.5
一.選擇題.(每小題5分,共50分)
題號(hào)12345678910
答案DDACABCCB B
二.題.(每小題5分,共25分)
11.0 12. 13. 14. 15. 16.
三.解答題.(共75分)
17.(13分)
解：（1）
，由題意得周期 故 ，又圖象過點(diǎn) 所以 ，即 ，而 ，故 ，
則：
（2）當(dāng) 時(shí)，
當(dāng) 時(shí)，即 時(shí)， 是減函數(shù)。
當(dāng) 時(shí)，即 時(shí)， 是增函數(shù)
則函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間是 ，單調(diào)遞增區(qū)間是
18.(13分)
解：（1）只進(jìn)行三局比賽，即丙獲勝比賽就結(jié)束的概率為
（2）
，
的分布列為：
234
19.(13分)
解：（Ⅰ） ， 當(dāng) 時(shí)， ，
， ，所以曲線 在 處的切線方程為 切線與 軸、 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為 ， ， 所以，所求面積為 .
（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù) 存在一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，
所以，方程 在 內(nèi)存在兩個(gè)不等實(shí)根，
. ，則
設(shè) 為函數(shù) 的極大值和極小值，
則 ， ，
因?yàn)椋?，所以， ，
即 ， ， ，
解得， ，此時(shí) 有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以 .
20.(12分)
解：（1）取BD中點(diǎn)Q，則 三點(diǎn)共線，即Q與O重合。
則 面PBD
（2）因?yàn)锳C 面PBD，而 面ABCD，所以面ABCD 面PBD，則P點(diǎn)在面ABCD上的射影點(diǎn)在交線BD上（即在射線OD上），所以PO與平面ABCD所成的角 。以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為 軸，OB為 軸建空間直角坐標(biāo)系。 ，因?yàn)锳C 面PBD，所以面PBD的法向量 ，設(shè)面PAB的法向量 ，又 ，由 ，得 ①，又 ，由 ，得
②， 在①②中令 ，可得 ，則
所以二面角 的余弦值
21.(12分)
解：（1）設(shè)橢圓方程為 ，則由題意知 ，則
，則橢圓方程為 ，代入點(diǎn) 的坐標(biāo)可得
，所求橢圓方程為
（2）當(dāng)直線l1或l2斜率不存在時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(-1, 0)或(1, 0)．
當(dāng)直線l1、l2斜率存在時(shí)，設(shè)斜率分別為 ， ，設(shè) ， ，
由 得 ，∴ ， ．
，同理 ．∵ ， ∴ ，即 ．又 ， ∴ ．
設(shè) ，則 ，即 ，
由當(dāng)直線l1或l2斜率不存在時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(-1, 0)或(1, 0)也滿足，∴ 點(diǎn)橢圓上，則存在點(diǎn)M、N其坐標(biāo)分別為(0 , -1)、(0, 1)，使得 為定值 ．
22(12分)
解：（1） ，猜測(cè)： 。下用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng) ，猜想成立；
②假設(shè)當(dāng) 時(shí)猜想成立，即 ，
由條件 ，
，
兩式相減得： ，則當(dāng) 時(shí)，
，
時(shí)，猜想也成立。
故對(duì)一切的 成立。
（2） ，即證：
對(duì) ，令 （ ），則
，
顯然 ， ，所以 ，
所以 ， 在 上單調(diào)遞減．
由 ，得 ，即 ．
所以 ， ．
所以
． 得證。
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