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中山市高三級2013—2014學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷（理科）本試卷共4頁，20小題，滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項(xiàng)：1、答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、統(tǒng)考考號、座位號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上。2、每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題上。3、不可以使用計算器。4、考試結(jié)束，將答題卡交回，試卷不用上交。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)復(fù)數(shù)，，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限2．設(shè)全集是實(shí)數(shù)集則圖中陰影部分所表示的集合是 （ ） A．B． C．D．【答案】A【解析】3．已知平面向量，，若∥則等于( )A．B．C．D．4．定義某種運(yùn)算，運(yùn)算原理如上圖所示，則式子的值為（ ）A．4B．8C．11D．135．把邊長為的正方形沿對角線折起，使得平面平面，形成三棱錐的正視圖與俯視圖如下圖所示，則側(cè)視圖的面積為 （ ）A． B． C． D． 【答案】B【解析】試題分析：取的中點(diǎn)，連結(jié)，，∵平面⊥平面，∴，∴直角是三棱錐的側(cè)視圖，∵=，∴==，∴的面積，故選：B．考點(diǎn)： 1.簡單空間圖形的三視圖6．下列四個命題中，正確的有①兩個變量間的相關(guān)系數(shù)越小，說明兩變量間的線性相關(guān)程度越低；②命題：“，”的否定：“，”；③用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸效果，若越大，則說明模型的擬合效果越好；④若，，，則．A．①③④B．①④C．③④D．②③7．對、，運(yùn)算“”、“”定義為：=，=，則下列各式其中不恒成立的是（ ）⑴⑵⑶⑷A．⑴、⑶B．⑵、⑷C．⑴、⑵、⑶D．⑴、⑵、⑶、⑷ 8. 已知函數(shù)滿足，且時，，則當(dāng)時，與的圖象的交點(diǎn)個數(shù)為( ) A．13B．12C．11D．10【答案】C【解析】試題分析：∵滿足，且x時，，二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，滿分30分．9．已知函數(shù)，則 . 【答案】【解析】試題分析：考點(diǎn)：10．如圖，一不規(guī)則區(qū)域內(nèi)，有一邊長為米的正方形，向區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地撒顆黃豆，數(shù)得落在正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）的黃豆數(shù)為 375 顆，以此實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計出該不規(guī)則圖形的面積為 平方米.（用分?jǐn)?shù)作答）11．在二項(xiàng)式的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是 ．【答案】10【解析】試題分析：含的項(xiàng)是第三項(xiàng)，系數(shù)為.考點(diǎn)： 二項(xiàng)式12．已知,,則 .13．已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，，則 .14．如圖, ，且，若，（其中），則終點(diǎn)落在陰影部分（含邊界）時，的取值范圍是 .【答案】【解析】試題分析：如圖所示①當(dāng)點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)時，過點(diǎn)P分別作PE∥OB，PF∥OA，交點(diǎn)分別是點(diǎn)E，F(xiàn)，則點(diǎn)E，F(xiàn)分別是OA，OB的中點(diǎn)．由平行四邊形法則可得： ，又，（其中），∴．當(dāng)點(diǎn)P位于線段AB上其它位置時，也有此結(jié)論．②當(dāng)點(diǎn)P是線段MN的中點(diǎn)時，連接PA，PB．∵AB∥MN，且2OA=OM，∴B點(diǎn)是線段ON的中點(diǎn)．由平行四邊形法則可得：，此時，當(dāng)點(diǎn)P位于線段AB上其它位置時，也有此結(jié)論．綜上可知：．又，令，化為，可知此直線過定點(diǎn)P（?1，?1）．由約束條件，作出可行域：作直線l：y=x，把此直線上下平移，當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）時，t取得最小值，當(dāng)點(diǎn)l經(jīng)過點(diǎn)B（0，2）時，t取得最大值．∴．∴，即的取值范圍是．故答案為：．考點(diǎn)： 1、平面向量運(yùn)算和性質(zhì)；2.線性規(guī)劃三、解答題： 本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．（本題滿分12分）設(shè)平面向量，，函數(shù)。（Ⅰ）求函數(shù)的值域和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;（Ⅱ）當(dāng),且時,求的值.根據(jù)求出的值域；②根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為，列出不等式，求出不等式的解集即可得到的取值范圍即為的遞增區(qū)間；（Ⅰ） 函數(shù)的值域是；………………………………………………（5分）令，解得………………（7分）所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.……………………（8分）（Ⅱ）由得,因?yàn)樗�以�?………………………（10分）……………………………………………………………………（12分）.考點(diǎn)：1. 正弦函數(shù)的定義域和值域、正弦函數(shù)的單調(diào)性；2. 三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值；3. 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.16．(本題滿分12分)某校從參加高二年級學(xué)業(yè)水平測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績（均為整數(shù)）的頻率分布直方圖如圖所示．（I）估計這次測試數(shù)學(xué)成績的平均分；（II）假設(shè)在[90，100]段的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績都不相同，且都超過94分．若將頻率視為概率，現(xiàn)用簡單隨機(jī)抽樣的方法，從95，96，97，98，99，100這6個數(shù)中任意抽取2個數(shù)，有放回地抽取了3次，記這3次抽取中，恰好是兩個學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望． ∴∴變量的分布列為：0123P …………（10分） …………（12分） 解法二. 隨機(jī)變量滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),所以為二項(xiàng)分布, 即………（10分） …………（12分）.考點(diǎn)： 1.離散型隨機(jī)變量的期望與方差；2.頻率分布直方圖；3.離散型隨機(jī)變量及其分布列．17．（本小題滿分14分）如圖，在底面是矩形的四棱錐中，⊥平面，，.是的中點(diǎn)，（Ⅰ）求證：平面⊥平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】試題分析：法一（Ⅰ）證明平面PDC內(nèi)的直線CD，垂直平面PAD內(nèi)的兩條相交直線PA，AD，即可證明CD⊥平面PAD，推出平面PDC⊥平面PAD；（Ⅲ平面AEC的法向量是，求出，利用，求出直線CD與平面AEC所成角的正弦值．因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以. ………………………（8分）而，由勾股定理可得. ………………………（9分）. ………………………（10分）（Ⅲ）延長，過作垂直于，連結(jié)，解法二：以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為 軸建立空間直角坐標(biāo)系，則(0，0，0) , (2，0，0), (2，4，0) , (0，4，0) ，(0，2，1) , (0，0，2) . ……（2分）∴＝(2，0，0) , ＝(0，4，0) , ＝(0，0，2) , ＝(－2，0，0) ,＝(0，2，1) , ＝(2，4，0) . 　　 ……………………（3分）（Ⅰ）, .又, . ………………………（5分）, , 而,∴平面⊥平面.　………（7分）考點(diǎn)： 1.平面與平面垂直的判定；2.異面直線及其所成的角；3.直線與平面所成的角．18．（本小題滿分14分） 數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，．（I）設(shè)，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（Ⅲ）若，數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：．②， ……………（5分）②-①得：， ……………（7分） .……………（9分）19. 已知函數(shù)，.（I）若，且對于任意恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；（II）設(shè)函數(shù)，求證：試題解析：（Ⅰ）由可知是偶函數(shù)．于是對任意成立等價于對任意成立．………（1分）由得．①當(dāng)時，．此時在上單調(diào)遞增． 故，符合題意．…（3分）②當(dāng)時，．當(dāng)變化時的變化情況如下表： ……………………（4分）單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由此可得，在上， ．依題意，，又．綜合①，②得，實(shí)數(shù)的取值范圍是． ………………（7分）（Ⅱ），又， ……………………（10分）20．（本題滿分14分）已知函數(shù)，（其中為常數(shù)）；（I）如果函數(shù)和有相同的極值點(diǎn)，求的值；（II）設(shè)，問是否存在，使得，若存在，請求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．（III）記函數(shù)，若函數(shù)有5個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．5個實(shí)根兩兩不相等．g（x）-1=0有2個不同的實(shí)根，只需滿足?a＞1或a＜?3；有3個不同的實(shí)根，從而結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解.試題解析：（I），則，令，得或，而在處有極大值，∴，或；綜上：或． ………………………………（3分）因?yàn)椋ǎ�（）要同時滿足，故；（注：也對）…………………（11分） www.gkstk.com 每天發(fā)布最有價值的高考資源 每天發(fā)布最有價值的高考資源 2 2 每天發(fā)布最有價值的高考資源www.gkstk.com【解析版】廣東省中山市2014屆高三上學(xué)期期末考試試題（數(shù)學(xué) 理）
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