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有一種只研究圖形各部分位置的相對次序，而不考慮他們尺寸大小的新幾何學(xué)，叫做拓撲學(xué)。有時人們也稱它是橡皮膜上的幾何學(xué)。因為橡皮膜上的圖形，隨著橡皮膜的拉動，其長度、曲直、面積等等都將發(fā)生變化，但也有一些圖形的性質(zhì)保持不變。例如點變化后還是點，線變化后依舊是線；相交的圖形決不因橡皮的拉伸和彎曲而變得不相交！拓撲學(xué)正是研究諸如此類，使圖形在橡皮膜上保持不變的性質(zhì)。在這種幾何中，扭曲和拉長（但不包括撕開和接合）稱為拓撲變換。圖形在拓撲變換下保持不變的性質(zhì)，稱為圖形的拓撲性質(zhì)。

三角形和圓使兩種截然不同的圖形，但他們都是簡單的封閉曲線。在拓撲變換下，三角形能變成圓，三角形的內(nèi)部變成了圓的內(nèi)部，三角形的外部變成了圓的外部。這就是說，簡單封閉曲線的內(nèi)部和外部具有拓撲性質(zhì)。

圖１顯出了畫在一塊矩形橡皮膜上的三角形，被拉成了圓的情形。

從圖２的三個圖形可以想象出他們各自表示什么東西。在拓撲變換下，他們中的每一個圖形都能變成另一個圖形。 高二

傳說古代有位國王，為了挑女婿曾經(jīng)給絡(luò)繹不絕的求婚者出過這樣一個題目：請用線把圖３中寫有相同數(shù)字的小圓圈連接起來，但所連的線不許相交。

這個問題似乎很簡單，但實際上沒有一個求婚者能夠如愿以償。事實上，如圖4，我們很容易把①-①、②-②連起來，從而得到一條簡單的封閉曲線，這條曲線把整個平面分為內(nèi)部(陰影部分)和外部這兩個區(qū)域。其中一個③在內(nèi)部區(qū)域，而另一個③卻在外部區(qū)域。要想從閉曲線內(nèi)部的③，畫一條線與外部的③相連，而與已畫的閉曲線不相交，這是不可能的！

用一個正方體做游戲：如圖5，假設(shè)正方體的八個頂點表示均勻分布在地球上的八個城市，而每個城市都有三條路線與毗鄰城市相連。某學(xué)者從A城出發(fā)，要到C′城去考察，途中順便到其他的六個城市旅游。要求這六個城市都只經(jīng)過一次而最后到達C′城。請畫出他的旅行路線。

要找出這條路線，最好是把它化為平面上的圖形來考慮。為此，我們不妨設(shè)想這正方體是由有彈性的橡皮薄膜制成，再用剪刀沿著棱剪掉它的一個面，然后扯著這個缺口把它拉開鋪平，就成為一個平面圖形。這個圖形叫做正方體的拓撲平面圖（如圖6）。圖中的粗線和箭頭方向就表示它的一種解答。

如果這個旅行者最后要到達的城市不是C′而是D′，那么他的旅行路線又該是怎樣的呢？要畫出這條路線的任何嘗試總是不會成功。為什么呢？

把這八個城市按圖7用兩種不同的顏色區(qū)分開，這樣，用一條棱連接的兩個頂點顏色都不同，那么以A點為出發(fā)點的第1號城市，以后到達的各城市依次編為2，3，…，8，可以知道：編為奇數(shù)的城市都應(yīng)該是白色的；編為偶數(shù)的城市都應(yīng)該是黑色的，作為最后到達的第8號城市當然是黑色的。可見，從A城出發(fā)，以B′、D′、C為終點，中途又要不重復(fù)地經(jīng)過其他六個城市的路線都是不存在的。

下面是一道涉及拓撲學(xué)知識的數(shù)學(xué)競賽題。

圖8是從一個8×10格的矩形紙上剪去兩個1×1的小方格后得到的。能不能把它全部剪成1×2格大小的矩形小紙片呢？為什么？

這是不可能的，由它上面剪下來的每一個小矩形都由兩個相鄰的小方格組成，這兩個小方格上染有不同的顏色。假設(shè)它能全部剪成這樣的小矩形紙片，那么它上面兩種顏色的格子數(shù)目應(yīng)當相等。但它的灰色小方格比白色小方格少2個。所以它能全部剪成1×2格小矩形紙片的假設(shè)是錯誤的。因此，不可能把它全部剪成這樣的小紙片。

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