第二十七講 圖形的折疊、剪拼與分割
一頁(yè)普通的紙，童年時(shí)我們用稚氣的雙手把它折成有趣的動(dòng)物，民間藝人可以把它剪成美麗的圖案．折紙與剪紙是最富于自然情趣而又形象生動(dòng)的實(shí)驗(yàn)，是豐富想象力與心靈手巧的結(jié)合．
對(duì)圖形進(jìn)行折疊與剪拼，是學(xué)習(xí)幾何不可 或缺的重要一環(huán)，通過(guò)折疊與剪拼圖形，我們可 以發(fā)現(xiàn)一些幾何結(jié)論并知曉這些結(jié)論是怎樣被證明的．
把圖形或部分沿某直線翻折叫圖形的折疊，對(duì)圖形通過(guò)有限次的剪裁再重新拼接成新的圖形叫圖形的剪拼．
解與圖形折疊或剪拼相關(guān)的問(wèn)題，利用不變量解題是關(guān)鍵，在折疊過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度、角的度數(shù)保持不變；在剪拼過(guò)程中，新圖形與原圖形的面積一般保持不變．
例題求解
【例1】 如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6?，BC=8?，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于 ．
(南通市中考題)
思路點(diǎn)撥 設(shè)CD=x，由折疊的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)等量轉(zhuǎn)換，將條件集中到Rt△BDE中，建立x的方程．
注 圖形折疊與剪拼問(wèn)題可考壹我們的動(dòng)手操作能力和分析推理能力，解題時(shí)需要把計(jì)算、推理與合 情想象結(jié)合起來(lái)．
折疊問(wèn)題可以對(duì)稱觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)：
(1)折痕兩邊是全等的；
(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被折痕垂直平分．
解折疊問(wèn)題常用到勾股定理、相似形、方程思想等知識(shí)與方法．
【例2】 如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，將矩形沿AC折疊，則重疊部分△AFC的面積 為( )
A．12 D10 C．8 D．6 (2004年武漢市選拔賽試題)
思路點(diǎn)撥 只需求出AF長(zhǎng)即可．
【例3】取一張矩形的紙進(jìn)行折疊，具體操作過(guò)程如下：
第一步：先把矩形ABCD對(duì)折，折痕為MN，如圖1；
第二步：再把B點(diǎn)疊在折痕線MN上，折痕為AE，點(diǎn)B在MN上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，得Rt△AB'E，如圖2；
第三步：沿EB'線折疊得折痕EF，如圖3．
利用展開圖4探究：
(1)△AEF是什么三角形?證明你的結(jié)論．
(2)對(duì)于任一矩形，按照上述方法是否都能折出這種三角形?請(qǐng)說(shuō)明理由．
(山西省中考題)
思路點(diǎn)撥 本例沒有現(xiàn)成的結(jié)論，需經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)、觀察、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)，從而探究得到結(jié)論．
【例4】如圖，是從邊長(zhǎng)為40cm、寬為30cm的矩形鋼板的左上角截取一塊長(zhǎng)為20cm、寬為10cm的矩形后，剩下的一塊下腳料．工人師傅要將它作適 當(dāng)?shù)厍懈�，重新拼接后焊成一個(gè)面積與原下腳料的面積相等，接縫盡可能短的正方形工件．
(1)請(qǐng)根據(jù)上述要求，設(shè)計(jì)出將這塊下腳料適當(dāng)分割成三塊或三塊以上的兩種不同的拼接方案(在圖2和圖3中分別畫出切割時(shí)所沿的虛線，以及拼接后所得到的正方形，保留拼接的痕跡)；
(2)比較(1)中的兩種方案，哪種更好一些?說(shuō)說(shuō)你的看法和理由．
（山東省中考題)
思路點(diǎn)撥 拼接后正方形的邊長(zhǎng)為 ?，它恰是以30cm和10cm為兩直角邊的直角三角形的斜邊的長(zhǎng)，為此可考慮設(shè)法在原鋼板上構(gòu)造兩直角邊長(zhǎng)分別為30?和l0cm的直角三角形，這是解本例的關(guān)鍵．
注 有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程不能單純地依賴模仿與記憶，應(yīng)該通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、操作、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)，形成自己對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和有效的學(xué)習(xí)策略，從而使知識(shí)得到內(nèi)化，形成能力．
近年中考中涌現(xiàn)的設(shè)計(jì)新穎、富有創(chuàng)意的折疊、剪拼與分割等問(wèn)題，注重對(duì)動(dòng)手實(shí)踐操作、應(yīng)用意識(shí)、學(xué)習(xí)潛能的考查．
【例5】 用10個(gè)邊長(zhǎng)分別為3，5，6，11，17，19，22，23，24，25的正方形，可以拼接成一個(gè)矩形．
(1)求這個(gè)矩形的長(zhǎng)和寬；
(2)請(qǐng)畫出拼接圖．
思路點(diǎn)撥 利用拼接前后圖形面積不變求矩形的長(zhǎng)和寬；運(yùn)用矩形對(duì)邊相等這一性質(zhì)畫拼接圖．
【例6】 如圖，已知△ABC中，∠B=∠C=30°，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)三種不同的分法，將△ABC分割成四個(gè)三角形，使得其中兩個(gè)是全等三角形，而另外兩個(gè)是相似但不全等的直角三角形．請(qǐng)畫出分割線段，標(biāo)出能夠說(shuō)明分法的所得三角形的頂點(diǎn)和內(nèi)角度數(shù)(或記號(hào))．(畫圖工具不限， 不要求證明，不要求寫出畫法) (溫州市中考題)
思路點(diǎn)撥 充分運(yùn)用幾何計(jì)算、推理和作圖，綜合運(yùn)用動(dòng)手操作、空間想象、解決問(wèn)題．
學(xué)力訓(xùn)練
1．將一張長(zhǎng)方形的紙對(duì)折，如圖所示可得到一條折痕(圖中虛線)，繼續(xù)對(duì)折，對(duì)折時(shí)每次折痕與上次的折痕保持平行，連續(xù)對(duì)折三次后，可以得 到7條折痕，那么對(duì)折四次可以得到 條折痕，如果對(duì)折n次，可以得到 條折痕．(2002年南寧市中考題)
2．一張直角三角形的紙片，像圖中那樣折疊，使兩個(gè)銳角頂點(diǎn)A、B重合，若∠B=30°，AC= ，則折痕DE的長(zhǎng)等于 ． (三明市中考題)
3．如圖，將一塊長(zhǎng)為12的正方形紙片ABCD的頂點(diǎn)A折至DC邊上的點(diǎn)E，使DE＝5，折痕為PQ，則線段PM= ．
4．在△ABC中 ，已知AB=20，∠A=30°，CD是AB邊的中線，若將△ABC沿CD對(duì)折起來(lái)，折疊后兩個(gè)小三角形ACD與三角形BCD重疊部分的面積恰好等于折疊前△ABC的面積的 ，有如下結(jié)論：①AC邊的長(zhǎng)可以等于a；②折疊前的△ABC的面積可以等于 ；③折疊后，以A、B為端點(diǎn)的線段AB與中線CD平行且相等，其中，正確結(jié)論有 個(gè)．
(天津市中考題)
5．將四個(gè)相同的矩形(長(zhǎng)是寬的3倍)，用不同的方式拼成一個(gè)大矩形，設(shè)拼得大矩形的面積是四個(gè)小矩形的面積和，則大矩形周長(zhǎng)的值只可能有( )
A．1種 B．2種 C．3種 D．4種 (2003年南昌市中考題)
6．如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部時(shí)，則∠A與∠1+∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請(qǐng)?jiān)囍乙徽疫@個(gè)規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是( )
A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A＝∠1+∠2
C．3∠A＝2∠1+∠2 D．3∠A=2(∠l+∠2)
(北京市海淀區(qū)中考題)
7．將一張矩形紙對(duì)折再對(duì)折(如圖)，然后沿著圖中的虛線剪下，得到①、②兩部分．將①展開后得到的平面圖形是( )
A．矩形 B．三角形 C．梯形 D．菱形 (陜西省中考題)
8．如圖1，小強(qiáng)拿一張正方形的紙，沿虛線對(duì)折一次得圖2，再對(duì)折一次得圖3，然后用剪刀沿圖3中的虛線剪去一個(gè)角，再打開后的形狀是( ) (濟(jì)南市中考題)
9．如圖，東風(fēng)汽車公司沖壓廠沖壓汽車零件的廢料都是等腰三角形的小鋼板，其中AB=AC，該沖壓廠為了降低汽車零件成本，變廢為寶，把這些廢料再加工成紅星農(nóng)業(yè)機(jī)械廠粉碎機(jī)上的零件，銷售給紅星農(nóng)業(yè)機(jī)械廠，這些零件的形狀都是矩形． 現(xiàn)在要把如圖所示的等腰三角形鋼板切割后再焊接成兩種不同規(guī)格的矩形 ，每種矩形的面積正好等于該三角形的面積，每次切割的次數(shù)最多兩次(切割的損失可忽略不計(jì))．
(1)請(qǐng)你設(shè)計(jì)兩種不同的切割 焊接方案，并用簡(jiǎn)要的文字加以說(shuō)明；
(2)若要把該三角形廢料切割后焊接成正方形 零件(只切割一次)，則該三角形需滿足什么條件? (十堰市中考題)
10．如圖，ABCD是矩形紙片，E是AB上一點(diǎn)，且BE：EA＝5：3，EC=15 ，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若點(diǎn)B恰好落在AD邊上，設(shè)這個(gè)點(diǎn)為F，求AB、BC的長(zhǎng)．
11．如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC=5，現(xiàn)將它折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，則折痕的長(zhǎng)是 ． (四川省競(jìng)賽題)
12．如圖，一張矩形紙片沿BC折疊，頂點(diǎn)A落在點(diǎn)A，處，第二次過(guò)A，再折疊，使折痕DE∥BC，若AB=2，AC=3，則梯形BDEC的面積為 ．
( “宇振杯”上海市競(jìng)賽題)
13．如圖，將矩形ABCD的四個(gè)角向內(nèi)折起，恰好拼成既無(wú)縫隙又無(wú)重疊的四邊形EFGH，若EH＝3，EF＝4，那么線段AD與AB的比等于 ． ( “希望杯 ”邀請(qǐng)賽試題)
14．要剪切如圖l(尺寸單位mm)所示的兩種直角梯形零件，且使兩種零件的數(shù)量相等．有兩種面積相等的矩形鋁板，第一種長(zhǎng)500mm，寬300mm(如圖2)；第二種長(zhǎng)600mm，寬250mm(如圖3)；可供選用．
兩種零件共 個(gè)，剪出這些零件后，剩余的邊角料的面積是 mm2．
(2)畫圖，從圖2或圖3中選出你要用的鋁板示意圖，在上面畫出剪切線，并把邊角余料用陰影表示出來(lái)．
15．如圖，EF為正方形ABCD的對(duì)折線，將∠A沿DK折疊使它的頂點(diǎn)A落在EF上的G點(diǎn)，則∠DKG為( )
A．15° B．30° C．55° D．75°
16．某班在布置新年聯(lián)歡會(huì)會(huì)場(chǎng)時(shí)，需要將直角三角形彩紙裁成長(zhǎng)度不等的矩形彩條，如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=30?，AB=50cm，依次裁下寬為1?的矩形紙條a1，a2，a3，…，若使裁得的矩形紙條的長(zhǎng)都不小于5cm，則每張直角三角形彩紙能裁成的矩形紙條的總數(shù)是( )
A．24 B．25 C． 26 D．27 (山東省濟(jì)南市中考題)
17．如圖，若將左邊正方形剪成四塊，恰能拼成右邊的矩形，設(shè)a＝1，則這個(gè)正方形的面積為( )
A． B． C． D．
(2003年山東省競(jìng)賽題)
18．如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，沿過(guò)點(diǎn)月的一條直線BE折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)為D，要使點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn)，問(wèn)在圖中還需添加什么條件?
(1)寫出兩個(gè)滿足邊的條件；
(2)寫出兩個(gè)滿足角的條件；
(3)寫出一個(gè)滿足除邊角以外的其他條件． (黃岡市競(jìng)賽題)
19．如圖，正方形紙片ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，折疊正方形，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，壓平后，得折痕MN，設(shè)梯形ADMN的面積為S1，梯形BCMN的面積為S2，求 的值
20．已知一個(gè)三角形紙片ABC，面積為25，BC 的長(zhǎng)為l0，∠B、∠C都為銳角，M為AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)(M與A、B不重合)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥BC交AC于點(diǎn)N，設(shè)MN=x．
(1)用x表示△AMN的面積；
(2)△AMN沿MN折疊，使△AMN緊貼四邊形BCNM(邊AM、AN落在四邊形BCNM所在的平面內(nèi))，設(shè)點(diǎn)A落在平面BCNM內(nèi)的點(diǎn)A′，△A′MN與四邊形BCNM重疊部分的面積為y．
①用的代數(shù)式表示y，并寫出x的取值范圍．
②當(dāng)x為何值時(shí)，重疊部分的面積y最大，最大為多少?
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.douzifanli.com/chuer/72482.html
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