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23、（13年北京5分20）如圖，AB是⊙O的直徑，PA，PC分別與⊙O 相切于點A，C，PC交AB的延長線于點D，DE⊥PO交PO的延長線于點E。
（1）求證：∠EPD=∠EDO
（2）若PC=6，tan∠PDA= ，求OE的長。

考點：圓中的證明與計算（三角形相似、三角函數(shù)、切線的性質(zhì)）

24、（13年北京8分25）對于平面直角坐標(biāo)系 O 中的點P和⊙C，給出如下定義：若⊙C上存在兩個點A，B，使得∠APB=60°，則稱P為⊙C 的關(guān)聯(lián)點。
已知點D（ ， ），E（0，-2），F(xiàn)（ ，0）
（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時，
①在點D，E，F(xiàn)中，⊙O的關(guān)聯(lián)點是__________；
②過點F作直線交 軸正半軸于點G，使∠GFO=30°，若直線上的點P（ ， ）是⊙O的關(guān)聯(lián)點，求 的取值范圍；
（2）若線段EF上的所有點都是某個圓的關(guān)聯(lián)點，求這個圓的半徑 的取值范圍。

解析：【解析】(1) ① ；
② 由題意可知，若 點要剛好是圓 的關(guān)聯(lián)點；
需要點 到圓 的兩條切線 和 之間所夾
的角度為 ；
由圖 可知 ，則 ，
連接 ，則 ；
∴若 點為圓 的關(guān)聯(lián)點；則需點 到圓心的距離 滿足 ；
由上述證明可知，考慮臨界位置的 點，如圖2；
點 到原點的距離 ；
過 作 軸的垂線 ，垂足為 ；
；
∴ ；
∴ ；
∴ ；
∴ ；
易得點 與點 重合，過 作 軸于點 ；
易得 ；
∴ ；
從而若點 為圓 的關(guān)聯(lián)點，則 點必在線段 上；
∴ ；
(2) 若線段 上的所有點都是某個圓的關(guān)聯(lián)點，欲使這個圓的半徑最小，
則這個圓的圓心應(yīng)在線段 的中點；
考慮臨界情況，如圖3；
即恰好 點為圓 的關(guān)聯(lián)時，則 ；
∴此時 ；
故若線段 上的所有點都是某個圓的關(guān)聯(lián)點，
這個圓的半徑 的取值范圍為 .

【點評】“新定義”問題最關(guān)鍵的是要能夠把“新定義”轉(zhuǎn)化為自己熟悉的知識，通過第(2)問開
頭部分的解析，可以看出本題的“關(guān)聯(lián)點”本質(zhì)就是到圓心的距離小于或等于 倍半
徑的點.
了解了這一點，在結(jié)合平面直角坐標(biāo)系和圓的知識去解答就事半功倍了.
考點：代幾綜合（“新定義”、特殊直角三角形的性質(zhì)、圓、特殊角三角形函數(shù)、數(shù)形結(jié)合）

25、(2013年廣東湛江)下面的材料，先完成，再將要求答題：
，則 ； ①
，則 ； ②
，則 ． ③
……
觀察上述等式，猜想：對任意銳角 ，都有 1 ．④
（１）如圖，在銳角三角形 中，利用三角函數(shù)的定義及勾股定理
對 證明你的猜想；
（２）已知： 為銳角 且 ，求 ．
（１）證明：過點 作 于 ，在 △ 中， ，
由勾股定理得， ，
（２）解： 為銳角 ， ，

26、（2013•郴州）如圖，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P為AC邊上一動點，設(shè)PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．
（1）證明：△PCE是等腰三角形；
（2）E、FN、BH分別是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代數(shù)式表示E、FN，并探究E、FN、BH之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）當(dāng)k=4時，求四邊形PEBF的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式．x為何值時，S有最大值？并求出S的最大值．

考點：等腰三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；解直角三角形．3718684
分析：（1）根據(jù)等邊對等角可得∠A=∠C，然后根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出∠CPE=∠A，從而得到∠CPE=∠C，即可得證；
（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出C= CP，然后求出E，同理求出FN、BH的長，再根據(jù)結(jié)果整理可得E+FN=BH；
（3）分別求出E、FN、BH，然后根據(jù)S△PCE，S△APF，S△ABC，再根據(jù)S=S△ABC?S△PCE?S△APF，整理即可得到S與x的關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的最值問題解答．
解答：（1）證明：∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∵PE∥AB，
∴∠CPE=∠A，
∴∠CPE=∠C，
∴△PCE是等腰三角形；

（2）解：∵△PCE是等腰三角形，E⊥CP，
∴C= CP= ，tanC=tanA=k，
∴E=C•tanC= •k= ，
同理：FN=AN•tanA= •k=4k? ，
由于BH=AH•tanA= ×8•k=4k，
而E+FN= +4k? =4k，
∴E+FN=BH；

（3）解：當(dāng)k=4時，E=2x，F(xiàn)N=16?2x，BH=16，
所以，S△PCE= x•2x=x2，S△APF= （8?x）•（16?2x）=（8?x）2，S△ABC= ×8×16=64，
S=S△ABC?S△PCE?S△APF，
=64?x2?（8?x）2，
=?2x2+16x，
配方得，S=?2（x?4）2+32，
所以，當(dāng)x=4時，S有最大值32．
點評：本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，二次函數(shù)的最值問題，表示出各三角形的高線是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．

27、（2013•呼和浩特）如圖，AD是△ABC的角平分線，以點C為圓心，CD為半徑作圓交BC的延長線于點E，交AD于點F，交AE于點，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．
（1）求證：點F是AD的中點；
（2）求cos∠AED的值；
（3）如果BD=10，求半徑CD的長．

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理；解直角三角形．3718684
分析：（1）由AD是△ABC的角平分線，∠B=∠CAE，易證得∠ADE=∠DAE，即可得ED=EA，又由ED是直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可得EF⊥AD，由三線合一的知識，即可判定點F是AD的中點；
（2）首先連接D，設(shè)EF=4k，df=3k，然后由勾股定理求得ED的長，繼而求得D與E的長，由余弦的定義，即可求得答案；
（3）易證得△AEC∽△BEA，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得方程：（5k）2= k•（10+5k），解此方程即可求得答案．
解答：（1）證明：∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠1=∠2，
∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3，
∴∠ADE=∠DAE，
∴ED=EA，
∵ED為⊙O直徑，
∴∠DFE=90°，
∴EF⊥AD，
∴點F是AD的中點；

（2）解：連接D，
設(shè)EF=4k，df=3k，
則ED= =5k，
∵ AD•EF= AE•D，
∴D= = = k，
∴E= = k，
∴cos∠AED= = ；

（3）解：∵∠B=∠3，∠AEC為公共角，
∴△AEC∽△BEA，
∴AE：BE=CE：AE，
∴AE2=CE•BE，
∴（5k）2= k•（10+5k），
∵k＞0，
∴k=2，
∴CD= k=5．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．

28、（2013•濱州壓軸題）根據(jù)要求，解答下列問題：
（1）已知直線l1的函數(shù)表達式為y=x，請直接寫出過原點且與l1垂直的直線l2的函數(shù)表達式；
（2）如圖，過原點的直線l3向上的方向與x軸的正方向所成的角為30°．
①求直線l3的函數(shù)表達式；
②把直線l3繞原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的直線l4，求直線l4的函數(shù)表達式．
（3）分別觀察（1）（2）中的兩個函數(shù)表達式，請猜想：當(dāng)兩直線垂直時，它們的函數(shù)表達式中自變量的系數(shù)之間有何關(guān)系？請根據(jù)猜想結(jié)論直接寫出過原點且與直線y=? 垂直的直線l5的函數(shù)表達式．

考點：一次函數(shù)綜合題．
分析：（1）根據(jù)題意可直接得出l2的函數(shù)表達式；
（2）①先設(shè)直線l3的函數(shù)表達式為y=k1x（k1≠0），根據(jù)過原點的直線l3向上的方向與x軸的正方向所成的角為30°，直線過一、三象限，求出k1=tan30°，從而求出直線l3的函數(shù)表達式；
②根據(jù)l3與l4的夾角是為90°，求出l4與x軸的夾角是為60°，再設(shè)l4的解析式為y=k2x（k2≠0），根據(jù)直線l4過二、四象限，求出k2=?tan60°，從而求出直線l4的函數(shù)表達式；
（3）通過觀察（1）（2）中的兩個函數(shù)表達式可得出它們的函數(shù)表達式中自變量的系數(shù)互為負倒數(shù)關(guān)系，再根據(jù)這一關(guān)系即可求出與直線y=? 垂直的直線l5的函數(shù)表達式．
解答：解：（1）根據(jù)題意得：y=?x；

（2）①設(shè)直線l3的函數(shù)表達式為y=k1x（k1≠0），
∵過原點的直線l3向上的方向與x軸的正方向所成的角為30°，直線過一、三象限，
∴k1=tan30°= ，
∴直線l3的函數(shù)表達式為y= x；
②∵l3與l4的夾角是為90°，
∴l(xiāng)4與x軸的夾角是為60°，
設(shè)l4的解析式為y=k2x（k2≠0），
∵直線l4過二、四象限，
∴k2=?tan60°=? ，
∴直線l4的函數(shù)表達式為y=? x；

（3）通過觀察（1）（2）中的兩個函數(shù)表達式可知，當(dāng)兩直線互相垂直時，它們的函數(shù)表達式中自變量的系數(shù)互為負倒數(shù)關(guān)系，
∴過原點且與直線y=? 垂直的直線l5的函數(shù)表達式為y=5x．

點評：此題考查了一次函數(shù)的綜合，用到的知識點是銳角三角函數(shù)、一次函數(shù)的解析式的求法，關(guān)鍵是根據(jù)銳角三角函數(shù)求出k的值，做綜合性的題要與幾何圖形相結(jié)合，更直觀一些．

29、（2013菏澤）如圖，BC是⊙O的直徑，A是⊙O上一點，過點C作⊙O的切線，交BA的延長線于點D，取CD的中點E，AE的延長線與BC的延長線交于點P．
（1）求證：AP是⊙O的切線；
（2）OC=CP，AB=6，求CD的長．

考點：切線的判定與性質(zhì)；解直角三角形．
分析：（1）連接AO，AC（如圖）．欲證AP是⊙O的切線，只需證明OA⊥AP即可；
（2）利用（1）中切線的性質(zhì)在Rt△OAP中利用邊角關(guān)系求得∠ACO=60°．然后在Rt△BAC、Rt△ACD中利用余弦三角函數(shù)的定義知AC=2 ，CD=4．
解答：（1）證明：連接AO，AC（如圖）．
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC=∠CAD=90°．
∵E是CD的中點，
∴CE=DE=AE．
∴∠ECA=∠EAC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵CD是⊙O的切線，
∴CD⊥OC．
∴∠ECA+∠OCA=90°．
∴∠EAC+∠OAC=90°．
∴OA⊥AP．
∵A是⊙O上一點，
∴AP是⊙O的切線；
（2）解：由（1）知OA⊥AP．
在Rt△OAP中，∵∠OAP=90°，OC=CP=OA，即OP=2OA，
∴sinP= =，
∴∠P=30°．
∴∠AOP=60°．
∵OC=OA，
∴∠ACO=60°．
在Rt△BAC中，∵∠BAC=90°，AB=6，∠ACO=60°，
∴AC= =2 ，
又∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°，∠ACD=90°?∠ACO=30°，
∴CD= = =4．

點評：本題考查了切線的判定與性質(zhì)、解直角三角形．注意，切線的定義的運用，解題的關(guān)鍵是熟記特殊角的銳角三角函數(shù)值．