2014年1月期末試題分類匯編——代幾綜合
（2014?石景山1月期末?26.）已知點和點在拋物線上.
（1）求的值及點的坐標；
（2）點在軸上，且滿足△是以為直角邊的直角三角形，求點的坐標;
（3）平移拋物線，記平移后點A的對應點為，點B的對應點為. 點（2,0）在x軸上，當拋物線向右平移到某個位置時，最短，求此時拋物線的函數解析式.
26．解：（1） ……………………1分
拋物線解析式為：
……………………2分
(2) 記直線AB與x、y軸分別交于C、D兩點，
………………………3分
①以A為直角頂點，則
則
又
…………………4分
�、谝詾橹苯琼旤c，則
………………………5分
�。�3）記點A關于x軸的對稱點為
則BE:
令y=0,得
即BE與x軸的交點為……6分
故拋物線向右平移個單位時最短
此時，拋物線的解析式為…………………7分
（2014?西城1月期末?25）已知：二次函數的圖象與x軸交于點A，B（A點在B點的左側），與y軸交于點C，△ABC的面積為12．
（1）①：二次函數圖象的對稱軸為 ；
②求二次函數的解析式；
（2） 點D的坐標為（－2，1），點P在二次函數圖象上，∠ADP為銳角，且，求點P的橫坐標；
（3）點E在x軸的正半軸上，，點O與點關于EC所在直線對稱．作⊥于點N，交EC于點．若E?EC＝32，求點E的坐標．
25．解：（1）①該二次函數圖象的對稱軸為直線；1分
�、凇� 當x=0時，y=－4，
∴ 點C的坐標為．
∵ ＝12，
∴ AB=6．
又∵點A，B關于直線對稱，
∴ A點和B點的坐標分別為，．
∴ ．解得 ．
∴ 所求二次函數的解析式為．2分
（2）如圖，作DF⊥x軸于點F．分兩種情況：
(?)當點P在直線AD的下方時，如圖所示．
由（1）得點A，點D，
∴ DF=1，AF=2．
在Rt△ADF中，，得．
延長DF與拋物線交于點P1，則P1點為所求．
∴ 點P1的坐標為．3分
(?)當點P在直線AD的上方時，延長P1A至點G使得AG=AP1，連接DG，作GH⊥x軸于點H，如圖所示．
可證 △GHA≌△．
∴ HA =AF，GH = P1 F，GA =P1A．
又∵ ，，
∴ 點的坐標是．
在△ADP1中，
，DP1＝５，
，
∴ ．
∴ ．
∴ DA⊥．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
設DG與拋物線的交點為P2，則P2點為所求．
作DK⊥GH于點K，作P2S∥GK交DK于點S．
設P2點的坐標為，
則，．
由，，，得．
整理，得 ．
解得．
∵ P2點在第二象限，
∴ P2點的橫坐標為（舍正）．
綜上，P點的橫坐標為－2或．5分
（3）如圖，連接O，交CE于T．連接C．
∵ 點O與點關于EC所在直線對稱，
∴ O⊥CE，CE，∠CE ．
∴ C⊥E．
∵ ON⊥E，
∴ C∥N．
∴ C E ．
∴ ．6分
∴ ．
∵ 在Rt△ETO中，，，
在Rt△中，，，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ 點E在x軸的正半軸上，
∴ E點的坐標為)．8分
（2014?海淀1月期末?25）如圖1，已知二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點(B在A的左側)，頂點為C， 點D（1，）在此二次函數圖象的對稱軸上，過點D作y軸的垂線，交對稱軸右側的拋物線于E點．
�。�1）求此二次函數的解析式和點C的坐標；
（2）當點D的坐標為（1，1）時，連接BD、．求證：平分；
（3）點G在拋物線的對稱軸上且位于第一象限，若以A、C、G為頂點的三角形與以G、D、E為頂點的三角形相似，求點E的橫坐標．
25. （本小題滿分8分）
解：（1）∵點D（1，）在圖象的對稱軸上，
∴．
∴．
∴二次函數的解析式為．………………………………………1分
∴C（1，-4）． …………………………………………………………………2分
�。�2）∵D（1，1），且DE垂直于y軸，
∴點E的縱坐標為1，DE平行于x軸．
∴．
令，則，解得．
∵點E位于對稱軸右側，
∴E．
∴D E =．
令，則，求得點A的坐標為（3,0），點B的坐標為（-1,0）．
∴BD =．
∴BD = D E．……………………………………………………………………3分
∴ ．
∴ ．
∴平分．……………………………………………………………4分
（3）∵以A、C、G為頂點的三角形與以G、D、E為頂點的三角形相似，
且△GDE為直角三角形，
∴△ACG為直角三角形．
∵G在拋物線對稱軸上且位于第一象限，
∴．
∵A（3,0）C（1，-4），,
∴求得G點坐標為（1，1）．
∴AG=，AC=．
∴AC=2 AG.
∴GD=2 DE或 DE =2 GD.
設（t >1） ，
.當點D在點G的上方時，則DE=t -1，
GD = ()=.
i. 如圖2，當 GD=2 DE時，
則有， = 2(t-1).
解得，.(舍負)………………………5分
ii. 如圖3，當DE =2GD時，
則有，t -1=2().
解得，.(舍負)…………………6分
. 當點D在點G的下方時，則DE=t -1，
GD=1- ()= -.
i. 如圖4，當 GD=2 DE時，
則有， =2（t -1）.
解得，.(舍負) ………………………7分
ii. 如圖5，當DE =2 GD時，
則有，t-1=2（）.
解得，.(舍負) …………………8分
綜上，E點的橫坐標為或或或.
（2014?朝陽1月期末?24）在平面直角坐標系中，拋物線過點，且與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C.點D的坐標為，連接CA，CB，CD.
（1）求證：；
（2）是第一象限內拋物線上的一個動點，連接DP交BC于點E.
①當△BDE是等腰三角形時，直接寫出點E的坐標；
②連接CP，當△CDP的面積最大時，求點E的坐標.
24.解：（1）∵拋物線y = x2+(+2)x+2過點（2，4），
∴．
∴拋物線表達式為． ………………………1分
∴A(－1，0)，B(6，0)，C(0，2) ．
作B⊥CD，交CD延長線于點，
在Rt△DOC中，
∵OC=OD=2，
∴∠CDO＝∠BD＝45o，CD=．
在Rt△BD中，
∵BD=4，
∴D=B=．
在Rt△CB中，．
在Rt△AOC中，．
∴tan∠BC＝tan∠ACO．
∴∠BCD＝∠ACO． ………………………………………………2分
（2）①，． ……………………………………4分
②設，
過點P作x軸的垂線，垂足為點F，交CD延長線于點Q，
直線CD的解析式為y＝－x＋2．
∴Q(x，－x＋2)．
．
∴（0＜x＜6）．………5分
當x＝4時，最大，此時． ……………6分
直線PD的解析式為 ．
直線CB的解析式為 ．
PD與CB的交點為． ………………………7分
∴當△CDP的面積最大時，點E坐標為.
（2014?東城1月期末?25）在平面直角坐標系xOy中，二次函數的圖象與x軸負半軸交于點A，與y軸交于點B（0，4），已知點E（0，1）．
（1）求的值及點A的坐標；
�。�2）如圖，將△AEO沿x軸向右平移得到△A′E′O′，連結A′B、BE′．
①當點E′落在該二次函數的圖象上時，求AA′的長；
②設AA′=n，其中0＜n＜2，試用含n的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值時點E′的坐標；
③當A′B+BE′取得最小值時，求點E′的坐標．
25．解：（1）由題意可知 ，．
∴ 二次函數的解析式為．
∴ 點A的坐標為（- 2, 0）． …………………………..2分
�。�2）①∵ 點E（0,1），由題意可知，
．
解得 ．
∴ AA′=． ……………………………..3分
�、谌鐖D，連接EE′．
由題設知AA′=n（0＜n＜2），則A′O = 2 - n．
在Rt△A′BO中，由A′B2 = A′O2 + BO2，
得A′B2 =(2?n)2 + 42 = n2 - 4n + 20．
∵△A′E′O′是△AEO沿x軸向右平移得到的，
∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．
∴∠BEE′=90°，EE′=n．
又BE=OB - OE=3.
∴在Rt△BE′E中，BE′2 = E′E2 + BE2 = n2 + 9，
∴A′B2 + BE′2 = 2n2 - 4n + 29 = 2(n?1)2 + 27．
當n = 1時，A′B2 + BE′2可以取得最小值，此時點E′的坐標是（1，1）．
……………………………..5分
③如圖，過點A作AB′⊥x軸，并使AB′ = BE = 3．
易證△AB′A′≌△EBE′，
∴B′A′ = BE′，
∴A′B + BE′ = A′B + B′A′．
當點B，A′，B′在同一條直線上時，A′B + B′A′最小，即此時A′B+BE′取得最小值．
易證△AB′A′∽△OBA′，
∴，
∴AA′=，
∴EE′=AA′=，
∴點E′的坐標是（，1）． ………………………………………….8分
（2014?豐臺1月期末?24）已知直線y=kx-3與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點C，拋物線經過點A和點C,動點P在x軸上以每秒1個長度單位的速度由拋物線與x軸的另一個交點B向點A運動，點Q由點C沿線段CA向點A運動且速度是點P運動速度的2倍.
�。�1）求此拋物線的解析式和直線的解析式；
（2）如果點P和點Q同時出發(fā)，運動時間為t（秒），試問當t為何值時，以A、P、Q為頂點的三角形與△AOC相似；
（3）在直線CA上方的拋物線上是否存在一點D，使得△ACD的面積最大.若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．
24．解：（1）∵ 直線y=kx-3過點A（4，0），∴ 0 = 4k -3，解得k=．
∴ 直線的解析式為 y=x-3．……………………………………1分
由直線y=x-3與y軸交于點C，可知C(0，-3) ．
∴ ，解得 =．
∴ 拋物線解析式為 ………………………2分
（2）對于拋物線，
令y=0，則，解得x1=1，x2=4．
∴ B(1，0). ………………………………………………3分
∴ AB=3，AO=4，OC=3，AC=5，AP=3-t，AQ=5-2t.
若∠Q1P1A=90°,則P1Q1∥OC（如圖1），
∴ △AP1Q1∽△AOC.
∴ , ∴．解得t= ； ………4分
�、� 若∠P2Q2A=90°, ∵∠P2AQ2 =∠OAC，∴ △AP2Q2∽△AOC.
∴ , ∴ ．解得t=； ………………5分
綜上所述，當t的值為或時，以P、Q、A為頂點的三角形與△AOC相似．
（3）答：存在．
過點D作DF⊥x軸，垂足為E，交AC于點F（如圖2）.
∴ S△ADF=DF?AE，S△CDF=DF?OE．
∴ S△ACD= S△ADF + S△CDF=DF×(AE+OE) =×4 (DE+EF)
=2×()=．…………6分
∴ S△ACD=（0<x<4）．
又0<2<4且二次項系數，∴ 當x=2時，S△ACD的面積最大．
而當x=2時，y=．∴ 滿足條件的D點坐標為D (2, )． …………………7分
（2014?大興1月期末?25.）已知：在平面直角坐標系xOy中，二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點A在x軸負半軸上，點B在x軸正半軸上，且，拋物線的頂點為D.
（1）求這個二次函數的解析式；
�。�2）點E(0,n)在y軸正半軸上，且位于點C的下方. 當n在什么范圍內取值時
�。迹慨攏在什么范圍內取值時＞？
（3）若過點B的直線垂直于BD且與直線CD交于點P，求點P的坐標.
25. 解：（1）設
,
.
.
. …………………1分
. …………………………2分
（2）二次函數的圖象的頂點D的坐標為（1，4）
過點D作
………………………………………………………3分
∴OE=1
……………………………………4分
�。�3）為直角三角形
設直線CD的解析式為，
∵C點坐標（0，3），D點坐標（1，4）
∴直線CD的解析式為
∴直線CD與x軸交點K的坐標為（-3，0）
∴OC=OK=3
過點P作軸于F
………………………………………………8分
（2014?懷柔1月期末?25）如圖，在平面直角坐標系中，頂點為（4，1）的拋物線交軸于點，交軸于，兩點（點在點的左側），已知點坐標為（6，0）.
�。�1）求此拋物線的解析式；
（2）聯結 AB，過點作線段的垂線交拋物線于點,如果以點為圓心的圓與拋物線的對稱軸相切，先補全圖形，再判斷直線與⊙的位置關系并加以證明；
（3）已知點是拋物線上的一個動點，且位于，兩點之間.問：當點運動到什么位置時，的面積最大？求出的最大面積.
25. （本小題滿分8分）
（1）解：∵拋物線的頂點為（4,1），
∴設拋物線解析式為.
∵拋物線經過點（6，0），∴.∴.
∴.
所以拋物線的解析式為………………………………3分
(2) 補全圖形、判斷直線BD與⊙相離. ………………………………4分
證明：令=0，則，. ∴點坐標（2，0）.
又∵拋物線交軸于點，∴A點坐標為（0，-3），∴.
設⊙與對稱軸l相切于點F，則⊙的半徑CF=2，
作⊥BD于點E，則∠BEC=∠AOB=90°.
∵，∴.
又∵，∴.
∴∽，∴.
∴，∴.
∴直線BD與⊙相離 ………………………………6分
(3) 解：如圖，過點作平行于軸的直線交于點.
∵A（0，-3），（6，0）.
∴直線解析式為.
設點坐標為（，），
則點的坐標為（，）.
∴PQ=-()=.
∵,
∴當時，的面積最大為.………………………………7分
∵當時，=
∴點坐標為（3，）. ………………………………8分
綜上：點的位置是（3，），的最大面積是
（2014?密云1月期末?24）已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形，以AB為直徑在正方形內作半圓，P是半圓上的動點（不與點A、B重合），連接PA、PB、PC、PD．
(1)如圖①，當PA的長度等于 ▲ 時，∠PAB＝60°；
當PA的長度等于 ▲ 時，△PAD是等腰三角形；
(2)如圖②，以AB邊所在直線為x軸、AD邊所在直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系（點A即為原點O），把△PAD、△PAB、△PBC的面積分別記為S1、S2、S3．坐標為（a，b），試求2 S1 S3－S22的最大值，并求出此時a，b的值．
（2014?房山1月期末?25）如圖，在平面直角坐標系xOy中，AB在x軸上，以AB為直徑的半⊙O’與y軸正半軸交于點C，連接BC，AC．CD是半⊙O’的切線，AD⊥CD于點D．
�。�1）求證：∠CAD =∠CAB；
（2）已知拋物線過A、B、C三點，AB=10 ，tan∠CAD=．
�、� 求拋物線的解析式；
② 判斷拋物線的頂點E是否在直線CD上，并說明理由；
③ 在拋物線上是否存在一點P，使四邊形PBCA是直角梯形．若存在，直接寫出點P的坐標(不寫求解過程)；若不存在，請說明理由．
解：
25. (1)證明：連接O'C,∵ CD是⊙O’的切線 ∴ O'C⊥CD.....................................1分
∵ AD⊥CD,∴ O'C‖AD,∴ ∠O’CA=∠CAD
∵ O’A=O'C, ∴∠O’CA=∠CAB ∴ ∠CAD=∠CAB ............................................2分
(2)∵AB是⊙O’的直徑，∴∠ACB=90°.
∵OC⊥AB,∴∠CAB=∠OCB,∴∆CAO∽∆BCO∴即OC²=OA∙ OB
∵tan∠CAO=tan∠CAD=, ∴AO=2CO
又 ∵AB=10,∴OC²=2CO(10-2CO), ∵CO>0 ∴CO=4,AO=8,BO=2
∴A(-8,0),B(2,0),C(0,4) ..................................................................................................3分
∵ 拋物線y=ax²+bx+c過A、B、C三點，∴c=4
∴ 解得 .............................4分
設直線DC交x軸于點F，易得∆AOC∽∆ADC
∴ AD=AO=8, ∵O'C‖AD ∴∆FO’C∽∆FAD ∴
∴8(BF+5)=5(BF+10), ∴ BF=, F(,0)
設直線DC的解析式為y=kx+,則 即
∴ ..................................................................................5分
由
將E（-3，）代入直線DC的解析式中
右邊=
∴ 拋物線頂點E在直線CD上 ..................................................................................6分
存在, .................................................................................8分
（2014?順義1月期末?25）已知：如圖，在平面直角坐標系中，拋物線過點A（6，0）和點B（3，）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）將拋物線沿x軸翻折得拋物線，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點，使與相似？如果存在，求出點的坐標；如果不存在，說明理由．
25．解：（1）依題意，得 解得
∴拋物線的解析式為．……………………… 2分
（2）將拋物線沿x軸翻折后，仍過點O（0，0），A（6，0），還過點B關于x軸的對稱點．
設拋物線的解析式為，
∴ 解得
∴拋物線的解析式為．………………………5分
（3）過點B作BC⊥x軸于點C，
則有．
∴，．
∵OC=3，OA=6，
∴AC=3.
∴，．
∴OB=AB．
即是頂角為120⩝的等腰三角形．
分兩種情況：
①當點在x軸下方時，
就是，此時點的坐標為．
②當點在x軸上方時，假設，
則有A=OA=6，．
過點作D⊥x軸于點D，則．
∴，． ∴OD=9.
而（9，）滿足關系式，
即點在拋物線上．
根據對稱性可知，點也滿足條件．
綜上所述，點的坐標為，，．
……………………………… 8分
（2014?燕山1月期末?25.）定義：把一個半圓與拋物線的一部分合成封閉圖形，我們把這個封閉圖形稱為“蛋圓”．如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．如圖，A，B，C，D分別是“蛋圓”與坐標軸的交點，已知點D的坐標為（0,8），AB為半圓的直徑，半圓的圓心的坐標為（1,0），半圓半徑為3．
（1）請你直接寫出“蛋圓”拋物線部分的解析式 ，
自變量的取值范圍是 ；
（2）請你求出過點C的“蛋圓”切線與x軸的
交點坐標；
（3）求經過點D的“蛋圓”切線的解析式．
解：（1）“蛋圓”拋物線部分的解析式為， …………………2分
自變量的取值范圍是； …………………3分
（2）如圖，連接，設過點C的“蛋圓”切線與x軸的交點為．
∴． …………………4分
∵，
在中，∵，，
∴，
…………………5分
∵∽，
∴，∴．
∴點的坐標為（-8.，0）． ……………6分
�。�3）設過點，“蛋圓”切線的解析式為．
由題意得，方程組只有一組解，……………7分
即有兩個相等實根， ∴
∴過點“蛋圓”切線的解析式為． ………8分
（2014?平谷1月期末?25）如圖，在平面直角坐標系xOy中，A、B為x軸上兩點，C、D為y軸上兩點，經過A、C、B的拋物線的一部分與經過點A、D、B的拋物線的一部分組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線稱為“蛋線”．已知點C的坐標為（0，），點是拋物線：的頂點．
（1）求A、B兩點的坐標．
（2）“蛋線”在第四象限上是否存在一點P，使得的面積最大？若存在，求出 面積的最大值；若不存在，請說明理由；
（3）當為直角三角形時，直接寫出的值．______
25. 解：（1）在中，
令y=0，則，解得x=3或x= -1．
∴A、B兩點的坐標為：A（-1，0）、B（3，0）．-------------------------------2分
（2）設過A、B、C三點的拋物線解析式為，
把A（-1，0）、B（3，0）、C（0，）代入中，得
解得
∴ ．-------------------3分
設過B（3，0）、C（0，）兩點的解析式為
，
代入，得．-----------------------------------------------------------------------4分
設“蛋線”在第四象限上存在一點P，過P點作PH⊥AB，垂足為H，交BC于點G.
設H點坐標為（x，0），則G（x，），P（x，）．
則PG=-()=.----------------------------------------5分
∵
∴“蛋線”在第四象限上存在使得面積最大的點P，
最大面積是．---------------------------------------------------------6分
�。�3）或-----------------------------------------------------8分
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.douzifanli.com/chusan/167648.html
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