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豐臺(tái)區(qū)2013~2014學(xué)年度第一學(xué)期期末練習(xí)
初三數(shù)學(xué)
一、（本題共36分,每小題4分）下列各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題意的.
1. 已知 ,則下列比例式成立的是( )
A． B. C. D.
2．如圖，在 中， 、 分別是 、 邊上的點(diǎn)，且 ，如果 ,那么 的值為( )
A． B. C. D.
3. 已知⊙ 的半徑為4 c，如果圓心 到直線l的距離為3.5 c，那么直線l與⊙ 的位置關(guān)系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定
4. 一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，其六個(gè)面分別刻有1、2、3、4、5、6六個(gè)數(shù)字，投擲這個(gè)骰子一次，則向上一面的數(shù)字不小于3的概率是( )
A． B． C． D.
5. 在小正方形組成的網(wǎng)格圖中，直角三角形的位置如圖所示，則 的值為（ ） B. C. D.
6. 當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 的圖象在( )
A．第四象限 B. 第三象限 C．第二象限 D．第一象限
7. 如圖，⊙ 的半徑為5， 為弦， ，垂足為 ，如果 ，那么 的長(zhǎng)是（ ）
A．4 B. 6 C. 8 D. 10
8. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 經(jīng)過平移得到拋物線 ，其對(duì)稱軸與兩段拋物線所圍成的陰影部分的面積是( )
A．2 B. 4 C. 8 D. 16
9. 如圖（1）， 為矩形 邊 上一點(diǎn)，點(diǎn) 從點(diǎn) 沿折線 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) 時(shí)停止，點(diǎn) 從點(diǎn) 沿 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) 時(shí)停止，它們運(yùn)動(dòng)的速度都是 .如果點(diǎn) 、 同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 ， 的面積為 ，已知 與 的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖（2）所示，那么下列結(jié)論正確的是（ ）
A.
B. 時(shí)，
C.
D. 當(dāng) 時(shí)， 是等腰三角形
二．題（本題共20分,每小題4分）
10. 兩個(gè)相似三角形的面積比是 ，則它們的周長(zhǎng)比是_______.
11. 在 中， ，如果 ，那么 _______°.
12. 如果扇形的圓心角為120°，半徑為3c，那么扇形的面積是__________________ .
13. 一個(gè)口袋里放有三枚除顏色外都相同的棋子，其中有兩枚是白色的，一枚是紅色的.從中隨機(jī)摸出一枚記下顏色，放回口袋攪勻，再從中隨機(jī)摸出一枚記下顏色，兩次摸出棋子顏色不同的概率是_______.
14. 如圖，點(diǎn)A1、A2 、A3 、…，點(diǎn)B1、B2 、B3 、…，分別在射線O、ON上，A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…．如果A1B1=2，A1A2=2OA1，A2A3=3OA1，A3A 4=4OA1，…．
那么A2B2= ，
AnBn= ．（n為正整數(shù)）

三、解答題（本題共19分，第15題4分，第16題5分，第17題 5分，第18題5分）
15. 計(jì)算： .
16. 已知二次函數(shù) .
（1）寫出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng) 取何值時(shí)， 隨 的增大而增大；
（3）求出圖象與 軸的交點(diǎn)坐標(biāo).
17．如圖，在⊙ 中， ? 為⊙ 上兩點(diǎn)， 是⊙ 的直徑，已知 ， .
求（1）⌒AC 的長(zhǎng)； （2） .

18.如圖，在 中， ， ， 為 上一點(diǎn)， ， ，求 的長(zhǎng).

四、解答題（本題共17分，第19題5分，第20題6分，第21題6分）
19. 如圖， ? 是⊙ 的切線， ? 是切點(diǎn)， 是⊙ 的直徑， .求 的度數(shù).

20. 如圖，一次函數(shù) 的圖象與反比例函數(shù) （ 為常數(shù)，且 ）的圖象都經(jīng)過點(diǎn) .
（1）求點(diǎn) 的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的解析式；
（2）觀察圖象，當(dāng) 時(shí)，直接寫出 與 的大小關(guān)系.
21. 如圖， 是⊙ 的內(nèi)接三角形，⊙ 的直徑 交 于點(diǎn) ， 與點(diǎn) ，延長(zhǎng) 交 于點(diǎn) . 求證： .

五．解答題（本題共28分，第22題6分，第23題7分，第24題7分，第25題8分）
22．如圖，一艘海輪位于燈塔 的南偏東 方向，距離燈塔100海里的 處，它計(jì)劃沿正北方向航行，去往位于燈塔 的北偏東 方向上的 處.
（參考數(shù)據(jù)： ）
（1）問 處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？（結(jié)果精確到0.1海里）
（2）假設(shè)有一圓形暗礁區(qū)域，它的圓心位于射線 上，距離燈塔190海里的點(diǎn)O處.圓形暗礁區(qū)域的半徑為50海里，進(jìn)入這個(gè)區(qū)域，就有觸礁的危險(xiǎn).請(qǐng)判斷海輪到達(dá) 處是否有觸礁的危險(xiǎn)，并說明理由.

23.如圖（1）是某河上一座古拱橋的截面圖，拱橋橋洞上沿是拋物線形狀，拋物線兩端點(diǎn)與水面的距離都是1，拱橋的跨度為10，橋洞與水面的最大距離是5，橋洞兩側(cè)壁上各有一盞距離水面4的景觀燈．現(xiàn)把拱橋的截面圖放在平面直角坐標(biāo)系中，如圖（2）．
求（1）拋物線的解析式；
（2）兩盞景觀燈 、 之間的水平距離.

24. 已知直線y=kx-3與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線 經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)C,動(dòng)點(diǎn)P在x軸上以每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位的速度由拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q由點(diǎn)C沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)且速度是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)速度的2倍.
（1）求此拋物線的解析式和直線的解析式；
（2）如果點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），試問當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似；
（3）在直線CA上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使得△ACD的面積最大.若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

25. 已知 和 關(guān)于直線 對(duì)稱(點(diǎn) 的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn) )，點(diǎn) 、 分別是線段 和線段 上的點(diǎn)，且點(diǎn) 在線段 的垂直平分線上，聯(lián)結(jié) 、 ， 交 于點(diǎn) ．
（1）如圖（1），求證： ；
（2）如圖（2），當(dāng) 時(shí)， 是線段 上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié) 、 、 ， 的延 長(zhǎng)線交 于點(diǎn) ， ， ，試探究線段 和 之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

豐臺(tái)區(qū)2013~2014學(xué)年度第一學(xué)期初三數(shù)學(xué)練習(xí)期末參考答案
一．（本題共36分,每小題4分）
題號(hào)123456789
答案
二．題（本題共20分,每小題4分）
10. 11. 12. 13. 14. （1） 6 ，（2）
三．解答題（本題共19分，第15題4分，第16題5分，第17題 5分，第18題5分）
15.解：原式 ………3分 16.解：（1）（-1，-2） ……………………1分
（2） ， ……………………3分
……………4分 （3）坐標(biāo)為 …5分
17．解（1）
∴⌒AC = ………………………………1分
(或 ) ……………2分
（2）由
得 …………………………………3分
又 ……………………………4分
…………………………5分
18. 解：在 中， ， ，
∴
∴ …………………………………1分
在 中， ，∴ ，……2分
∴ ……………………………………3分
∴ …………………4分
∴ ……………………………5分
四、解答題（本題共17分，第19題5分，第20題6分，第21題6分）
19.解：∵PA、PB是⊙O的切線，A、B是切點(diǎn)，
∴PA=PB，∠PAC=900 …………………2分
∴∠PAB=∠PBA …………………………3分
∠P=1800-2∠PAB
又∵AC是⊙O的直徑
∴∠ABC=900 ，……………………………4分
∴∠BAC=900-∠ACB=200
∠PAB=900-200=700
∴ ……………5分

20.解：(1)∵ 一次函數(shù) 的圖象經(jīng)過點(diǎn) ， ，
∴ ．
解得 ． ………………………………………………………1分
∴ 點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ， ．………………………………………2分
∵ 反比例函數(shù) 的圖象經(jīng)過點(diǎn) ， ，
∴ ．解得 ． …………………………………………3分
∴ 反比例函數(shù)的表達(dá)式為 ．………………………………4分
(2)觀察圖象，得
①當(dāng) 時(shí)， ；………………………5分
②當(dāng) 時(shí)， ；………………………………6分
③當(dāng) 時(shí)， ．
注：若①+③或②+③，只給1分。
21.證明：延長(zhǎng)AF交圓于H…………………………1分
∵BD直徑， 于點(diǎn)F
∴⌒AB =⌒BH ……………………………2分
∴∠1=∠C ………………………………3分
又∠ABG=∠ABC ，
∴△ABG∽△CBA ………………………4分
∴ ………………………………5分
∴ =BG•BC …………………………6分
五．解答題（本題共28分，第22題6分，第23題7分，第24題7分，第25題8分）
22.解：(1)如圖，作 于點(diǎn)C…………………1分
在 中， ，
∴PC=PA•cos30= …………………2分
在 中， ，
≈122.5………………………3分
∴B處距離P有122.5海里.
（2）沒有危險(xiǎn). …………………………………………………4分
理由如下：
OB=OP-PB= ……………………………………5分
= ，…………………6分
即 ，∴無危險(xiǎn)
23． 解：（1）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（5，5），與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1）………1分
設(shè)拋物線的解析式是y=a(x－5)2＋5 ………………………………2分
把（0，1）代入y=a(x－5)2＋5得a=－ ………………………3分
∴y=－ (x－5)2＋5（0≤x≤10）= ………………4分
（2）由已知得兩景觀燈的縱坐標(biāo)都是4
∴4=－ (x－5)2＋5 ……………………………………………………5分
∴ (x－5)2=1 ，解得x1= ，x2= ………………………………6分
∴ 兩景觀燈間的距離為5米． ……………………………………………7分
24．解：（1）∵ 直線y=kx-3過點(diǎn)A（4，0），∴ 0 = 4k -3，解得k= ．
∴ 直線的解析式為 y= x-3．……………………………………1分
由直線y= x-3與y軸交于點(diǎn)C，可知C(0，-3) ．
∴ ，解得 = ．
∴ 拋物線解析式為 ………………………2分
（2）對(duì)于拋物線 ，
令y=0，則 ，解得x1=1，x2=4．
∴ B(1，0). ………………………………………………3分
∴ AB=3，AO=4，OC=3，AC=5，AP=3-t，AQ=5-2t.
①若∠Q1P1A=90°,則P1Q1∥OC（如圖1），
∴ △AP1Q1∽△AOC.
∴ , ∴ ．解得t= ； ………4分
② 若∠P2Q2A=90°, ∵∠P2AQ2 =∠OAC，∴ △AP2Q2∽△AOC.
∴ , ∴ ．解得t= ； ………………5分
綜上所述，當(dāng)t的值為 或 時(shí)，以P、Q、A為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似．
（3）答：存在．
過點(diǎn)D作DF⊥x軸，垂足為E，交AC于點(diǎn)F（如圖2）.
∴ S△ADF= DF•AE，S△CDF= DF•OE．
∴ S△ACD= S△ADF + S△CDF= DF×(AE+OE) = ×4 (DE+EF)
=2×( )= ．…………6分
∴ S△ACD= （0<x<4）．
又0<2<4且二次項(xiàng)系數(shù) ，∴ 當(dāng)x=2時(shí)，S△ACD的面積最大．
而當(dāng)x=2時(shí)，y= ．∴ 滿足條件的D點(diǎn)坐標(biāo)為D (2, )． …………………7分
25. (1)證明：如圖1 連接FE、FC
∵點(diǎn)F在線段EC的垂直平分線上,
∴ FE=FC ∴∠l=∠2 ………………………1分
∵△ABD和△CBD關(guān)于直線BD對(duì)稱．
∴AB=CB ,∠4=∠3，又BF=BF
∴△ABF≌△CBF， ∴∠BAF=∠2，F(xiàn)A=FC
∴FE=FA，∠1=∠BAF． …………………………2分 圖1
∴∠5=∠6，
∵ ∠l+∠BEF=1800，∴∠BAF+∠BEF=1800
∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=3600
∴∠AFE+∠ABE=1800 ………………………………3分
又∵∠AFE+∠5+∠6=1800 ，
∴∠5+∠6=∠3+∠4
∴∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD………………………4分

(2)解：F= FN ……………………………………………5分
證明：如圖2，由(1)可知∠EAF=∠ABD，
又∵∠AFB=∠GFA ∴△AFG∽△BFA
∴∠AGF=∠BAF
又∵∠BF= ∠BAF，∴∠BF= ∠AGF
又∵∠AGF=∠BG+∠BG∴∠BG=∠BG
∴BG=G…………………………6分
∵AB=AD ∴∠ADB=∠ABD=∠EAF
又∵∠FGA=∠AGD．∴△AGF∽△DGA．

∵AF= AD 圖2
設(shè)GF=2a，則AG=3a，
∴GD= a，∴FD=DG-GF= = a
∵∠CBD=∠ABD ，∠ABD=∠ADB，∴∠CBD=∠ADB.
∴ ．∴ ，設(shè)EG=2k，則G=BG=3k
過點(diǎn)F作FQ∥ED交AE于Q，
……………………7分
∴GQ= EG= ．∴QE= ， Q=G+GQ=3k+ =
∵FQ∥ED， .∴F= FN……………8分