考點(diǎn)跟蹤突破21 特殊三角形
一、選擇題(每小題6分，共30分)
1．(2014•黃石)如圖，一個(gè)矩形紙片，剪去部分后得到一個(gè)三角形，則圖中∠1＋∠2的度數(shù)是(C)
A．30° B．60° C．90° D．120°
,第1題圖) ,第2題圖)
2．(2013•攀枝花)如圖，在△ABC中，∠CAB＝75°，在同一平面內(nèi)，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，則∠BAB′＝(A)
A．30° B．35° C．40° D．50°
3．(2014•廣東)一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別是3和7，則它的周長為(A)
A．17 B．15
C．13 D．13或17
4．(2014•濱州)下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是(B)
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5
C．2，3，4 D．1，2，3
5．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AC，BC邊上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A，C重合)，且保持AE＝CF，連接DE，DF，EF.在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中，有下列結(jié)論：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四邊形CEDF不可能為正方形；
③四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化；
④點(diǎn)C到線段EF的最大距離為2.
其中正確的有(B)
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
二、填空題(每小題6分，共30分)
6．(2014•臨夏)等腰△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm，則BC邊上的高是__8__cm.
7．(2014•呼和浩特)等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36°，則該等腰三角形的底角的度數(shù)為__63°或27°__.
8．(2013•黃岡)已知△ABC為等邊三角形，BD為中線，延長BC至點(diǎn)E，使CE＝CD＝1，連接DE，則DE＝__3__.
9．(2014•涼山)已知一個(gè)直角三角形的兩邊的長分別是3和4，則第三邊長為__5或7__.
10．(2013•張家界)如圖，OP＝1，過點(diǎn)P作PP1⊥OP，得OP1＝2；再過點(diǎn)P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝3；又過點(diǎn)P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2……依此法繼續(xù)作下去，得OP2012＝__2013__.
三、解答題(共40分)
11．(10分)(2014•襄陽)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，BD與CE交于點(diǎn)O，給出下列三個(gè)條件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.
(1)上述三個(gè)條件中，由哪兩個(gè)條件可以判定△ABC是等腰三角形？(用序號(hào)寫出所有成立的情形)
(2)請(qǐng)選擇(1)中的一種情形，寫出證明過程．
解：(1)①②；①③
(2)選①③證明如下，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠EBO＝∠DCO，又∵∠ABC＝∠EBO＋∠OBC，∠ACB＝∠DCO＋∠OCB，∴∠ABC＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形
(10分)(2014•溫州)如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，DE∥AB，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC的延長線于點(diǎn)F.
(1)求∠F的度數(shù)；
(2)若CD＝2，求DF的長．
解：(1)∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°－∠EDC＝30°
(2)∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴△EDC是等邊三角形．∴ED＝DC＝2，∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4
(10分)(2012•泰安)如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為點(diǎn)D，E，點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，BE與DF，DC分別交于點(diǎn)G，H，∠ABE＝∠CBE.
(1)線段BH與AC相等嗎，若相等給予證明，若不相等請(qǐng)說明理由；
(2)求證：BG2－GE2＝EA2.
解：(1)∵∠BDC＝∠BEC＝∠CDA＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BCD＝45°＝∠ABC，∠A＋∠DCA＝90°，∠A＋∠ABE＝90°，∴DB＝DC，∠ABE＝∠DCA，在△DBH和△DCA中，∵∠DBH＝∠DCA，BD＝CD，∠BDH＝∠CDA，∴△DBH≌△DCA(ASA)，∴BH＝AC
(2)連接CG，∵F為BC的中點(diǎn)，DB＝DC，∴DF垂直平分BC，∴BG＝CG，∵∠ABE＝∠CBE，BE⊥AC，在Rt△ABE和Rt△CBE中，∠AEB＝∠CEB，BE＝BE，∠CBE＝∠ABE，∴△ABE≌△CBE(ASA)，∴EC＝EA.在Rt△CGE中，由勾股定理得CG2－GE2＝EC2，∴BG2－GE2＝EA2
(10分)(2013•常德)已知兩個(gè)共一個(gè)頂點(diǎn)的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，連接AF，M是AF的中點(diǎn)，連接MB，ME.
(1)如圖，當(dāng)CB與CE在同一直線上時(shí)，求證：MB∥CF；
(2)如圖，若CB＝a，CE＝2a，求BM，ME的長．
解：(1)證法一：如圖①，延長AB交CF于點(diǎn)D，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，∴AB＝BC＝BD，∴點(diǎn)B為線段AD的中點(diǎn)，又∵點(diǎn)M為線段AF的中點(diǎn)，∴BM為△ADF的中位線，∴BM∥CF
證法二：如圖②，延長BM交EF于點(diǎn)D，∵∠ABC＝∠CEF＝90°，∴AB⊥CE，EF⊥CE，∴AB∥EF，∴∠BAM＝∠DFM，∵M(jìn)是AF的中點(diǎn)，∴AM＝FM，∵在△ABM和△FDM中，∠BAM＝∠DFM，AM＝FM，∠AMB＝∠FMD，∴△ABM≌△FDM(ASA)，∴AB＝DF，∵BE＝CE－BC，DE＝EF－DF，∴BE＝DE，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠EBM＝45°，∵在等腰直角△CEF中，∠ECF＝45°，∴∠EBM＝∠ECF，∴MB∥CF
(2)如圖③所示，延長AB交CF于點(diǎn)D，則易知△BCD與△ABC為等腰直角三角形，∴AB＝BC＝BD＝a，AC＝CD＝2a，∴點(diǎn)B為AD中點(diǎn)，又∵點(diǎn)M為AF中點(diǎn)，∴BM＝12DF.分別延長FE與CA交于點(diǎn)G，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，∴CE＝EF＝GE＝2a，CG＝CF＝22a，∴點(diǎn)E為FG中點(diǎn)，又點(diǎn)M為AF中點(diǎn)，∴ME＝12AG.∵CG＝CF＝22a，CA＝CD＝2a，∴AG＝DF＝2a，∴BM＝ME＝12×2a＝22a
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