湖南省益陽市2013年中考數(shù)學試卷
一、（本大題共8小題，每小題4分，共32分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．（4分）（2013?益陽）據(jù)益陽市統(tǒng)計局在網(wǎng)上發(fā)布的數(shù)據(jù)，2014年益陽市地區(qū)生產(chǎn)總值（GDP）突破千億元大關(guān)，達到了1020 億元，將102 000 000 000用科學記數(shù)法表示正確的是（ ）
A．1.02×1011B．10.2×1010C．1.02×1010D．1.2×1011
考點：科學記數(shù)法—表示較大的數(shù)．
分析：科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．
解答：解：將102 000 000 000用科學記數(shù)法表示為：1.02×1011．
故選：A．
點評：此題考查了科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
2．（4分）（2013?益陽）下列運算正確的是（ �。�
A．2a3÷a=6B．（ab2）2=ab4C．（a+b）（a?b）=a2?b2D．（a+b）2=a2+b2
考點：平方差公式；冪的乘方與積的乘方；完全平方公式；整式的除法．
分析：根據(jù)單項式的除法法則，以及冪的乘方，平方差公式以及完全平方公式即可作出判斷．
解答： 解：A、2a3÷a=2a2，故選項錯誤；
B、（ab2）2=a2b4，故選項錯誤；
C、正確；
D、（a+b）2=a2+2ab+b2，故選項錯誤．
故選C．
點評：本題考查了平方差公式和完全平方公式的運用，理解公式結(jié)構(gòu)是關(guān)鍵，需要熟 練掌握并靈活運用．
3．（4分）（2013?益陽）分式方程 的解是（ �。�
A．x=3B．x=?3C．x=D．x=
考點：解分式方程．
專題：．
分析：分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
解答：解：去分母得：5x=3x?6，
解得：x=?3，
經(jīng)檢驗x=?3是分式方程的解．
故選B．
點評：此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．
4．（4分）（2013?益陽）實施新課 改以來，某班學生經(jīng)常采用“小組合作學習”的方式進行學習，學習委員小兵每周對各小組合作學習的情況進行了綜合評分．下表是其中一周的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：
組 別1234567
分 值90959088909285
這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（ �。�
A．88，90B．90，90C．88，95D．90，95
考點：眾數(shù)；中位數(shù)．
分析：根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義，結(jié)合表格和選項選出正確答案即可．
解答：解：把這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：85，88，90，90，90，92，95，
故中位數(shù)為：90，
眾數(shù)為：90．
故選B．
點評：本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的知識，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握眾數(shù)和中位數(shù)的定義．
5．（4分）（2013?益陽）一個物體由多個完全相同的小正方體組成，它的三視圖如圖所示，那么組成這個物體的小正方體的個數(shù)為（ ）
A．2個B．3個C．5個D．10個
考點：由三視圖判斷幾何體．
分析：從主視圖與左視圖可以得出此圖形只有一排，從俯視圖可以驗證這一點，從而確定個數(shù)．
解答： 解：從主視圖與左視圖可以得出此圖形只有一排，只能得出一共有5個小正方體，
從俯視圖可以驗證這一點，從而確定小正方體總個數(shù)為5個．
故選；C．
點評：此題主要考查了由三視圖判定幾何體的形狀，此問題是中考中熱點問題，同學們應熟練掌握．
6．（4分）（2013?益陽）如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯誤的是（ �。�
A．∠1=∠2B．∠BAD=∠BCDC．AB=CDD．AC⊥BD
考點：平行四邊形的性質(zhì)．
分析：根據(jù)平行 四邊形的性質(zhì)，平行四邊形對邊平行以及對邊相等和對角相等分別判斷得出即可．
解答：解：∵在平行四邊形ABCD中，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠2，故此選項正確，不合題意；
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BAD=∠BCD，AB=CD，故B，C選項正確，不合題意；
無法得出AC⊥BD，故此選項錯誤，符合題意．
故選D．
點評：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
7．（4分）（2013?益陽）拋物線y=2（x?3）2+1的頂點坐標是（ ）
A．（3，1）B．（3，?1）C．（?3，1）D．（?3，?1）
考點：二 次函數(shù)的 性質(zhì)．
分析：根據(jù)頂點式解析式寫出頂點坐標即可．
解答：解：拋物線y=2（x?3）2+1的頂點坐標是（3，1）．
故選A．
點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握頂點式解析式是解題的關(guān)鍵．
8．（4分）（2013?益陽）已知一次函數(shù)y=x?2，當函數(shù)值y＞0時，自變量x的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（ �。�
A． B． C． D．
考點：在數(shù)軸上表示不等式的解集；一次函數(shù)的性質(zhì)．
分析：由已知條件知x?2＞0，通過解不等式可以求得x＞2．然后把不等式的解集表示在數(shù)軸上即可．
解答：解：∵一次函數(shù)y=x?2，
∴函數(shù)值y＞0時，x?2＞0，
解得，x＞2，
表示在數(shù)軸上為：
故選B．
點評：本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集．把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個．在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．
二、題（本大題共5小題，每小題4分，共20分．把答案填在答題卡中對應題號后的橫線上）
9．（4分）（2013?益陽）因式分解：xy2?4x= x（y+2）（y?2） ．
考點：提公因式法與公式法的綜合運用．
分析：先提取公因式x，再對余下的多項式利用平方差公式繼續(xù)分解．
解答：解：xy2?4x，
=x（y2?4），
=x（y+2）（y?2）．
點評：本題主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟記公式是解題的關(guān)鍵，難點在于要進行二次因式分解．
10．（4分）（2013?益陽）化簡： = 1�。�
考點 ：分式的加減法．
專題：．
分析：由于兩分式的分母相同，分子不同，故根據(jù)同分母的分式相加減的法則進行計算即可．
解答：解：原式=
=1．
故答案為：1．
點評：本題考查的是分式的加減法，即同分母的分式想加減，分母不變，把分子相加減．
11．（4分）（2013?益陽）有三張大小、形狀及背面完全相同的卡片，卡片正面分別畫有正三角形、正方形、圓，從這三張卡片中任意抽取一 張，卡片正面的圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的概率是 �。�
考點：概率公式；軸對稱圖形；中心對稱圖形．
分析：由正三角形、正方形、圓中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是正方形、圓，利用概率公式即可求得答案．
解答：解：∵正三角形、正方形、圓中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是正方形、圓，
∴既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的概率是：．
故答案為：．
點評：此題考查了概率公式的應用．注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
12．（4分）（2013?益陽）如圖，若AB是⊙O的直徑，AB=10cm，∠CAB=30°，則BC= 5 cm．
考點：圓周角定理；含30度角的直角三角形．
分析：根據(jù)圓周角定理可得出△ABC是直角三角形，再由含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得出BC的長度．
解答：解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵AB=10cm，∠CAB=30°，
∴BC=AB=5cm．
故答案為：5．
點評：本題考查了圓周角定理及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)圓周角定理判斷出∠ACB=90°．
13．（4分）（2013?益陽）下表中的數(shù)字是按一定規(guī)律填寫的，表中a的值應是 21�。�
1235813a…
2358132134…
考點：規(guī)律型：數(shù)字的變化類．
分析：根據(jù)第一行第3個數(shù)是前兩個數(shù)值之和，進而得出答案．
解答：解：根據(jù)題意可得出：a=13+5=21．
故答案為：21．
點評：此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，根據(jù)已知得出數(shù)字的變與不變是解題關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共2小題，每小題6分，共12分）
14．（6分）（2013?益陽）已知：a= ，b=?2， ．求代數(shù)式：a2+b?4c的值．
考點：代數(shù)式求值．
專題：計算題．
分析：將a，b及c的值代入計算即可求出值．
解答：解：當a= ，b=?2=2，c=時，
a2+b?4c=3+2?2=3．
點評：此題考查了代數(shù)式求值，涉及的知識有：二次根式的化簡，絕對值，以及有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
15．（6分）（2013?益陽）如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求證：△ABD∽△CBE．
考點：相似三角形的判定．
專題：證明題．
分析：根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根據(jù)兩組角對應相等的兩個三角形相似證明．
解答：證明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE．
點評：本題考查了相似三角形的判定，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，比較簡單，確定出兩組對應相等的角是解題的關(guān)鍵．
四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）
16．（8分）（2013?益陽）我市某蔬菜生產(chǎn)基地在氣溫較低時，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種在自然光照且溫度為18℃的條件下生長最快的新品種．圖是某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉及關(guān)閉后，大棚內(nèi)溫度y（℃）隨時間x（小時）變化的函數(shù)圖象，其中BC段是雙曲線 的一部分．請根據(jù)圖中信息解答下列問題：
（1）恒溫系統(tǒng)在這天保持大棚內(nèi)溫度18℃的時間有多少小時？
（2）求k的值；
（3）當x=16時，大棚內(nèi)的溫度約為多少度？
考點：反比例函數(shù)的應用；一次函數(shù)的應用．
分析：（1）根據(jù)圖象直接得出大棚溫度18℃的時間為12?2=10（小時）；
（2）利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式即可；
（3）將x=16代入函數(shù)解析式求出y的值即可．
解答：解：（1）恒溫系統(tǒng)在這天保持大棚溫度18℃的時間為10小時．
（2）∵點B（12，18）在雙曲線y=上，
∴18= ，
∴解得：k=216．
（3）當x=16時，y= =13.5，
所以當x=16時，大棚內(nèi)的溫度約為13.5℃．
點評：此題主要考查了反比例函數(shù)的應用，求出反比例函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．
17．（8分）（2013?益陽）某校八年級數(shù)學課外興趣小組的同學積極參加義工活動，小慶對全體小組成員參加活動次數(shù)的情況進行統(tǒng)計分析，繪制了如下不完整的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖（圖）．
次數(shù)10865
人數(shù)3a21
（1）表中a= 4 ；
（2）請將條形統(tǒng)計圖補充完整；
（3）從小組成員中任選一人向?qū)W校匯報義工活動情況，參加了10次活動的成員被選中的概率有多少？
考點：條形統(tǒng)計圖；統(tǒng)計表；概率公式．
分析：（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖可知a=4；
（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知6次的人數(shù)是2，然后補全統(tǒng)計圖即可；
（3）根據(jù)概率公式解得即可．
解答：解：（1）由條形統(tǒng)計圖可知次數(shù)為8的有4人，
所以，a=4；
（2）由表可知，6次的有2人，
補全統(tǒng)計圖如圖；
（3）∵小組成員共10人，參加了10次活動的成員有3人，
∴P= ，
答：從小組成員中任選一人向?qū)W校匯報義工活動情況，參加了10次活動的成員被選中的概率是 ．
點評：本題考查的是條形統(tǒng)計圖的綜合運用．讀懂統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)．
18．（8分）（2013?益陽）如圖，益陽市梓山湖中有一孤立小島，湖邊有一條筆直的觀光小道AB，現(xiàn)決定從小島架一座與觀光小道垂直的小橋PD，小張在小道上測得如下數(shù)據(jù)：AB=80.0米，∠PAB=38.5°，∠PBA=26.5．請幫助小張求出小橋PD的長并確定小橋在小道上的位置．（以A，B為參照點，結(jié)果精確到0.1米）
（參考數(shù)據(jù)：sin38.5°=0.62，cos38.5°=0.78，tan38.5°=0.80，sin26.5°=0.45，cos26.5°=0.89，tan26.5°=0.50）
考點：解直角三角形的應用．
專題：．
分析：設PD=x米，在Rt△PAD中表示出AD，在Rt△PDB中表示出BD，再由AB=80.0米，可得出方程，解出即可得出PD的長度，繼而也可確定小橋在小道上的位置．
解答：解：設PD=x米，
∵PD⊥AB，
∴∠ADP=∠BDP=90°，
在Rt△PAD中，tan∠PAD= ，
∴AD= ≈ =x，
在Rt△PBD中，tan∠PBD= ，
∴DB= ≈ =2x，
又∵AB=80.0米，
∴x+2x=80.0，
解得：x≈24.6，即PD≈24.6米，
∴DB=2x=49.2．
答：小橋PD的長度約為24.6米，位于AB之間距B點約49.2米．
點評：本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)表示出相關(guān)線段的長度，難度一般．
五、解答題（本大題共2小題，共22分）
19．（10分）（2013?益陽）“二廣”高速在益陽境內(nèi)的建設正在緊張地進行，現(xiàn)有大量的沙石需要運輸．“益安”車隊有載重量為8噸、10噸的卡車共12輛，全部車輛運輸一次能運輸110噸沙石．
（1）求“益安”車隊載重量為8噸、10噸的卡車各有多少輛？
（2）隨著工程的進展，“益安”車隊需要一次運輸沙石165噸以上，為了完成任務，準備新增購這兩種卡車共6輛，車隊有多少種購買方案，請你一一寫出．
考點：一元一次不等式的應用；二元一次方程組的應用．
分析：（1）根據(jù)“‘益安’車隊有載重量為8噸、10噸的卡車共12輛，全部車輛運輸一次能運輸110噸沙石”分別得出等式組成方程組，求出即可；
（2）利用“‘益安’車隊需要一次運輸沙石165噸以上”得出不等式求出購買方案即可．
解答：解：（1）設“益安”車隊載重量為8噸、10噸的卡車分別有x輛、y輛，
根據(jù)題意得： ，
解之得： ．
∴“益安”車隊載重量為8噸的卡車有5輛，10噸的卡車有7輛；
（2）設載重量為8噸的卡車增加了z輛，
依題意得：8（5+z）+10（7+6?z）＞165，
解之得：z＜
∵z≥0且為整數(shù)，
∴z=0，1，2；
∴6?z=6，5，4．
∴車隊共有3種購車方案：
①載重量為8噸的卡車不購買，10噸的卡車購買6輛；
②載重量為8噸的卡車購買1輛，10噸的卡車購買5輛；
③載重量為8噸的卡車購買2輛，10噸的卡車購買4輛．
點評：此題主要考查了二元一次方程組的應用以及不等式的應用，根據(jù)已知得出正確的不等式關(guān)系是解題關(guān)鍵．
20．（12分）（2013?益陽）如圖1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分線BE交AC于E．
（1）求證：AE=BC；
（2）如圖（2），過點E作EF∥BC交AB于F，將△AEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，連結(jié)CE′，BF′，求證：CE′=BF′；
（3）在（2）的旋轉(zhuǎn)過程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相應的旋轉(zhuǎn)角α；若不存在，請說明理由．
考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等腰梯形的判定．
分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出對應角之間的關(guān)系進而得出答案；
（2 ）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，根據(jù)全等三角形證明方法得出即可；
（3）分別根據(jù)①當點E的像E′與點M重合時，則四邊形ABCM為等腰梯形，②當點E的像E′與點N重合時，求出α即可．
解答：（1）證明：∵AB=BC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ C=72°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=36°，
∴∠BEC=180°?∠C?∠CBE=72°，
∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠C，
∴AE=BE，BE=BC，
∴AE=BC．
（2）證明：∵AC=AB且EF∥BC，
∴AE=AF；
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，
∵在△CAE′和△BAF′中
，
∴△CAE′≌△BAF′，
∴CE′=BF′．
（3）存在CE′∥AB，
理由：由（1）可知AE=BC，所以，在△AE F繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)過程中，E點經(jīng)過的路徑（圓弧）與過點C且與AB平行的直線l交于M、N兩點，
如圖：①當點E的像E′與點M重合時，則四邊形ABCM為等腰梯形，
∴∠BAM=∠ABC=72°，又∠BAC=36°，
∴α=∠CAM=36°．
②當點E的像E′與點N重合時，
由AB∥l得，∠AMN=∠BAM=72°，
∵AM=AN，
∴∠ANM=∠AMN=72°，
∴∠MAN=180°?2×72°=36°，
∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°．
所以，當旋轉(zhuǎn)角為36°或72°時，CE′∥AB．
點評：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)和等腰梯形的性質(zhì)等知識，根據(jù)數(shù)形結(jié)合熟練掌握相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．
六、解答題（本題滿分10分）
21．（10分）（2013?益陽）材料：如圖1，在平面直角坐標系中，A、B兩點的坐標分別為A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點P的坐標為（xp，yp）．由xp?x1=x2?xp，得xp= ，同理 ，所以AB的中點坐標為 ．由勾股定理得AB2= ，所以A、B兩點間的距離公式為 ．
注：上述公式對A、B在平面直角坐標系中其它位置也成立．
解答下列問題：
如圖2，直線l：y=2x+2與拋物線y=2x2交于A、B兩點，P為AB的中點，過P作x軸的垂線交拋物線于點C．
（1）求A、B兩點的坐標及C點的坐標；
（2）連結(jié)AB、AC，求證△ABC為直角三角形；
（3）將直線l平移到C點時得到直線l′，求兩直線l與l′的距離．
考點：二次函數(shù)綜合題．
分析：（1）根據(jù)y=2x+2與拋物線y=2x2交于A、B兩點，直接聯(lián)立求出交點坐標，進而得出C點坐標即可；
（2）利用兩點間距離公式得出AB的長，進而得出PC=PA=PB，求出∠PAC+∠PCB=90°，即∠ACB=90°即可得出答案；
（3）點C作CG⊥AB于G，過點A作AH⊥PC于H，利用A，C點坐標得出H點坐標，進而得出CG=AH，求出即可．
解答：（1）解：由 ，
解得： ， ．
則A，B兩點的坐標分別為：A（ ，3? ），B（ ，3+ ），
∵P是A，B的中點，由中點坐標公式得P點坐標為（，3），
又∵PC⊥x軸交拋物線于C點，將x=代入y=2x2中得y=，
∴C點坐標為（，）．
（2）證明：由兩點間距離公式得：
AB= =5，PC=3?=，
∴PC=PA=PB，
∴∠PAC=∠PCA，∠PBC=∠PCB，
∴∠PAC+∠PCB=90°，即∠ACB=90°，
∴△ABC為直角三角形．
（3）解：過點C作CG⊥AB于G，過點A作AH⊥PC于H，
則H點的坐標為（，3? ），
∴S△PAC=AP?CG=PC?AH，
∴CG=AH= ?= ．
又直線l與l′之間的距離等于點C到l的距離CG，
∴直線l與l′之間的距離為 ．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及兩點之間距離公式和兩函數(shù)交點坐標求法等知識，根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出H點坐標是解題關(guān)鍵．
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