湖南省株洲市2013年中考數(shù)學試卷
一、（每小題有且只有一個正確答案，本題共8小題，每小題3分，共24分）
1．（2013•株洲）一元一次方程2x=4的解是（ �。�
A．x=1B．x=2C．x=3D．x=4
考點：解一元一次方程．
分析：方程兩邊都除以2即可得解．
解答：解：方程兩邊都除以2，系數(shù)化為1得，x=2．
故選B．
點評：本題考查了解一元一次方程，是基礎題．
2．（2013•株洲）下列計算正確的是（ ）
A．x+x=2x2B．x3•x2=x5C．（x2）3=x5D．（2x）2=2x2
考點：冪的乘方與積的乘方；合并同類項；同底數(shù)冪的．
分析：根據(jù)合并同類項的法則，同底數(shù)冪的與除法以及冪的乘方的知識求解即可求得答案．
解答：解：A、x+x=2x≠2x2，故本選項錯誤；
B、x3•x2=x5，故本選項正確；
C、（x2）3=x6≠x5，故本選項錯誤；
D、（2x）2=4x2≠2x2，故本選項錯誤．
故選：B．
點評：此題考查了合并同類項的法則，同底數(shù)冪的乘法與除法以及冪的乘方等知識，解題要注意細心．
3．（2013•株洲）孔明同學參加暑假軍事訓練的射擊成績如下表：
射擊次序第一次第二次第三次第四次第五次
成績（環(huán)）98796
則孔明射擊成績的中位數(shù)是（ �。�
A．6B．7C．8D．9
考點： 中位數(shù)．
分析：將數(shù)據(jù)從小到大排列，根據(jù)中位數(shù)的定義即可得出答案．
解答：解：將數(shù)據(jù)從小到大排列為：6，7，8，9，9，
中位數(shù)為8．
故選C．
點評：本題考查了中位數(shù)的定義，中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個數(shù)（最中間兩個數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果中位數(shù)的概念掌握得不好，不把數(shù)據(jù)按要求重新排列，就會出錯．
4．（2013•株洲）下列幾何體中，有一個幾何體的俯視圖的形狀與其它三個不一樣，這個幾何體是（ �。�
A．
正方體B．
圓柱C．
圓錐D．
球
考點：簡單幾何體的三視圖
分析：俯視圖是分別從物體上面看所得到的圖形．分別寫出四個幾何體的俯視圖即可得到答案．
解答：解：正方體的俯視圖是正方形；圓柱體的俯視圖是圓；圓錐體的俯視圖是圓；球的俯視圖是圓．
故選：A．
點評：本題主要考查了幾何體的三種視圖，掌握定義是關鍵．注意所有的看到的棱都應表現(xiàn)在三視圖中．
5．（2013•株洲）如圖是株洲市的行政區(qū)域平面地圖，下列關于方位的說法 明顯錯誤的是（ ）
A．炎陵位于株洲市區(qū)南偏東約35°的方向上
B．醴陵位于攸縣的北偏東約16°的方向上
C．株洲縣位于茶陵的南偏東約40°的方向上
D．株洲市區(qū)位于攸縣的北偏西約21°的方向上
考點：坐標確定位置．
分析：根據(jù)坐標確定位置以及方向角對各選項分析判斷后利用排除法求解．
解答：解：A、炎陵位于株洲市區(qū)南偏東約35°的方向上正確，故本選項錯誤；
B、醴陵位于攸縣的北偏東約16°的方向上正確，故本選項錯誤；
C、應為株洲縣位于茶陵的北偏西約40°的方向上，故本選項正確；
D、株洲市區(qū)位于攸縣的北偏西約21°的方向上正確，故本選項錯誤．
故選C．
點評：本題考查了利用坐標確定位置，方向角的定義，是基礎題，熟記方向角的概念并準確識圖是解題的關鍵．
6．（2013•株洲）下列四種圖形都是軸對稱圖形，其中對稱軸條數(shù)最多的圖形是（ ）
A．等邊三角形B．矩形C．菱形D．正方形
考點：軸對稱圖形．
分析：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，分別判斷出各圖形的對稱軸條數(shù)，繼而可得出答案．
解答：解：A、等邊三角形有3條對稱軸；
B、矩形有2條對稱軸；
C、菱形有2條對稱軸；
D、正方形有4條對稱軸；
故選D．
點評：本題考查了軸對稱圖形的知識，注意掌握軸對稱及對稱軸的定義．
7．（2013•株洲）已知點A（1，y1）、B（2，y2）、C（?3，y3）都在反比例函數(shù) 的圖象上，則y1、y2、y3的大小關系是（ �。�
A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y3＜y2＜y1
考點：反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征．
專題：探究型．
分析：分別把各點代入反比例函數(shù)y= 求出y1、y2、，y3的值，再比較出其大小即可．
解答：解：∵點A（1，y1）、B（2，y2）、C（?3，y3）都在反比例函數(shù) 的圖象上，
∴y1= =6；y2= =3；y3= =?2，
∵6＞3＞?2，
∴y1＞y2＞y3．
故選D．
點評：本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，熟知反比例函數(shù)圖象上各點的坐標一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關鍵．
8．（2013•株洲）二次函數(shù)y=2x2+x+8的圖象如圖所示，則的值是（ �。�
A．?8B．8C．±8D．6
考點：拋物線與x軸的交點．
分析：根據(jù)拋物線與x軸只有一個交點，△=0，列式求出的值，再根據(jù)對稱軸在y軸的左邊求出的取值范圍，從而得解．
解答：解：由圖可知，拋物線與x軸只有一個交點，
所以，△=2?4×2×8=0，
解得=±8，
∵對稱軸為直線x=? ＜0，
∴＞0，
∴的值為8．
故選B．
點評：本題考查了二次函數(shù)圖象與x軸的交點問題，本題易錯點在于要根據(jù)對稱軸確定出是正數(shù)．
二、題（本題共2小題，每小題0分，共24分）
9．（2013•株洲）在平面直角坐標系中，點（1，2）位于第 一 象限．
考點：點的 坐標．
分析：根據(jù)各象限的點的坐標特征解答．
解答：解：點（1，2）位于第一象限．
故答案為：一．
點評：本題考查了各象限內點的坐標的符號特征，記住各象限內點的坐標的符號是解決的關鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限（+，+）；第二象限（?，+）；第三象限（?，?）；第四象限（+，?）．
10．（2013•株洲）某招聘考試分筆試和面試兩種，其中筆試按60%、面試按40%計算加權平均數(shù)，作為總成績．孔明筆試成績90分，面試成績85分，那么孔明的總成績是 88 分．
考點：加權平均數(shù)．
分析：根據(jù)筆試和面試所占的百分比以及筆試成績和面試成績，列出算式，進行計算即可．
解答：解：∵筆試按60%、面試按40%，
∴總成績是（90×60%+85×40%）=88分，
故答案為：88．
點評：此題考查了加權平均數(shù)，關鍵是根據(jù)加權平均數(shù)的計算公式列出算式，用到的知識點是加權平均數(shù)．
11．（2013•株洲）計算： = 2 ．
考點：分式的加減法．
分析：分母不變，直接把分子相加即可．
解答：解：原式= =
=2．
故答案為：2．
點評：本題考查的是分式的加減法，即同分母的分式想加減，分母不變，把分子相加減．
12．（2013•株洲）如圖，直線l1∥l2∥l3，點A、B、C分別在直線l1、l2、l3上．若∠1=70°，∠2=50°，則∠ABC= 120 度．
考點：平行線的性質．
分析：根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出∠3，再根據(jù)兩直線平行，內錯角相等求出∠4，然后相加即可得解．
解答：解：如圖，∵l1∥l2∥l3，∠1=70°，2=50°，
∴∠3=∠1=70°，∠4=∠2=50°，
∴∠ABC=∠3+ ∠4=70°+50°=120°．
故答案為：120．
點評：本題考查了兩直線平行，同位角相等，兩直線平行，內錯角相等的性質，熟記性質是解題的關鍵．
13．（2013•株洲）如圖AB是⊙O的直徑，∠BAC=42°，點D是弦AC的中點，則∠DOC的度數(shù)是 48 度．
考點：垂徑定理．
分析：根據(jù)點D是弦AC的中點，得到OD⊥AC，然后根據(jù)∠DOC=∠DOA即可求得答案．
解答：解：∵AB是⊙O的直徑，
∴OA=OC
∵∠A=42°
∴∠ACO=∠A=42°
∵D為AC的中點，
∴OD⊥AC，
∴∠DOC=90°?∠DCO=90°?42°=48°．
故答案為：48．
點評：本題考查了垂徑定理的知識，解題的關鍵是根的弦的中點得到弦的垂線．
14．（2013•株洲）一元一次不等式組 的解集是 ＜x≤1 ．
考點：解一元一次不等式組．
分析：求出每個不等式的解集，根據(jù)找不等式組解集的規(guī)律找出即可．
解答：解：
∵解不等式①得：x＞ ，
解不等式②得：x≤1，
∴不等式組的解集為： ＜x≤1，
故答案為： ＜x≤1
點評：本題考查了解一元一次不等式（組）的應用，關鍵是能根據(jù)不等式的解集找出不等式組的解集．
15．（2013•株洲）多項式x2+x+5因式分解得（x+5）（x+n），則= 6 ，n= 1�。�
考點：因式分解的意義．
專題：．
分析：將（x+5）（x+n）展開，得到，使得x2+（n+5）x+5n與x2+x+5的系數(shù)對應相等即可．
解答：解：∵（x+5）（x+n）=x2+（n+5）x+5n，
∴x2+x+5=x2+（n+5）x+5n
∴ ，
∴ ，
故答案為6，1．
點評：本題考查了因式分解的意義，使得系數(shù)對應相等即可．
16．（2013•株洲）已知a、b可以取?2、?1、1、2中任意一個值（a≠b），則直線y=ax+b的圖象不經過第四象限的概率是 ．
考點：列表法與樹狀圖法；一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系．3
分析：列表得出所有等可能的結果數(shù)，找出a與b都為正數(shù)，即為直線y =ax+b不經過第四象限的情況數(shù)，即可求出所求的概率．
解答：解：列表如下：
?2?112
?2（?1，?2）（1，?2）（2，?2）
?1（?2，?1）（1，?1）（2，?1）
1（?2，1）（?1，1）（2，1）
2（?2，2）（?1，2）（1，2）
所有等可能的情況數(shù)有12種，其中直線y=ax+b不經過第四象限情況數(shù)有2種，
則P= = ．
故答案為：
點評：此題考查了列表法與樹狀圖法，以及一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
三、解答題（本大題共8小題，共52分）
17．（4分）（2013•株洲）計算： ．
考點：實數(shù)的運算；特殊角的三角函數(shù)值．
專題：．
分析：分別根據(jù)算術平方根、絕對值的性質及特殊角的三角函數(shù)值計算出各數(shù)， 再根據(jù)實數(shù)混合運算的法則進行計算即可．
解答：解：原式=2+3?2×
=5?1
=4．
點評：本題考查的是實數(shù)的運算，熟知算術平方根、絕對值的性質及特殊角的三角函數(shù)值是解答此題的關鍵．
18．（4分）（2013•株洲）先化簡，再求值：（x?1）（x+1）?x（x?3），其中x=3．
考點：整式的混合運算—化簡求值．
專題：計算題．
分析：原式第一項利用平方差公式化簡，第二項利用單項式乘多項式法則計算，去括號合并得到最簡結果，將x的值代入計算即可求出值．
解答：解：原式=x2?1?x2+3x=3x?1，
當x=3時，原式= 9?1=8．
點評：此題考查了整式的混合運算?化簡求值，涉及的知識有：平方差公式，去括號法則，以及合并同類項法則，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵．
19．（6分）（2013•株洲）某生物小組觀察一植物生長，得到植物高度y（單位：厘米）與觀察時間x（單位：天）的關系，并畫出如圖所示的圖象（AC是線段，直線CD平行x軸）．
（1）該植物從觀察時起，多少天以后停止長高？
（2）求直線AC的解析式，并求該植物最高長多少厘米？
考點：一次函數(shù)的應用．
分析：（1）根據(jù)平行線間的距離相等可知50天后植物的高度不變，也就是停止長高；
（2）設直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），然后利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，再把x=50代入進行計算即可得解．
解答：解：（1）∵CD∥x軸，
∴從第50天開始植物的高度不變，
答：該植物從觀察時起，50天以后停止長高；
（2）設直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵經過點A（0，6），B（30，12），
∴ ，
解得 ．
所以，直線AC的解析式為y= x+6（0≤x≤50），
當x=50時，y= ×50+6=16c．
答：直線AC的解析式為y= x+6（0≤x≤50），該植物最高長16c．
點評：本題考查了一次函數(shù)的應用，主要利用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，已知自變量求函數(shù)值，仔細觀察圖象，準確獲取信息是解題的關鍵．
20．（6分）（2013•株洲）已知AB是⊙O的直徑，直線BC與⊙O相切于點B， ∠ABC的平分線BD交⊙O于點D，AD的延長線交BC于點C．
（1）求∠BAC的度數(shù)；
（2）求證：AD=CD．
考點：切線的性質；等腰直角三角形；圓周角定理．
分析：（1）由AB是⊙O的直徑，易證得∠ADB=90°，又由∠ABC的平分線BD交⊙O于點D，易證得△ABD≌△CBD，即可得△ABC是等腰直角三角形，即可求得∠BAC的度數(shù)；
（2）由AB=CB，BD⊥AC，利用三線合一的知識，即可證得AD=CD．
解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=90°，BD⊥AC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（ASA），
∴AB=CB，
∵直線BC與⊙O相切于點B，
∴∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠C=45°；
（2）證明：∵AB=CB，BD⊥AC，
∴AD=CD．
點評：此題考查了切線的性質、全等三角形的判定與性質以及等腰三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．
21．（6分）（2013•株洲）某學校開展課外體育活動，決定開設A：籃球、B：乒乓球、C：踢毽子、D：跑步四種活動項目．為了解學生最喜歡哪一種活動項目（每人只選取一種），隨機抽取了部分學生進行調查，并將調查結果繪成如甲、乙所示的統(tǒng)計圖，請你結合圖中信息解答下列問題．
（1）樣本中最喜歡A項目的人數(shù)所占的百分比為 40% ，其所在扇形統(tǒng)計圖中對應的圓心角度數(shù)是 144 度；
（2）請把條形統(tǒng)計圖補充完整；
（3）若該校有學生1000人，請根據(jù)樣本估計全校最喜歡踢毽子的學生人數(shù)約是多少？
考點：條形統(tǒng)計圖；用樣本估計總體；扇形統(tǒng)計圖．
分析：（1）利用100%減去D、C、B三部分所占百分比即可得到最喜歡A項目的人數(shù)所占的百分比；所在扇形統(tǒng)計圖中對應的圓心角度數(shù)用360°×40%即可；
（2）根據(jù)頻數(shù)=總數(shù)×百分比可算出總人數(shù)，再利用總人數(shù)減去D、C、B三部分的人數(shù)即可得到A部分的人數(shù)，再補全圖形即可；
（3）利用樣本估計總每個體的方法用1000×樣本中喜歡踢毽子的人數(shù)所占百分比即可．
解答：解：（1）100%?20%?10%?30%=40%，
360°×40%=144°；
（2）抽查的學生總人數(shù)：15÷30%=50，
50?15?5?10=20（人）．如圖所示：
（3）1000×10%=100（人）．
答：全校最喜歡踢毽子的學生人數(shù)約是100人．
點評：此題主要考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng) 計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大�。�
22．（8分）（2013•株洲）已知四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，對角線AC與BD交于點O，過點O的直線EF交AD于點E，交BC于點F．
（1）求證：△AOE≌△COF；
（2）若∠EOD=30°，求CE的長．
考點：菱形的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質；含30度角的直角三角形；勾股定理．
分析：（1）根據(jù)菱形的對角線互相平分可得AO=CO，對邊平行可得AD∥BC，再利用兩直線平行，內錯角相等可得∠OAE=∠OCF，然后利用“角邊角”證明△AOE和△COF全等；
（2）根據(jù)菱形的對角線平分一組對角求出∠DAO=30°，然后求出∠AEF=90°，然后求出AO的長，再求出EF的長，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列式計算即可得解．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中， ，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）解：∵∠BAD=60°，
∴∠DAO= ∠BAD= ×60°=30°，
∵∠EOD=30°，
∴∠AOE=90°?30°=60°，
∴∠AEF=180°?∠BOD?∠AOE=180°?30°?60°=90°，
∵菱形的邊長為2，∠DAO=30°，
∴OD= AD= ×2=1，
∴AO= = = ，
∴AE=CF= × = ，
∵菱形的邊長為2，∠BAD=60°，
∴高EF=2× = ，
在Rt△CEF中，CE= = = ．
點評：本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，勾股定理的應用，（2）求出△CEF是直角三角形是解題的關鍵，也是難點．
23．（8分）（2013•株洲）已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．點Q是線段AC上的一個動點，過點Q作AC的垂線交線段AB（如圖1）或線段AB的延長線（如圖2）于點P．
（1）當點P在線段AB上時，求證：△APQ∽△ABC；
（2）當△PQB 為等腰三角形時，求AP的長．
考點：相似三角形的判定與性質；等腰三角形的性質；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理．
分析：（1）由兩對角相等（∠APQ=∠C，∠ A=∠A），證明△APQ∽△ABC；
（2）當△PQB為等腰三角形時，有兩種情況，需要分類討論．
（I）當點P在線段AB上時，如題圖1所示．由三角形相似（△APQ∽△ABC）關系計算AP的長；
（II）當點P在線段AB的延長線上時，如題圖2所示．利用角之間的關系，證明點B為線段AP的中點，從而可以求出AP．
解答：（1）證明：∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，
∴∠APQ=∠C．
在△APQ與△ABC中，
∵∠APQ=∠C，∠A=∠A，
∴△APQ∽△ABC．
（2）解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5．
∵∠BPQ為鈍角，
∴當△PQB為等腰三角形時，只可能是PB=PQ．
（I）當點P在線段AB上時，如題圖1所示．
由（1）可知，△APQ∽△ABC，
∴ ，即 ，解得：PB= ，
∴AP=AB?PB=3? = ；
（II）當點P在線段AB的延長線上時，如題圖2所示．
∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P，
∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，
∴∠AQB=∠A，
∴BQ=AB，
∴AB=BP，點B為線段AB中點，
∴AP=2AB=2×3=6．
綜上所述，當△PQB為等腰三角形時，AP的長為 或6．
點評：本題考查相似三角形及分類討論的數(shù)學思想，難度不大．第（2）問中，當△PQB為等腰三角形時，有兩種情況，需要分類討論，避免漏解．
24．（10分）（2013•株洲）已知拋物線C1的頂點為P（1，0），且過點（0， ）．將拋物線C1向下平移h個單位（h＞0）得到拋物線C2．一條平行于x軸的直線與兩條拋物線交于A、B、C、D四點（如圖），且點A、C關于y軸對稱，直線AB與x軸的距離是2（＞0）．
（1）求拋物線C1的解析式的一般形式；
（2）當=2時，求h的值；
（3）若拋物線C1的對稱軸與直線AB交于點E，與拋物線C2交于點F．求證：tan∠EDF?tan∠ECP= ．
考點：二次函數(shù)綜合題．
專題：代數(shù)幾何綜合題．
分析：（1）設拋物線C1的頂點式形式y(tǒng)=a（x?1）2，（a≠0），然后把點（0， ）代入求出a的值，再化為一般形式即可；
（2）先根據(jù)的值求出直線AB與x軸的距離，從而得到點B、C的縱坐標，然后利用拋物線解 析式求出點C的橫坐標，再根據(jù)關于y軸對稱的點的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相同求出點A的坐標，然后根據(jù)平移的性質設出拋物線C2的解析式，再把點A的坐標代入求出h的值即可；
（3）先把直線AB與x軸的距離是2代入拋物線C1的解析式求出C的坐標，從而求出CE，再表示出點A的坐標，根據(jù)拋物線的對稱性表示出ED，根據(jù)平移的性質設出拋物線C2的解析式，把點A的坐標代入求出h的值，然后表示出EF，最后根據(jù)銳角的正切值等于對邊比鄰邊列式整理即可得證．
解答：（1）解：設拋物線C1的頂點式形式y(tǒng)=a（x?1）2，（a≠0），
∵拋物線過點（0， ），
∴a（0?1）2= ，
解得a= ，
∴拋物線C1的解析式為y= （x?1）2，
一般形式為y= x2? x+ ；
（2）解：當=2時，2=4，
∵BC∥x軸，
∴點B、C的縱坐標為4，
∴ （x?1）2=4，
解得x1=5，x2=?3，
∴點B（?3，4），C（5，4），
∵點A、C關于y軸對稱，
∴點A的坐標為（?5，4），
設拋物線C2的解析式為y= （x?1）2?h，
則 （?5?1）2?h=4，
解得h=5；
（3）證明：∵直線AB與x軸的距離是2，
∴點B、C的縱坐標為2，
∴ （x?1）2=2，
解得x1=1+2，x2=1?2，
∴點C的坐標為（1+2，2），
又∵拋物線C1的對稱軸為直線x=1，
∴CE=1+2?1=2，
∵點A、C關于y軸對稱，
∴點A的坐標為（?1?2，2），
∴AE =ED=1?（?1?2）=2+2，
設拋物線C2的解析式為y= （x?1）2?h，
則 （?1?2?1）2?h=2，
解得h=2+1，
∴EF=h+2=2+2+1，
∴t an∠EDF?tan∠ECP= ? = ? = ? = ，
∴tan∠EDF? tan∠ECP= ．
點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象與結合變換，關于y軸對稱的點的坐標特征，拋物線上點的坐標特征，銳角的正切的定義，（3）用表示出相應的線段是解題的關鍵，也是本題的難點．
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