萬州二中高2015級高二(上)中期考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題（時(shí)間：120分鐘 滿分：150分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請將答案填涂在答題卷相應(yīng)位置。）1 ．三個(gè)互不重合的平面能把空間分成部分，則所有可能值為（ ）A．4、6、8 B．4、6、7、8 C．4、6、7 D．4、5、7、8 D.-3．一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底長均為1的等腰梯形，則這個(gè)平面圖形的面積是（）A.＋ B．1＋ C．1＋ D．2＋．某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個(gè)面的面積中最大的是（ ） A．8 B． 10 C．6 D．8是兩條直線，是兩個(gè)平面，下列能推出的是 ( )A． B． C． D．7.已知半徑為1的動(dòng)圓與圓(x－5)2+(y+7)2=16相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是( )A．(x－5)2+(y+7)2=25 B．(x－5)2+(y+7)2=17或(x－5)2+(y+7)2=15C．(x－5)2+(y+7)2=9 D．(x－5)2+(y+7)2=25或(x－5)2+(y+7)2=98．一個(gè)正方體的展開圖如右圖所示，A、B、C、D為原正方體的頂點(diǎn)，則在原來的正方體中（ ）A. B. C. AB與CD所成的角為 D. AB與CD相交9.一束光線從點(diǎn)A(-1，1)出發(fā)經(jīng)X軸反射到圓C： 上的最短路程是 （ ）A. 4 B. 5 C. D. 10、如圖，在棱長為4的正方體 中，E、F分別是AD, ，的中點(diǎn)，長為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在線段EF上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)N在底面上運(yùn)動(dòng)，則線段MN的中點(diǎn)P的軌跡(曲面)與二面角A—一所圍成的幾何體的體積為（ ）A． B． C． D．．4－y， (－3,－2)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則該直線方程為 ;14.一個(gè)四棱錐和一個(gè)三棱錐恰好可以拼接成一個(gè)三棱柱.這個(gè)四棱錐的底面為正方形，且底面邊長與各側(cè)棱長相等，這個(gè)三棱錐的底面邊長與各側(cè)棱長也都相等．設(shè)四棱錐、三棱錐、三棱柱的高分別為，，，則15.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，點(diǎn)在線段OA上（異于端點(diǎn)），設(shè)均為非零實(shí)數(shù)，直線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，一同學(xué)已正確算出的方程：，請你求OF的方程：．．16．（本小題滿分1分）在△ABC中，已知A(5，－2)、B(7,3)，且AC邊的中點(diǎn)M在y軸上，BC邊的中點(diǎn)N在x軸上，求：(1)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)直線MN的方程．17．（本小題滿分1分）平面EFGH分別平行空間四邊形ABCD中的CD與AB且交BD、AD、AC、BC于E、F、G、H.CD=a，AB=b，CD⊥AB（）求證EFGH為矩形；（）點(diǎn)E在什么位置，SEFGH最大?18.（本小題滿分1分）（本小題滿分12分）如圖，PA⊥平面AC，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn).（1）求證:AF∥平面PCE;（2）若二面角P—CD—B為45°,AD=2,CD=3,求點(diǎn)F到平面PCE的距離;（3）在（2）的條件下,求PC與底面所成角的余弦值。20.（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱中，側(cè)面，已知（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）試在棱（不包含端點(diǎn)上確定一點(diǎn)的位置,使得；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下,若，求二面角的平面角的正切值.（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓.（1）若直線過點(diǎn)，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；（2）設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過點(diǎn)P的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)。1 ．三個(gè)互不重合的平面能把空間分成部分，則所有可能值為（ �。〢．4、6、8 B．4、6、7、8 C．4、6、7 D．4、5、7、8 D.-3．一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底長均為1的等腰梯形，則這個(gè)平面圖形的面積是（ ）A.＋ B．1＋ C．1＋ D．2＋．某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個(gè)面的面積中最大的是（ ） A．8 B． 10 C．6 D．8是兩條直線，是兩個(gè)平面，下列能推出的是( C )A． B． C． D．6.已知半徑為1的動(dòng)圓與圓(x－5)2+(y+7)2=16相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是( D )A．(x－5)2+(y+7)2=25 B．(x－5)2+(y+7)2=17或(x－5)2+(y+7)2=15C．(x－5)2+(y+7)2=9 D．(x－5)2+(y+7)2=25或(x－5)2+(y+7)2=98．一個(gè)正方體的展開圖如右圖所示，A、B、C、D為原正方體的頂點(diǎn)，則在原來的正方體中（ C ）A. B. C. AB與CD所成的角為 D. AB與CD相交9.一束光線從點(diǎn)A(-1，1)出發(fā)經(jīng)X軸反射到圓C： 上的最短路程是 （ A ）A. 4 B. 5 C. D. 10、如圖，在棱長為4的正方體 中，E、F分別是AD, ，的中點(diǎn)，長為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在線段EF上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)N在底面上運(yùn)動(dòng)，則線段MN的中點(diǎn)P的軌跡(曲面)與二面角A—一所圍成的幾何體的體積為（ ）A． B． C． D．．4－y， .13.直線過點(diǎn) (－3,－2)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則該直線方程為2x－3y＝0或x＋y＋5＝014.一個(gè)四棱錐和一個(gè)三棱錐恰好可以拼接成一個(gè)三棱柱.這個(gè)四棱錐的底面為正方形，且底面邊長與各側(cè)棱長相等，這個(gè)三棱錐的底面邊長與各側(cè)棱長也都相等．設(shè)四棱錐、三棱錐、三棱柱的高分別為，，，則 15.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，點(diǎn)在線段OA上（異于端點(diǎn)），設(shè)均為非零實(shí)數(shù)，直線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，一同學(xué)已正確算出的方程：，請你求OF的方程：.．．16．.（本小題滿分1分）在△ABC中，已知A(5，－2)、B(7,3)，且AC邊的中點(diǎn)M在y軸上，BC邊的中點(diǎn)N在x軸上，求：(1)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)直線MN的方程．．解 (1)設(shè)C(x0，y0)，則AC中點(diǎn)M，BC中點(diǎn)N.∵M(jìn)在y軸上，∴＝0，x0＝－5.∵N在x軸上，∴＝0，y0＝－3，即C(－5，－3)．(2)∵M(jìn)，N(1,0)．∴直線MN的方程為＋＝1.即5x－2y－5＝0.1（本小題滿分1分）平面EFGH分別平行空間四邊形ABCD中的CD與AB且交BD、AD、AC、BC于E、F、G、H.CD=a，AB=b，CD⊥AB （）求證EFGH為矩形；（）點(diǎn)E在什么位置，SEFGH最大?又∵AB⊥CDEF⊥FGEFGH為矩形.（2）G=x，AC=m，，GH=x GF=（m－x）SEFGH=GH?GF=x?（m－x）=（mx－x2）= （－x2+mx－+=［（x－）2+］當(dāng)x=時(shí)，SEFGH最大=（本小題滿分1分）×k=-1，k=2. 點(diǎn)（0，0）與（-4，2）的中點(diǎn)為（-2，1），∴1=2×(-2)+b，b=5.∴k=2，b=5.（2）圓心（-4，2）到2x-y+5=0的距離為d=.而圓的半徑為2，∴∠AOB=120°.19（本小題滿分12分）如圖，PA⊥平面AC，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn).（1）求證:AF∥平面PCE;（2）若二面角P—CD—B為45°,AD=2,CD=3,求點(diǎn)F到平面PCE的距離;（3）在（2）的條件下,求PC與底面所成角的余弦值。解法一:(1)證明:取PC中點(diǎn)M,連結(jié)ME、MF,則MF∥CD,MF=CD．又AE∥CD,AE=CD, ∴AE∥MF且AE=MF.∴四邊形AFME是平行四邊形.∴AF∥EM.∵AF平面PCE, ∴AF∥平面PCE.(2)解:∵PA⊥平面AC,CD⊥AD,∴CD⊥PD．? ∴∠PDA是二面角P—CD—B的平面角,即∠PDA=45°.∴△PAD是等腰直角三角形.∴AF⊥PD．又AF⊥CD,∴AF⊥平面PCD,而EM∥AF,∴EM⊥平面PCD． 又EM平面PEC,∴面PEC⊥面PCD．在平面PCD內(nèi)過F作FH⊥PC于H,則FH就是點(diǎn)F到平面PCE的距離.由已知,PD=2,PF=,PC=,△PFH∽△PCD,∴=. ∴FH=. (3)解:∵PA⊥平面ABCD,∴AC是PC在底面上的射影. ∴∠PCA就是PC與底面所成的角.由(2)知PA=2,PC=, ∴sin∠PCA==,即PC與底面所成的角余弦值cos∠PCA==,解法二：(1)證明:取PC中點(diǎn)M,連結(jié)EM,∵=+=+=+(+)=++=+ +=,∴AF∥EM.又EM平面PEC,AF平面PEC,∴AF∥平面PEC． 4分(2)解:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以、、所在直線為x、y、z軸建立坐標(biāo)系.∵PA⊥平面AC,CD⊥AD, ∴CD⊥PD．∴∠PDA是二面角P—CD—B的平面角,即∠PDA=45°.∴A(0,0,0)、P(0,0,2)、D(0,2,0)、F(0,1,1)、E(,0,0)、C(3,2,0).設(shè)平面PCE的法向量為n=(x,y,z),則n⊥,n⊥,而=(－,0,2),=(,2,0),∴－x+2z=0,且x+2y=0. 解得y=－x ,z=x.取x=4,得n=(4,－3,3).又=(0,1,－1),故點(diǎn)F到平面PCE的距離為d===.(3)解: ∵PA⊥平面ABCD, ∴AC是PC在底面上的射影.∴∠PCA就是PC與底面所成的角.=(－3,－2,0),=(－3,－2,2).∴cos∠PCA==,即PC與底面所成的角的余弦值是.（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱中，側(cè)面，已知（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）試在棱（不包含端點(diǎn)上確定一點(diǎn)的位置,使得；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下,若，求二面角的平面角的正切值.證（Ⅰ）因?yàn)閭?cè)面，故 在中， 由余弦定理有 故有 而 且平面（Ⅱ）由從而 且 故 不妨設(shè) ，則，則又 則在中有 從而（舍去）故為的中點(diǎn)時(shí)， 法二：以為原點(diǎn)為軸，設(shè)，則 由得 即 化簡整理得 或 當(dāng)時(shí)與重合不滿足題意當(dāng)時(shí)為的中點(diǎn)故為的中點(diǎn)使 （Ⅲ）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn) 連則，連則，連則 連則，且為矩形，又 故為所求二面角的平面角 在中，法二：由已知， 所以二面角的平面角的大小為向量與的夾角因?yàn)?故 （本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓.（1）若直線過點(diǎn)，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；（2）設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過點(diǎn)P的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)�！窘馕觥勘拘☆}主要考查直線與圓的方程、點(diǎn)到直線的距離公式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力、綜合分析問題的能力(1)設(shè)直線的方程為：，即由垂徑定理，得：圓心到直線的距離，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式，得： 化簡得：求直線的方程為：或，即或(2) 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，直線、的方程分別為：，即：因?yàn)橹本�被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相重慶市萬州二中2015-2016學(xué)年高二上學(xué)學(xué)期期中考試（數(shù)學(xué)理）
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