選修2-2 2.1.1 第1課時(shí) 歸納推理
一、
1．關(guān)于歸納推理，下列說法正確的是( )
A．歸納推理是一般到一般的推理
B．歸納推理是一般到個(gè)別的推理
C．歸納推理的結(jié)論一定是正確的
D．歸納推理的結(jié)論是或然性的
[答案] D
[解析] 歸納推理是由特殊到一般的推理，其結(jié)論的正確性不一定．故應(yīng)選D.
2．下列推理是歸納推理的是( )
A．A，B為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足PA＋PB＝2a>AB，得P的軌跡為橢圓
B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式
C．由圓x2＋y2＝r2的面積πr2，猜出橢圓x2a2＋y2b2＝1的面積S＝πab
D．科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇
[答案] B
[解析] 由歸納推理的定義知B是歸納推理，故應(yīng)選B.
3．?dāng)?shù)列{an}：2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )
A．28
B．32
C．33
D．27
[答案] B
[解析] 因?yàn)?－2＝3×1,11－5＝6＝3×2,20－11＝9＝3×3，猜測(cè)x－20＝3×4,47－x＝3×5，推知x＝32.故應(yīng)選B.
4．在數(shù)列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，則猜想an是( )
A．2n－2－12
B．2n－2
C．2n－1＋1
D．2n＋1－4
[答案] B
[解析] ∵a1＝0＝21－2，
∴a2＝2a1＋2＝2＝22－2，
a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2，
a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2，
……
猜想an＝2n－2.
故應(yīng)選B.
5．某人為了觀看2014年奧運(yùn)會(huì)，從2005年起，每年5月10日到銀行存入a元定期儲(chǔ)蓄，若年利率為p且保持不變，并約定每年到期存款均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，到2014年將所有的存款及利息全部取回，則可取回的錢的總數(shù)(元)為( )
A．a(chǎn)(1＋p)7
B．a(chǎn)(1＋p)8
C.ap[(1＋p)7－(1＋p)]
D.ap[(1＋p)8－(1＋p)]
[答案] D
[解析] 到2006年5月10日存款及利息為a(1＋p)．
到2007年5月10日存款及利息為
a(1＋p)(1＋p)＋a(1＋p)＝a[(1＋p)2＋(1＋p)]
到2008年5月10日存款及利息為
a[(1＋p)2＋(1＋p)](1＋p)＋a(1＋p)
＝a[(1＋p)3＋(1＋p)2＋(1＋p)]
……
所以到2014年5月10日存款及利息為
a[(1＋p)7＋(1＋p)6＋…＋(1＋p)]
＝a(1＋p)[1－(1＋p)7]1－(1＋p)
＝ap[(1＋p)8－(1＋p)]．
故應(yīng)選D.
6．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通過計(jì)算a2，a3，a4，猜想an等于( )
A.2(n＋1)2
B.2n(n＋1)
C.22n－1
D.22n－1
[答案] B
[解析] 因?yàn)镾n＝n2an，a1＝1，
所以S2＝4a2＝a1＋a2?a2＝13＝23×2，
S3＝9a3＝a1＋a2＋a3?a3＝a1＋a28＝16＝24×3，
S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4
?a4＝a1＋a2＋a315＝110＝25×4.
所以猜想an＝2n(n＋1)，故應(yīng)選B.
7．n個(gè)連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排列下表：
根據(jù)規(guī)律，從2010到2014箭頭的方向依次為( )
A．↓→
B．→↑
C．↑→
D．→↓
[答案] C
[解析] 觀察特例的規(guī)律知：位置相同的數(shù)字都是以4為公差的等差數(shù)列，由234可知從2010到2014為↑→，故應(yīng)選C.
8．(2010?山東文，10)觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)＝( )
A．f(x)
B．－f(x)
C．g(x)
D．－g(x)
[答案] D
[解析] 本題考查了推理證明及函數(shù)的奇偶性內(nèi)容，由例子可看出偶函數(shù)求導(dǎo)后都變成了奇函數(shù)，
∴g(－x)＝－g(x)，選D，體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生觀察能力，概括歸納推理的能力的考查．
9．根據(jù)給出的數(shù)塔猜測(cè)123456×9＋7等于( )
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1111
1234×9＋5＝11111
12345×9＋6＝111111
…
A．1111110
B．1111111
C．1111112
D．1111113
[答案] B
[解析] 根據(jù)規(guī)律應(yīng)為7個(gè)1，故應(yīng)選B.
10．把1、3、6、10、15、21、…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)子可以排成一個(gè)正三角形(如下圖)，
試求第七個(gè)三角形數(shù)是( )
A．27
B．28
C．29
D．30
[答案] B
[解析] 觀察歸納可知第n個(gè)三角形數(shù)共有點(diǎn)數(shù)：1＋2＋3＋4＋…＋n＝n(n＋1)2個(gè)，∴第七個(gè)三角形數(shù)為7×(7＋1)2＝28.
二、題
11．觀察下列由火柴桿拼成的一列圖形中，第n個(gè)圖形由n個(gè)正方形組成：
通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：第4個(gè)圖形中，火柴桿有________根；第n個(gè)圖形中，火柴桿有________根．
[答案] 13,3n＋1
[解析] 第一個(gè)圖形有4根，第2個(gè)圖形有7根，第3個(gè)圖形有10根，第4個(gè)圖形有13根……猜想第n個(gè)圖形有3n＋1根．
12．從1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得一般規(guī)律是__________________．
[答案] n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
[解析] 第1式有1個(gè)數(shù)，第2式有3個(gè)數(shù)相加，第3式有5個(gè)數(shù)相加，故猜想第n個(gè)式子有2n－1個(gè)數(shù)相加，且第n個(gè)式子的第一個(gè)加數(shù)為n，每數(shù)增加1，共有2n－1個(gè)數(shù)相加，故第n個(gè)式子為：
n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋{n＋[(2n－1)－1]}
＝(2n－1)2，
即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
13．觀察下圖中各正方形圖案，每條邊上有n(n≥2)個(gè)圓圈，每個(gè)圖案中圓圈的總數(shù)是S，按此規(guī)律推出S與n的關(guān)系式為________．
[答案] S＝4(n－1)(n≥2)
[解析] 每條邊上有2個(gè)圓圈時(shí)共有S＝4個(gè)；每條邊上有3個(gè)圓圈時(shí)，共有S＝8個(gè)；每條邊上有4個(gè)圓圈時(shí)，共有S＝12個(gè)．可見每條邊上增加一個(gè)點(diǎn)，則S增加4，∴S與n的關(guān)系為S＝4(n－1)(n≥2)．
14．(2009?浙江理，15)觀察下列等式：
C15＋C55＝23－2，
C19＋C59＋C99＝27＋23，
C113＋C513＋C913＋C1313＝211－25，
C117＋C517＋C917＋C1317＋C1717＝215＋27，
……
由以上等式推測(cè)到一個(gè)一般的結(jié)論：
對(duì)于n∈N*，C14n＋1＋C54n＋1＋C94n＋1＋…＋C4n＋14n＋1＝__________________.
[答案] 24n－1＋(－1)n22n－1
[解析] 本小題主要考查歸納推理的能力
等式右端第一項(xiàng)指數(shù)3,7,11,15，…構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)公式為an＝4n－1，第二項(xiàng)指數(shù)1,3,5,7，…的通項(xiàng)公式bn＝2n－1，兩項(xiàng)中間等號(hào)正、負(fù)相間出現(xiàn)，∴右端＝24n－1＋(－1)n22n－1.
三、解答題
15．在△ABC中，不等式1A＋1B＋1C≥9π成立，
在四邊形ABCD中，不等式1A＋1B＋1C＋1D≥162π成立，
在五邊形ABCDE中，不等式1A＋1B＋1C＋1D＋1E≥253π成立，猜想在n邊形A1A2…An中，有怎樣的不等式成立？
[解析] 根據(jù)已知特殊的數(shù)值：9π、162π、253π，…，總結(jié)歸納出一般性的規(guī)律：n2(n－2)π(n≥3)．
∴在n邊形A1A2…An中：1A1＋1A2＋…＋1An≥n2(n－2)π(n≥3)．
16．下圖中(1)、(2)、(3)、(4)為四個(gè)平面圖．?dāng)?shù)一數(shù)每個(gè)平面圖各有多少個(gè)頂點(diǎn)？多少條邊？它們圍成了多少個(gè)區(qū)域？并將結(jié)果填入下表中．
平面區(qū)域頂點(diǎn)數(shù)邊數(shù)區(qū)域數(shù)
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)觀察上表，推斷一個(gè)平面圖形的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)之間有什么關(guān)系？
(2)現(xiàn)已知某個(gè)平面圖有999個(gè)頂點(diǎn)，且圍成了999個(gè)區(qū)域，試根據(jù)以上關(guān)系確定這個(gè)平面圖有多少條邊？
[解析] 各平面圖形的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)如下表：
平面區(qū)域頂點(diǎn)數(shù)邊數(shù)區(qū)域數(shù)關(guān)系
(1)3323＋2－3＝2
(2)81268＋6－12＝2
(3)6956＋5－9＝2
(4)1015710＋7－15＝2
結(jié)論VEFV＋F－E＝2
推廣999E999E＝999＋999－2
＝1996
其頂點(diǎn)數(shù)V，邊數(shù)E，平面區(qū)域數(shù)F滿足關(guān)系式V＋F－E＝2.
故可猜想此平面圖可能有1996條邊．
17．在一容器內(nèi)裝有濃度為r%的溶液a升，注入濃度為p%的溶液14a升，攪勻后再倒出溶液14a升，這叫一次操作，設(shè)第n次操作后容器內(nèi)溶液的濃度為bn(每次注入的溶液濃度都是p%)，計(jì)算b1、b2、b3，并歸納出bn的計(jì)算公式．
[解析] b1＝a?r100＋a4?p100a＋a4＝110045r＋15p，
b2＝ab1＋a4?p100a＋a4＝1100452r＋15p＋452p.
b3＝a?b2＋a4?p100a＋a4
＝1100453r＋15p＋452p＋4253P，
∴歸納得bn＝110045nr＋15p＋452p＋…＋4n－15nP.
18．設(shè)f(n)＝n2＋n＋41，n∈N＋，計(jì)算f(1)，f(2)，f(3)，…，f(10)的值，同時(shí)作出歸納推理，并用n＝40驗(yàn)證猜想是否正確．
[解析] f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，
f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，
f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，
f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113，
f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151.
由于43、47、53、61、71、83、97、113、131、151都為質(zhì)數(shù)．
即：當(dāng)n取任何非負(fù)整數(shù)時(shí)f(n)＝n2＋n＋41的值為質(zhì)數(shù)．
但是當(dāng)n＝40時(shí)，f(40)＝402＋40＋41＝1681為合數(shù)．
所以，上面由歸納推理得到的猜想不正確．
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.douzifanli.com/gaoer/66044.html
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