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南京師范大學涂榮豹教授對江蘇2014年高考預測題

小題：

1．已知a，b是非零向量，且滿足，則a與b的夾角是（ ）

A． B． C． D．

2．若函數(shù)在區(qū)間內恒有，則的單調遞增區(qū)間為 （ ）

A． B． C． D．

3．若鈍角三角形三個內角的度數(shù)成等差數(shù)列，且最大邊和最小邊長度比為m，則m的范圍是 （ ）

A． B． C． D．

4．設、、為平面，m、n、l為直線，則的一個充分條件是 （ ）

A． B．

C． D．

5．設直線關于原點對稱的直線為，若與橢圓的交點為A、B，點P為橢圓上的動點，則使的面積為的動點P的個數(shù)是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．設，則以下不等式中不恒成立的是 （ ）

A． B．

C． D．

7．設函數(shù)滿足，則方程的根的個數(shù)是（ ）

A．無窮個 B．沒有或者有限個 C．有限個 D．沒有或者無窮個

8．今測得太陽光線與水平面成角，一棵豎直生長的雪松樹在水平地面上的影長為10米，則雪松高度h的范圍是 （ ）

A． B． C． D．

9．已知、均為銳角，且，則= .

10．過點且與曲線在點處的切線平行的直線方程是

.

11．已知，及，則= .

解：，則是R上的增函數(shù)，得

12．給定平面上的5個點A、B、C、D、E，由這些點連成4條線段，每點至少是一條線段的端點，任意三線段不共點.不同的連結方式有 種.

解：圖中4種連結方式都滿足要求.

（圖中僅表示點、線間連結形式，不考

慮點的位置）.

情況（1），主要是中心點的選擇，

決定其連結方式有5種；

情況（2），可視為5個點A、B、C、D、E的排列，但一種排列與其逆序排列是同一的，且兩者是一一對應的，故該情況連結方式有（種）；

情況（3），首先是分歧點的選擇有5種，其次是分叉的兩點的選擇有（種），最后是余下并連兩點的順序有別，有2！種，共計（種）；

情況（4），選擇3點構造三角形，有（種）.

總計有（種）連結方式.

大題：

1．已知向量

求函數(shù)的最大值、最小正周期，并寫出在上的單調區(qū)間。

解：

所以的最大值為，最小正周期，在上遞增，在上遞減。

2．中，內角A、B、C的對邊分別是a、b、c，已知a、b、c成等比數(shù)列，且

（I）的值；

（II）設，求的值.

解：（I）由，得，由及正弦定理得于是

（II）由，得；由，得，即

由余弦定理，

得

可得。

3．某工廠統(tǒng)計資料顯示，產品次品率p與日產量x（件）的關系如右表。又知每生產一件正品贏利a元，每生產一件次品虧損元（）。

（I）將該廠日贏利額T（元）表示為日產量x（件）的函數(shù)；

（II）為了獲得最大贏利，該廠的日產量定為多少件？（取）

x

1

2

3

4

…

98

p

…

1

解：（I）由題意可知

日產量x件中，正品件，次品px件，

日贏利額

（II）

當且僅當時取等號，即

因為，故（或82）時，T取最大值.

4．某企業(yè)2003年的純利潤為500萬元，因設備老化等原因，企業(yè)的生產能力逐年下降，若不進行技術改造，預計從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元。今年初該企業(yè)一次性投資600萬元進行技術改造，預計在未扣除技術改造資金的情況下，第n年（今年為第一年）的利潤為 萬元（n為正整數(shù)）。

（I）設從今年起的前n年，該企業(yè)不進行技術的改造的累計純利潤為萬，進行技術改造后的累計純利潤為萬元（須扣除技術改造資金），求、的表達式；

（II）以上述預測，從今年起該企業(yè)至少經過多少年，進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤？

解：（I）依題設，

（II）

因為函數(shù)在上為增函數(shù)，

所以，當時，

當時，

所以，僅當時，

答：至少經過4年，該企業(yè)進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤。

5．甲、乙兩隊進行一場排球比賽，采用五局三勝制，即規(guī)定五局定勝負，先勝三局者獲勝，且比賽就此結束。現(xiàn)已知甲、乙兩隊每比賽一局，甲隊獲勝的概率是0.6，乙隊獲勝的概率是0.4,且每局比賽的勝負是相互獨立的，問：

（I）甲隊比3：2獲勝的概率是多少？（II）乙隊獲勝的概率是多少？

解：（I）設甲隊以3：2獲勝的事件為A，則第五局甲必勝，前4局各勝2局，所以

（II）設乙隊獲勝的事件為B，則B包括3種情況：（1）3：0，乙勝；（2）3：1，

乙勝；（3）3：2，乙勝.

答：甲隊以3：2獲勝的概率是0.2201436；乙隊獲勝的概率是0.31744。

6．已知四棱錐的底面是直角梯形，底面ABCD，是PB的中點.

（I）證明：平面平面PCD；

（II）求AC與PB所成的角；

（III）求平面AMC與平面BMC所成角的大小.

方法一：（I）證明：底面，

由三垂線定理得，則平面PAD，

平面平面PAD.

（II）解：過點B作，且，則是AC與PB所成的角.

與底面ABCD所成的角.

則

又

是等腰直角三角形，

則

與PB所成的角為

（III）解：作，垂足為N，連接BN.在直角中，又

得

則是所求二面角的平面角.

，得面PAC，

在直角中，，所以

在等腰中用等積變換，

則所求的二面角為

方法二：底面ABCD，構成空間坐標系，各點坐標是

（I）證明：，由得

由得則平面PAD.

所以平面平PAD.

（II）解：

所以AC與PB所成的角為

（III）解：在MC上取一點，則，

，要使，則需

即，解得由得，則N點坐標為 從而為 所求二面角的平面角。

所以所求二面角為

7．如圖，在長方體中，點E在棱AB上移動.

（I）證明：；

（II）若E為AB中點，求E到面的距離；

（III）AE等于何值時，二面角的大小為

方法一

（I）證明：

（II）設點E到平面的距離為h，由題設可得

算得

則

（III）過D作，垂足為H，連則

為二面角的平面角.

設，在直角中，

在直角中，在直角中，

在直角中，，在直角中，

因為以上各步步步可逆，所以當時，二面角的 大小為

方法二：以DA，DC，DD1建立空間坐標系，設，有

（I）證明：因為，所以，

（II）解：E是AB中點，有， 設平面的法向量為則也即，

得，從而，點E到平面的距離

（III）設平面的法向量為

由令，得

則于是

（不合，舍去），

即時，二面角的大小為

8．如圖，過拋線的對稱軸上一點作直線與拋物線交于A、B兩點，點Q是P關于原點的對稱點.

（I）若點P為定點，求證為定值；

（II）設點P分有向線段所成的比為，證明；

（III）設直線AB的方程是，過A、B兩點的圓與拋物線在點A處有共同的切線，求圓心的方程.

解：（1）設直線AB方程為，代入

得 ①。

設則是方程①的兩個根，

可得

因為P點為定點時,m是定值,

所以是定值.

（II）由題設有得點Q是點P關于原點的對稱點，

，

所以

（III）由，得點、由得

所以拋物線在點A處的切線斜率為

設過A、B的圓的方程是，

則

解得

圓的方程是，即

9．設直線，雙曲線，雙曲線E的離心率為與E交于P、Q兩點，直線l與y軸交于R點，且

（I）證明：

（II）求雙曲線E的方程；

（III）若點F是雙曲線E的右焦點，M、N是雙曲線上兩點，且，求實數(shù)的取值范圍.

解：（I）雙曲線離心率

設直線l方程為由，及得①，

設，則是①的兩根，②.

即

③將②代入③得

即④.得證

（II）易知，

將代入 ②得⑤解④、⑤得

雙曲線E的方程為

（III）雙曲線E的右焦點F為

設，

.

把M、N兩點坐標代入得

整理得，且

，得，

因此所求的范圍是

10．設是函數(shù)的兩個極值點，

且

（I）證明：；

（II）證明：；

（III）若函數(shù)，證明：當且時，

解：（I）證明：是函數(shù)的兩個極值點，是的 兩個根.

，得

（II）證明：設，則， 由， 得，得

在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；，

故

（III）證明：是的兩個實根，

又

故

11．已知函數(shù)當時，的值域為，當時，的值域為……當時，的值域為，其中a，b為常數(shù)，

（I）時，求數(shù)列與的通項；

（II）設且，若數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，求b的值.

（III）若，設與的前n項和分別記為與，

求的值.

（I）解：函數(shù)在R上是增函數(shù)，

數(shù)列與都是公差為b的等差數(shù)列.

（II）解：；由是等比數(shù)列，知應為常數(shù).

又是公比不為1的等比數(shù)列，則不是常數(shù)，必有

（III）解：兩式相減，

得

.

12．已知函數(shù)

（1）若函數(shù)的圖象上任意不同的兩點的連線的斜率小于1，求證：；

（2）若，則函數(shù)的函數(shù)的圖象上的任意的一點的切線的斜率為k，求證：是成立的充要條件。

解：（1）設函數(shù)的圖象上任意不同的兩點為，

且，則，即有

因為，所以，即

又因，所以，即故

（2）當時，

由題意，得，即對于任意的等價于

；即，或者

解得故使成立的充要條件是

13．在中，若且的周長為12.

（1）證明為直角三角形；

（2）求面積的最大可能值.

解：（1）由已知得，

即

又

故

則，即為直角三角形.

（2）設A、B、C分別對應的邊為a、b、c，依題意得

因為，所以，

即，

即

14．已知的面積為，且

（1）設，求向量與的夾角正切值的取值范圍.

（2）設以O為中心，F(xiàn)為焦點的雙曲線經過點Q，，當取得最小值時，求此雙曲線的方程.

（3）設為（2）中所求雙曲線的左焦點，若A、B分別為此雙曲線漸近線l1、l2上的動點,且,求線段AB的中點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.

解：（1）由得。又，則

（2）設所求的雙曲線方程為，則，

又由

，

當且僅當時，最小，此時Q的坐標為或，

所求方程為

（3）設的方程為的方程為，則有…①，…②

…③，設，由①、②得

代入③得

的軌跡為集點在y軸上的橢圓.

15．已知直線與雙曲線有A、B兩個不同的交點.

（1）如果以AB為直徑的圓恰好過原點O，試求k的值；

（2）是否存在k，使得兩個不同的交點A、B關于直線對稱？試述理由.

解：（1）設，則以AB為直徑的圓恰好過原點O的充要條件是，即…①

由消去y得 …②

將其代入①得，解得或

當時，方程②為，有兩個不等實根；

當時，方程②為，有兩個不等實根.

故當或時，以AB為直徑的圓恰好過原點O.

（2）若關于直線對稱，

則

將④整理得

因為所以，解之，得這個結果與③矛盾.

故不存在這樣的k，使兩點A、B關于直線對稱.

16．已知雙曲線；拋物線C2的頂點在原點O，又C1的焦點是C­2­的左焦點F1.

（1）求證：C1與C2總有兩個不同的交點；

（2）是否存在過C2的焦點F1的弦AB，使有最大或最小值？若有，求出AB所在直線的方程與最值；若沒有，請說明理由.

解：（1）

由消去y，得 ①

方程①有實根、

又，不妨設

當時，無實根；

當時，有兩個不同實根，從而與總有兩個不同的交點.

（2）假設符合條件的弦AB存在.

（i）當直線斜率k存在時，易知設直線AB的方程為

由方程組，消去y，得

又原點到直線AB的距離為

（ii）當直線斜率k不存在，即AB與x軸垂直時，有

面積的最小值為，此時直線AB的方程為

當時，，因此，面積無最大值.