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初等函數(shù)包括代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)，以下是基本初等函數(shù)專(zhuān)題強(qiáng)化練習(xí)，希望對(duì)考生復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)有幫助。

1.(文)(2016江西文，4)已知函數(shù)f(x)=(aR)，若f[f(-1)]=1，則a=()

A. -1B.-2

C.1 D.2

[答案] A

[解析] f(-1)=2-(-1)=2，

f(f(-1))=f(2)=4a=1，a=.

(理)(2015新課標(biāo)理，5)設(shè)函數(shù)f(x)=則f(-2)+f(log212)=()

A.3 B.6

C.9 D.12

[答案] C

[解析] 考查分段函數(shù).

由已知得f(-2)=1+log24=3，又log2121，所以f(log212)=2log212-1=2log26=6，故f(-2)+f(log212)=9，故選C.

2.(2016哈三中二模)冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2，-)，則滿(mǎn)足f(x)=27的x的值是()

A. B.

C. D.

[答案] B

[解析] 設(shè)f(x)=x，則-=(-2)，=-3，

f(x)=x-3，由f(x)=27得，x-3=27，x=.

3.(文)已知命題p1：函數(shù)y=2x-2-x在R上為增函數(shù)，p2：函數(shù)y=2x+2-x在R上為減函數(shù).則在命題q1：p1p2，q2：p1p2，q3：(p1)p2和q4：p1(p2)中，真命題是()

A.q1，q3 B.q2，q3

C.q1，q4 D.q2，q4

[答案] C

[解析] y=2x在R上是增函數(shù)，y=2-x在R上是減函數(shù)，y=2x-2-x在R上是增函數(shù)，所以p1：函數(shù)y=2x-2-x在R上為增函數(shù)為真命題，p2：函數(shù)y=2x+2-x在R上為減函數(shù)為假命題，故q1：p1p2為真命題，q2：p1p2是假命題，q3：(p1)p2為假命題，q4：p1(p2)是真命題.故真命題是q1、q4，故選C.

[點(diǎn)撥] 1.由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)首先判斷命題p1、p2的真假是解題關(guān)鍵，再由真值表可判定命題q1、q2、q3、q4的真假.

2.考查指、對(duì)函數(shù)的單調(diào)性是這一部分高考命題的主要考查方式之一.常常是判斷單調(diào)性;已知單調(diào)性討論參數(shù)值或取值范圍;依據(jù)單調(diào)性比較數(shù)的大小等.

(理)已知實(shí)數(shù)a、b，則2a2b是log2alog2b的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

[答案] B

[解析] 由y=2x為增函數(shù)知，2ab;由y=log2x在(0，+)上為增函數(shù)知，log2alog2ba0，a/ a0，但a0ab，故選B.

4.(文)(2015湖南理，5)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)，則f(x)是()

A.奇函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)

B.奇函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)

C.偶函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)

D.偶函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)

[答案] A

[解析] 考查函數(shù)的性質(zhì).

由得-10，a1，xR)叫指數(shù)函數(shù) 函數(shù)y=logax(a0，a1，x0)叫對(duì)數(shù)函數(shù) 值域 (0，+) (-，+) 圖象 性質(zhì) (1)y

(2)圖象恒過(guò)點(diǎn)(0,1);

(3)a1，

當(dāng)x0時(shí)，y

當(dāng)x0時(shí)，00時(shí)，01;

(4)a1，在R上y=ax為增函數(shù);00;

(2)圖象恒過(guò)點(diǎn)(1,0);

(3)a1，

當(dāng)x1時(shí)，y

當(dāng)01時(shí)，y

當(dāng)00;

(4)a1，在(0，+)上y=logax為增函數(shù);0f(x)g(x)，且f(x)=axg(x)(a0，且a1)，+=.若數(shù)列{}的前n項(xiàng)和大于62，則n的最小值為()

A.6 B.7

C.8 D.9

[答案] A

[思路分析] 通過(guò)審題可以發(fā)現(xiàn)，題目中多處涉及的形式，x=1時(shí)，即，x=-1時(shí)，即，x=n時(shí)，即，又=ax，故這是解題的切入點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)F(x)=，則問(wèn)題迎刃而解.

[解析] 令F(x)=，則F(x)=ax，F(xiàn)(x)=0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增，

a1.

∵F(1)+F(-1)=+==a+，

a=2，F(xiàn)(x)=2x，{F(n)}的前n項(xiàng)和Sn=21+22++2n==2n+1-262，2n+164，n+16，

n5，n的最小值為6.

7.下列函數(shù)圖象中不正確的是()

[答案] D

[解析] 由指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)知A、B正確，又C是B中函數(shù)圖象位于x軸下方部分沿x軸翻折到x軸上方，故C正確.

y=log2|x|=是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故D錯(cuò)誤.

8.(文)若存在正數(shù)x使2x(x-a)1成立，則a的取值范圍是()

A.(-，+) B.(-2，+)

C.(0，+) D.(-1，+)

[答案] D

[解析] 由題意得，ax-()x (x0)，

令f(x)=x-()x，則f(x)在(0，+)上為增函數(shù)，

f(x)f(0)=-1，a-1，故選D.

(理)定義在R上的偶函數(shù)f(x)在[0，+)上是增函數(shù)，且f()=0，則不等式f(logx)0的解集是()

A.(0，) B.(2，+)

C.(0，)(2，+) D.(，1)(2，+)

[答案] C

[解析] 解法1：偶函數(shù)f(x)在[0，+)上為增函數(shù)，

f(x)在(-，0)上為減函數(shù)，

又f()=0，f(-)=0，

由f(logx)0得，logx或logx-，

02，故選C.

解法2：f(x)為偶函數(shù)，f(logx)0化為f(|logx|)0，

f(x)在[0，+)上為增函數(shù)，f()=0，|logx|，|log8x|，log8x或log8x-，

x2或01，則g(x)=x+lnx1，00且a1)的圖象恒過(guò)點(diǎn)(0，-2);命題q：函數(shù)f(x)=lg|x|(x0)有兩個(gè)零點(diǎn).

則下列說(shuō)法正確的是()

A.p或q是真命題 B.p且q是真命題

C.p為假命題 D.q為真命題

[答案] A

[解析] f(0)=a0-2=-1，p為假命題;令lg|x|=0得，|x|=1，x=1，故q為真命題，pq為真，pq為假，p為真，q為假，故選A.

(理)已知函數(shù)f(x)=(其中aR)，函數(shù)g(x)=f[f(x)]+1.下列關(guān)于函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，正確的是()

A.當(dāng)a0時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a0時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)a=0時(shí)，有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)a0時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a0時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)a=0時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)

C.當(dāng)a0時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a0時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)

D.當(dāng)a0時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a=0時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)

[答案] A

[解析] 取a=1，令x+=-1得x=-，令log2x=-1得，x=.令x+=-得x=-2，令log2x=-得x=2-，令log2x=得x=，令x+=得x=0，由此可排除C、D;令a=0，得f(x)=由log2x=-1得x=，由f(x)=知，對(duì)任意x0，有f(x)=，故a=0時(shí)，g(x)有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn).

11.(文)(2016中原名校第二次聯(lián)考)函數(shù)y=f(x+)為定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x時(shí)，f(x)=()x+sinx，則下列選項(xiàng)正確的是()

A.f(3)f(f(3)，

f(2)f(3)，故選A.

(理)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

A.x0R，f(x0)=0

B.函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形

C.若x0是f(x)的極小值點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(-，x0)單調(diào)遞減

D.若x0是f(x)的極值點(diǎn)，則f (x0)=0

[答案] C

[解析] 由題意得，f(x)=3x2+2ax+b，該函數(shù)圖象開(kāi)口向上，若x0為極小值點(diǎn)，如圖，f(x)的圖象應(yīng)為：

故f(x)在區(qū)間(-，x0)不單調(diào)遞減，C錯(cuò)，故選C.

12.如圖，過(guò)原點(diǎn)O的直線與函數(shù)y=3x的圖象交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)B作y軸的垂線交函數(shù)y=9x的圖象于點(diǎn)C，若AC恰好平行于y軸，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為()

A.(log94,4) B.(log92,2)

C.(log34,4) D.(log32,2)

[答案] D

[解析] 本題考查指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，難度中等.

設(shè)A(x1,3x1)，B(x2,3x2)，則C(x1,3x2)在函數(shù)y=9x的圖象上，所以3x2=9x1，所以x2=2x1 .

又O，A，B共線，所以= ，聯(lián)立解得x1=log32，故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(log32,2)，故選D.

[易錯(cuò)分析] 本題易犯兩個(gè)錯(cuò)誤：一是不能將直線與指數(shù)函數(shù)圖象相交于A，B兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為OA，OB的斜率相等;二是不能應(yīng)用指數(shù)的運(yùn)算法則求解.一般地，解指數(shù)方程時(shí)，將方程兩邊化為同底，或者利用指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式的方法求解.

二、填空題

13.(文)已知函數(shù)f(x)=在區(qū)間[-1，m]上的最大值是1，則m的取值范圍是________.

[答案] (-1,1]

[解析] f(x)=2-x-1=()x-1在[-1,0]上為減函數(shù)，在[-1,0]上f(x)的最大值為f(-1)=1，又f(x)=x在[0，m]上為增函數(shù)，在[0，m]上f(x)的最大值為，f(x)在區(qū)間[-1，m]上的最大值為1，

或-11，則m的取值范圍是________.

[答案] (-，0)(2，+)

[解析] 當(dāng)m0時(shí)，由f(m)1得，log3(m+1)1，

m+13，m

當(dāng)m0時(shí)，由f(m)1得，3-m1.

-m0，m0.

綜上知m0或m2.

16.(文)已知函數(shù)f(x)=若函數(shù)g(x)=f(x)-m有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.

[答案] (0,1)

[解析] 函數(shù)f(x)的圖象如圖所示：

當(dāng)0a-7對(duì)一切正整數(shù)n都成立，則正整數(shù)a的最大值為_(kāi)_______.

[分析] 要求正整數(shù)a的最大值，應(yīng)先求a的取值范圍，關(guān)鍵是求出代數(shù)式+++的最小值，可將其視為關(guān)于n的函數(shù)，通過(guò)單調(diào)性求解.

[解析] 令f(n)=+++(nN*)，

對(duì)任意的nN*，

f(n+1)-f(n)=++-

=0，

所以f(n)在N*上是增函數(shù).

又f(1)=，對(duì)一切正整數(shù)n，f(n)a-7都成立的充要條件是a-7，

所以a，故所求正整數(shù)a的最大值是8.

[點(diǎn)撥] 本題是構(gòu)造函數(shù)法解題的很好的例證.如果對(duì)數(shù)列求和，那就會(huì)誤入歧途.本題構(gòu)造函數(shù)f(n)，通過(guò)單調(diào)性求其最小值解決了不等式恒成立的問(wèn)題.利用函數(shù)思想解題必須從不等式或等式中構(gòu)造出函數(shù)關(guān)系并研究其性質(zhì)，才能使解題思路靈活變通.

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