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平面內(nèi)，到定點(diǎn)與定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，以下是江蘇高考復(fù)習(xí)拋物線專題練習(xí)，請(qǐng)考生認(rèn)真練習(xí)。

(泰州中學(xué)檢測(cè))給定圓P：x2+y2=2x及拋物線S：y2=4x，過(guò)圓心P作直線l，此直線與上述兩曲線的四個(gè)交點(diǎn)，自上而下順次記為A，B，C，D，如果線段AB，BC，CD的長(zhǎng)按此順序構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，求直線l的方程.

[解] 圓P的方程為(x-1)2+y2=1，則其直徑長(zhǎng)|BC|=2，圓心為P(1,0)，設(shè)l的方程為ky=x-1，即x=ky+1，代入拋物線方程得：y2=4ky+4，設(shè)A(x1，y1)，D(x2，y2)，有

則(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=16(k2+1).

故|AD|2=(y1-y2)2+(x1-x2)2=(y1-y2)2+2

=(y1-y2)2=16(k2+1)2，

因此|AD|=4(k2+1).

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得2|BC|=|AB|+|CD|=|AD|-|BC|，

|AD|=3|BC|=6，即4(k2+1)=6，k=，

即l方程為x-y-=0或x+y-=0.

2.(蘇州調(diào)研)設(shè)拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BCx軸.求證：直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.

【常規(guī)證法】 拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F，顯然直線AB的斜率不為0，當(dāng)AB斜率不存在時(shí)，直線AP方程為x=，不妨設(shè)A在第一象限，則易知A，B，C，此時(shí)kOA==2，kOC==2.kOA=kOC，

A，O，C三點(diǎn)共線，即直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.

當(dāng)AB斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AB方程為y=k代入y2=2px得k2x2-(k2+2)px+=0，

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2=，

=，

(y1y2)2=p4，由題意知y1y20，y1y2=-p2

kOC======kOA

直線AC過(guò)原點(diǎn)O，綜上，直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.

【巧妙證法】 因?yàn)閽佄锞�y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F，而直線AB的斜率不為零，所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線AB的方程可設(shè)為x=my+.代入拋物線方程消去x得y2-2pmy-p2=0.

若記A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1，y2是該方程的兩個(gè)根，所以y1y2=-p2.

因?yàn)锽Cx軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線x=-上，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為，

故直線CO的斜率為k===，即k也是直線OA的斜率，所以直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.

3.(南師附中檢測(cè))設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)為拋物線y2=2px(p0)上位于x軸兩側(cè)的兩點(diǎn).

(1)若y1y2=-2p，證明直線AB恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn);

(2)若p=2，AOB(O是坐標(biāo)原點(diǎn))為鈍角，求直線AB在x軸上的截距的取值范圍.

[解] (1)設(shè)直線AB在x軸上的截距為t，則可設(shè)直線AB的方程為x=my+t.代入y2=2px得y2=2p(my+t)，即y2-2pmy-2pt=0，于是-2p=y1y2=-2pt，所以t=1，即直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(1,0).

(2)因?yàn)锳OB為鈍角，所以0，即x1x2+y1y20.y=2px1，y=2px2，yy=2px12px2，于是x1x2===t2，故x1x2+y1y2=t2-2pt=t2-4t.解不等式t2-4t0，得00)

把點(diǎn)P(-2，-4)代入得(-4)2=-2p(-2).

解得p=4，拋物線方程為y2=-8x.

當(dāng)焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)方程為x2=-2py(p0)，

把點(diǎn)P(-2，-4)代入得(-2)2=-2p(-4).

解得p=.拋物線方程為x2=-y.

綜上可知拋物線方程為y2=-8x或x2=-y.

[答案] y2=-8x或x2=-y

4.(廣東高考)已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F(0，c)(c0)到直線l：x-y-2=0的距離為.設(shè)P為直線l上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn).

(1)求拋物線C的方程;

(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)為直線l上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程;

(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí)，求|AF||BF|的最小值.

[解題思路] (1)由點(diǎn)到直線的距離求c的值，得到F(0，c)后可得拋物線的方程;(2)采用設(shè)而不求策略，先設(shè)出A(x1，y1)，B(x2，y2)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求切線PA，PB的方程，代入點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)結(jié)構(gòu)，可得直線AB的方程;(3)將|AF||BF|轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的函數(shù)，再求最值.

[解] (1)依題意，設(shè)拋物線C的方程為x2=4cy(c0)，

由點(diǎn)到直線的距離公式，得=，

解得c=1(負(fù)值舍去)，故拋物線C的方程為x2=4y.

(2)由x2=4y，得y=x2，其導(dǎo)數(shù)為y=x.

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x=4y1，x=4y2，

切線PA，PB的斜率分別為x1，x2，

所以切線PA的方程為y-y1=(x-x1)，

即y=x-+y1，即x1x-2y-2y1=0.

同理可得切線PB的方程為x2x-2y-2y2=0.

因?yàn)榍芯�PA，PB均過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)，

所以x1x0-2y0-2y1=0，x2x0-2y0-2y2=0，

所以和為方程x0x-2y0-2y=0的兩組解.

所以直線AB的方程為x0x-2y-2y0=0.

(3)由拋物線定義可知|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，

所以|AF||BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.

由消去x并整理得到關(guān)于y的方程為y2+(2y0-x)y+y=0.

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得

y1+y2=x-2y0，y1y2=y.

所以|AF||BF|=y1y2+(y1+y2)+1

=y+x-2y0+1.

又點(diǎn)P(x0，y0)在直線l上，所以x0-y0-2=0，

即x0=y0+2，

所以y+x-2y0+1=2y+2y0+5=22+，

所以當(dāng)y0=-時(shí)，|AF||BF|取得最小值，且最小值為.

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