2013年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)試題分類(lèi)匯編3：三角函數(shù)
一、
1 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））已知 ,則
A. B. C. D.
【答案】C
2 ．（2013年高考陜西卷（理 ））設(shè)△ABC的內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別為a, b, c, 若 , 則△ABC的形狀為 (A) 銳角三角形(B) 直角三角形(C) 鈍角三角形(D) 不確定
【答案】B
3 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津 數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））在△ABC中, 則 = (A) (B) (C) (D)
【答案】C
4 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））將函數(shù) 的圖象沿 軸向左平移 個(gè)單位后,得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象,則 的一個(gè)可能取值為
(A) (B) (C)0 (D)
【答案】B
5 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD版））在 ,內(nèi)角 所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為 且 ,則
A. B. C. D.
【答案】A
6 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對(duì)））已知函數(shù) ,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是
(A) 的圖像關(guān)于 中心對(duì)稱(chēng) (B) 的圖像關(guān)于直線(xiàn) 對(duì)稱(chēng)
(C) 的最大值為 (D) 既奇函數(shù),又是周期函數(shù)
【答案】C
7 ．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））函數(shù) 的圖象大致為
【答案】D
8 ．（2013年高考四川卷（理））函數(shù) 的部分圖象如圖所示,則 的值分別是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
9 ．（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）既是偶函數(shù)又在區(qū)間 上單調(diào)遞減的函數(shù)是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
10．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）） ( )
A. B. C. D. 【答案】C 11．（2013年高考湖南卷（理））在銳角中 ,角 所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為 .若
A. B. C. D.
【答案】D
12．（2013年高考湖北卷（理））將函數(shù) 的圖像向左平移 個(gè)長(zhǎng)度單位后,所得到的圖像關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng),則 的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
二、題
13．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版）） 中, , 是 的中點(diǎn),若 ,則 ________.
【答案】
14．（2013年高考新課標(biāo)1（理））設(shè)當(dāng) 時(shí),函數(shù) 取得最大值,則 ______
【答案】 .
15．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））如圖 中,已知點(diǎn)D在BC邊上,AD AC, 則 的長(zhǎng)為_(kāi)______________
【答案】
16．（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）函數(shù) 的最小正周期是_____________
【答案】
17．（2013年高考四川卷（理））設(shè) , ,則 的值是_________.
【答案】
18．（2013年高考上海卷（理））若 ,則
【答案】 .
19．（2013年高考上海卷（理））已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)應(yīng)邊分別為a、b、c,若 ,則角C的大小是_______________(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)
【答案】
20．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對(duì)））已知 是第三象限角, ,則 ____________.
【答案】
21．（2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對(duì)純WORD版含附加題））函數(shù) 的最小正周期為_(kāi)__________.
【答案】
22．（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）在 中,角 所對(duì)邊長(zhǎng)分別為 ,若 ,則 _______
【答案】7
23．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））設(shè) 的內(nèi)角 所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為 .若 ,則 則角 _____.
【答案】
24．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案））設(shè) 為第二象限角,若 ,則 ________.
【答案】
25．（2013年高考江西卷（理））函數(shù) 的最小正周期為 為_(kāi)________.
【答案】
26．（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）函數(shù) 的最大值是_______________
【答案】5
三、解答題
27．（2013年高考北京卷（理））在△ABC中,a=3,b=2 ,∠B=2∠A.
(I)求cosA的值; (II)求c的值.
【答案】解:(I)因?yàn)閍=3,b=2 ,∠B=2∠A. 所以在△ABC中,由正弦定理得 .所以 .故 . (II)由(I)知 ,所以 .又因?yàn)椤螧=2∠A,所以 .所以 . 在△ABC中, . 所以 .
28．（2013年高考陜西卷（理））已知向量 , 設(shè)函數(shù) . (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期. (Ⅱ) 求f (x) 在 上的最大值和最小值.
【答案】解:(Ⅰ) = . 最小正周期 . 所以 最小正周期為 . (Ⅱ) . . 所以,f (x) 在 上的最大值和最小值分別為 .
29．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））在 中,內(nèi)角 的對(duì)邊分別是 ,且 .
(1)求 ; (2)設(shè) ,求 的值.
【 答案】 由題意得
30．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））已知函數(shù) .
(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ) 求f( x)在區(qū)間 上的最大值和最小值.
【答案】
31．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD版））設(shè)向量
(I)若 (II)設(shè)函數(shù)
【答案】 [: 12999.co]
32．（2013年高考上海卷（理））(6分+8分)已知函數(shù) ,其中常數(shù) ;
(1)若 在 上單調(diào)遞增,求 的取值范圍;
(2)令 ,將函數(shù) 的圖像向左平移 個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位,得到函數(shù) 的圖像,區(qū)間 ( 且 )滿(mǎn)足: 在 上至少含有30個(gè)零點(diǎn),在所有滿(mǎn)足上述條件的 中,求 的最小值.
【答案】(1)因?yàn)?,根據(jù)題意有 (2) , 或 , 即 的零點(diǎn)相離間隔依次為 和 , 故若 在 上至少含有30個(gè)零點(diǎn),則 的最小值為 . 33．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對(duì)））設(shè) 的內(nèi)角 的對(duì)邊分別為 , .
(I)求
(II)若 ,求 .
【答案】 34．（2013年高考四川卷（理））在 中,角 的對(duì)邊分別為 ,且 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)若 , ,求向量 在 方向上的投影.
【答案】解: 由 ,得 , 即 , 則 ,即 由 ,得 , 由正弦定理,有 ,所以, . 由題知 ,則 ,故 . 根據(jù)余弦定理,有 , 解得 或 (舍去). 故向量 在 方向上的投影為
35．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案））設(shè)△ 的內(nèi)角 所對(duì)的邊分別為 ,且 , , .
(Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)求 的值.
【答案】解:(Ⅰ)由余弦定理 ,得 , 又 , , ,所以 ,解得 , . (Ⅱ)在△ 中, , 由正弦定理得 , 因?yàn)?,所以 為銳角,所以 因此 .
36．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版））已知函數(shù) 的最小正周期為 .
(Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)討論 在區(qū)間 上的單調(diào)性.
【答案】解: (Ⅰ) .所以 (Ⅱ) 所以
37．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題 （純WORD版））已知函數(shù) 的周期為 ,圖像的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為 ,將函數(shù) 圖像上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),在將所得圖像向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù) 的圖像.
(1)求函數(shù) 與 的解析式;
(2)是否存在 ,使得 按照某種順序成等差數(shù)列?若存在,請(qǐng)確定 的個(gè)數(shù);若不存在,說(shuō)明理由.
(3)求實(shí)數(shù) 與正整數(shù) ,使得 在 內(nèi)恰有2013個(gè)零點(diǎn).
【答案】解:(Ⅰ)由函數(shù) 的周期為 , ,得 又曲線(xiàn) 的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為 , 故 ,得 ,所以 將函數(shù) 圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的 倍(縱坐標(biāo)不變)后可得 的圖象,再將 的圖象向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù) (Ⅱ)當(dāng) 時(shí), , 所以 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程 在 內(nèi)是否有解 設(shè) , 則 因?yàn)?,所以 , 在 內(nèi)單調(diào)遞增 又 , 且函數(shù) 的圖象連續(xù)不斷,故可知函數(shù) 在 內(nèi)存在唯一零點(diǎn) , 即存在唯一的 滿(mǎn)足題意 (Ⅲ)依題意, ,令 當(dāng) ,即 時(shí), ,從而 不是方程 的解,所以方程 等價(jià)于關(guān)于 的方程 , 現(xiàn)研究 時(shí)方程解的情況 令 , 則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究直線(xiàn) 與曲線(xiàn) 在 的交點(diǎn)情況 ,令 ,得 或 當(dāng) 變化時(shí), 和 變化情況如下表
當(dāng) 且 趨近于 時(shí), 趨向于 當(dāng) 且 趨近于 時(shí), 趨向于 當(dāng) 且 趨近于 時(shí), 趨向于 當(dāng) 且 趨近于 時(shí), 趨向于 故當(dāng) 時(shí),直線(xiàn) 與曲線(xiàn) 在 內(nèi)有無(wú)交點(diǎn),在 內(nèi)有 個(gè)交點(diǎn); 當(dāng) 時(shí),直線(xiàn) 與曲線(xiàn) 在 內(nèi)有 個(gè)交點(diǎn),在 內(nèi)無(wú)交點(diǎn); 當(dāng) 時(shí),直線(xiàn) 與曲線(xiàn) 在 內(nèi)有 個(gè)交點(diǎn),在 內(nèi)有 個(gè)交點(diǎn) 由函數(shù) 的周期性,可知當(dāng) 時(shí),直線(xiàn) 與曲線(xiàn) 在 內(nèi)總有偶數(shù)個(gè)交點(diǎn),從而不存在正整數(shù) ,使得直線(xiàn) 與曲線(xiàn) 在 內(nèi)恰有 個(gè)交點(diǎn);當(dāng) 時(shí),直線(xiàn) 與曲線(xiàn) 在 內(nèi)有 個(gè)交點(diǎn),由周期性, ,所以 綜上,當(dāng) , 時(shí),函數(shù) 在 內(nèi)恰有 個(gè)零點(diǎn)
38．（2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對(duì)純WO RD版含附加題））本小題滿(mǎn)分14分.已知 , .
(1)若 ,求證: ;(2)設(shè) ,若 ,求 的值.
【答案】解:(1)∵ ∴ 即 , 又∵ , ∴ ∴ ∴ (2)∵ ∴ 即 兩邊分別平方再相加得: ∴ ∴ ∵ ∴
39．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純WORD版））已知函數(shù) , .
(Ⅰ) 求 的值; (Ⅱ) 若 , ,求 .
【答案】(Ⅰ) ; (Ⅱ) 因?yàn)?, ,所以 , 所以 , 所以 .
40．（2013年高考湖南卷（理））已知函數(shù) .
(I)若 是第一象限角,且 .求 的值;
(II)求使 成立的x的取值集合.
【答案】解: ( I) . (II)
41．（2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對(duì)純WORD版含附加題））本小題滿(mǎn)分16分.如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn) 處下山至 處有兩種路徑.一種是從 沿直線(xiàn)步行到 ,另一種是先從 沿索道乘纜車(chē)到 ,然后從 沿直線(xiàn)步行到 .現(xiàn)有甲.乙兩位游客從 處下山,甲沿 勻速步行,速度為 .在甲出發(fā) 后,乙從 乘纜車(chē)到 ,在 處停留 后,再?gòu)膭蛩俨叫械?.假設(shè)纜車(chē)勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度為 ,山路 長(zhǎng)為 ,經(jīng)測(cè)量, , .
(1)求索道 的長(zhǎng);
(2)問(wèn)乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車(chē)上與甲的距離最短?
(3)為使兩位游客在 處互相等待的時(shí)間不超過(guò) 分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?
【答案】解:(1)∵ , ∴ ∴ , ∴ 根據(jù) 得 (2)設(shè)乙出發(fā)t分鐘后,甲.乙距離為d,則 ∴ ∵ 即 ∴ 時(shí),即乙出發(fā) 分鐘后,乙在纜車(chē)上與甲的距離最短. (3)由正弦定理 得 () 乙從B出發(fā)時(shí),甲已經(jīng)走了50(2+8+1)=550(),還需走710 才能到達(dá)C 設(shè)乙的步行速度為V ,則 ∴ ∴ ∴為使兩位游客在 處互相等待的時(shí)間不超過(guò) 分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在 范圍內(nèi) 法二:解:(1)如圖作BD⊥CA于點(diǎn)D, 設(shè)BD=20k,則DC=25k,AD=48k, AB=52k,由AC=63k=1260, 知:AB=52k=1040. (2)設(shè)乙出發(fā)x分鐘后到達(dá)點(diǎn), 此時(shí)甲到達(dá)N點(diǎn),如圖所示. 則:A=130x,AN=50(x+2), 由余弦定理得:N2=A2+AN2-2 A•ANcosA=7400 x2-14000 x+10000, 其中0≤x≤8,當(dāng)x=3537 (in)時(shí),N最小,此時(shí)乙在纜車(chē)上與甲的距離最短. (3)由(1)知:BC=500,甲到C用時(shí):126050 =1265 (in). 若甲等乙3分鐘,則乙到C用時(shí):1265 +3=1415 (in),在BC上用時(shí):865 (in) . 此時(shí)乙的速度最小,且為:500÷865 =125043 /in. 若乙等甲3分鐘,則乙到C用時(shí):1265 -3=1115 (in),在BC上用時(shí):565 (in) . 此時(shí)乙的速度最大,且為:500÷565 =62514 /in. 故乙步行的速度應(yīng)控制在[125043 ,62514 ]范圍內(nèi).
42．（2013年高考湖北卷（理））在 中,角 , , 對(duì)應(yīng)的邊分別是 , , .已知 .
(I)求角 的大小;
(II)若 的面積 , ,求 的值.
【答案】解:(I)由已知條件得: ,解得 ,角 (II) ,由余弦定理得: ,
43．（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案））△ 在內(nèi)角 的對(duì)邊分別為 ,已知 . (Ⅰ)求 ; (Ⅱ)若 ,求△ 面積的最大值.
【答案】
44．（2013年高考新課標(biāo)1（理））如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3 ,BC=1,P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠BPC=90°
(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA
【答案】(Ⅰ)由已知得,∠PBC= ,∴∠PBA=30o,在△PBA中,由余弦定理得 = = ,∴PA= ; (Ⅱ)設(shè)∠PBA= ,由已知得,PB= ,在△PBA中,由正弦定理得, ,化簡(jiǎn)得, , ∴ = ,∴ = .
45．（2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）本題共有2個(gè)小題,第一小題滿(mǎn)分4 分,第二小題滿(mǎn)分9分. 在平面直角坐標(biāo)系 中,點(diǎn) 在 軸正半軸上,點(diǎn) 在 軸上,其橫坐標(biāo)為 ,且 是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列,記 , .
(1)若 ,求點(diǎn) 的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ,求 的最大值及相應(yīng) 的值.
[解](1)
(2)
【答案】[解](1)設(shè) ,根據(jù)題意, .由 ,知 , 而 , 所以 ,解得 或 . 故點(diǎn) 的坐標(biāo)為 或 . (2)由題意,點(diǎn) 的坐標(biāo)為 , . . 因?yàn)?,所以 , 當(dāng)且僅當(dāng) ,即 時(shí) 等號(hào)成立. 易知 在 上為增函數(shù), 因此,當(dāng) 時(shí), 最大,其最大值為 .
46．（2013年高考江西卷（理））在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知cosC+(conA- sinA)cosB=0.
(1)求角B的大小;若a+c=1,求b的取值范圍
【答案】解:(1)由已知得 即有 因?yàn)?,所以 ,又 ,所以 , 又 ,所以 . (2)由余弦定理,有 . 因?yàn)?,有 . 又 ,于是有 ,即有 .
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