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宜春市2012-2013學(xué)年第一學(xué)期期末統(tǒng)考高三年級數(shù)學(xué)文科試卷命題人徐定榮奉新一中李希亮 審題人 李希亮 吳連進(jìn)（高安中學(xué)）（注意：請將答案填在答題卡上）一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1、復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（ ）A．B．C．D．2、已知、、、均為實(shí)數(shù)，且，則是的（ ）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件3、閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出的結(jié)果是（ ）A．B．C．D．4圍成的區(qū)域的面積是（ ）A．6B．7C．8 D．95、若數(shù)列的前項(xiàng)和，而，通過計(jì)算、、猜想（ ）A B． C． D．6、如下圖是函數(shù)的大致圖象，則（ ）A． B． C． D． 7、下面幾種推理是合情推理的是（ ）1）由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)；由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是；設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若,則的值為；金導(dǎo)電，銀導(dǎo)電，銅導(dǎo)電，鐵導(dǎo)電，所以一切金屬都導(dǎo)電．A．1）（2） 　B．1）（2）（4） C．1）（3） 　 　D．2）（4）8、若直線與圓相切，且為銳角，則該直線的傾斜角是（ ）A． B． C． D．9、在三角形中，，為邊的中點(diǎn)，則中線的長為（ ）A　　 B　 　C　　 D．10、已知兩定點(diǎn)，，若直線上存在點(diǎn)，使得，則稱該直線為優(yōu)美直線，給出下列直線：① ② ③ ④．其中是優(yōu)美直線的序號是（ ）A①④　 B③④　 　C．②③　　 D①③二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分)11、若，則 ．12、，，，其中．則的最小值為________.13、從中隨機(jī)選一個數(shù)從中隨機(jī)選取一個數(shù)則的概率是_____．14、一個棱錐的三視圖如圖（長度單位為m），則該棱錐的表面積是______________m2． 15、已知函數(shù) 為正整數(shù)若存在正整數(shù)滿足，那么我們?yōu)椤昂谜麛?shù)．當(dāng)時(shí)則所有符合條件的好整數(shù)和為 ．三、解答題(本大題共6小題，共75分．解答題寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16、（本小題滿分12分）已知向量＝，， ，設(shè)函. （1）若，求函數(shù)的值；（2）將函數(shù)的圖象先向右平移個單位，再向上平移個單位，使平移后的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，若，，試求的值．17、（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，， 平面，是的中點(diǎn)，且，． （1）求證：平面；（2）求四棱錐的體積．18、（本小題滿分12分）甲、乙、 丙三個工廠同時(shí)生產(chǎn)和兩種型號的產(chǎn)品某天的產(chǎn)量如表單位個型號甲廠乙廠丙廠型20003000型300045005000按廠家進(jìn)行分層抽樣，在該天的產(chǎn)品中抽取個,其中有甲廠產(chǎn)品個.（1）求的值；（2）在甲廠產(chǎn)品中用分層抽樣的方法抽取一個容量為5的樣本，從這個樣本中任取個產(chǎn)品，求至少有個型產(chǎn)品的概率．19、（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足：，且．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（2）若，求．20、（本小題滿分13分）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn)；橢圓 的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，點(diǎn)是它的一個頂點(diǎn)，且其離心率．（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過、兩點(diǎn)分別作拋物線的切線、，切線與相交于點(diǎn)．證明：點(diǎn) 定在直線上（3） 橢圓上是否存在一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)作拋物線的兩條切線、（、為切點(diǎn)），使得直線過點(diǎn)？若存在，求出切線、的方程；若不存在，試說明理由．21、（本小題滿分14分）已知，函數(shù)，（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直? 若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．（3）若實(shí)數(shù)滿足，求證：．2012-2013學(xué)年第一學(xué)期期末統(tǒng)考高三年級數(shù)學(xué)(文科)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、CCBDA，CBBBD, 二、11．2　， 12.1， 13., 14. , 15.54.16、解: (1)∵cosx＝－，x∈，∴sinx＝.………… 2分 ∴f(x)＝＝sin?cos－＝sin－(1＋cosx)＝＝－.………… 6分(2)由(1)知f(x)＝＝?sin－.………… 8分f(x)的圖象向右平移m個單位，再向上平移n個單位后，變?yōu)椋�………�?分由于其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故＝±sinx，…… 10分則m，n的值分別為，．………… 12分17、（1）證明： 取SB的中點(diǎn)N，連接AN、MN……… 2分 ∵ 點(diǎn)M是SC的中點(diǎn) ∴MN∥BC且BC=2MN， ∵ 底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，BC=2，AD=1， ∴ AD∥BC且BC=2AD， ∴ MN∥AD且MN=AD，∴ 四邊形MNAD是平行四邊形，∴DM∥AN，………… 4分∴DM∥平面SAB．………… 6分（2）解：∵ AB⊥底面SAD,底面SAD,底面SAD，∴ AB⊥SA, AB⊥AD，∵ SA⊥CD,AB、CD是平面ABCD內(nèi)的兩條相交直線∴ 側(cè)棱SA⊥底面ABCD ………………… 8分又在四棱錐S-ABCD中，側(cè)棱SA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，SA=AB=BC=2，AD=1，又M是SC的中點(diǎn)．∴……… 12分18、解：（1）設(shè)乙廠該天的產(chǎn)品為n個,在丙廠的產(chǎn)品中抽取x個，由題意得, ,所以x=40. -----------2分則100－40－25＝35，所以，n=7000， 故z＝7000－4500＝2500 ----------6分（2）設(shè)所抽樣本中有m個A型產(chǎn)品,因?yàn)橛梅謱映闃拥姆椒ㄔ诩讖S產(chǎn)品中抽取一個容量為5的樣本,所以,解得m=2 -----------9分也就是抽取了2個A型產(chǎn)品,3個B型產(chǎn)品,分別記作S1,S2;B1,B2,B3,則從中任取2個的所有基本事件為(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共10個,其中至少有1個A型產(chǎn)品的基本事件有7個基本事件: (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以從中任取2個,至少有1個A型產(chǎn)品的概率為. -----------12分19、解：（1）當(dāng)………… 4分∴，∴ ………… 6分（2）∵，………… 7分∴………… 8分=………… 10分………… 12分20、解：（1）設(shè)橢圓的方程為 ，半焦距為.，∴解得 .所以橢圓的方程為：.…………3分（2）顯然直線的斜率存在，否則直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，不合題意， 故可設(shè)直線的方程為 ，， 由 消去并整理得 ，∴ ………… 5分∵拋物線的方為，求導(dǎo)得，∴過拋物線上、兩點(diǎn)的切線方程分別是， ，即 ， ，………6分解得兩條切線、的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，∴點(diǎn)M在直線y=-1上．.………… 8分 （3）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，由（2）知點(diǎn)必在直線上，又直線與橢圓有唯一交點(diǎn)，故的坐標(biāo)為，………… 9分設(shè)過點(diǎn)且與拋物線相切的切線方程為：，其中點(diǎn)為切點(diǎn). 令得，， 解得或………… 11分 故不妨取，即直線過點(diǎn). 綜上所述，橢圓上存在一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)作拋物線的兩條切線、（、為切點(diǎn)），能使直線過點(diǎn).此時(shí)，兩切線、的方程分別為和………… 13分21、解：（1）∵，，∴…… 1分①若，則，在上單調(diào)遞增………… 2分 ②若，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增………… 3分③若，則，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減………… 4分（2）解：∵，，………… 5分由（1）易知，時(shí)，在上的最小值：，即時(shí)，． 又，∴………… 7分曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直等價(jià)于方程有實(shí)數(shù)解…… 8分而，即方程無實(shí)數(shù)解．故不存在………… 9分（3）證明：，………… 12分由（2）知，令得即可………… 14分高三數(shù)學(xué)（文科）試題第1頁（共4頁）俯視圖左視圖主視圖第17題圖ACDBMS江西省宜春市2012—2013學(xué)年高三第一學(xué)期期末統(tǒng)考數(shù)學(xué)（文）試卷
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