新標(biāo)——回歸教材
導(dǎo)數(shù)
1.導(dǎo)數(shù)的背景:(1)切線的斜率;(2)瞬時速度.
典例:一物體的運動方程是 ,其中 的單位是米, 的單位是秒,那么物體在 時的瞬時速度為 5米/秒 .
2.導(dǎo)函數(shù)的概念:如果函數(shù) 在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo),對于開區(qū)間 內(nèi)的每一個 ,都對應(yīng)著一個導(dǎo)數(shù) ,這樣 在開區(qū)間 內(nèi)構(gòu)成一個新的函數(shù),這一新的函數(shù)叫做 在開區(qū)間 內(nèi)的導(dǎo)函數(shù),記作 ,簡稱導(dǎo)數(shù).
3.求 在 處的導(dǎo)數(shù)的步驟:(1)求函數(shù)的改變量 ;(2)求平均變化率 ;(3)取極限,得導(dǎo)數(shù) .
4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù) 在點 處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,就是曲線 在點 處的切線的斜率,即曲線 在點 處的切線的斜率是 ,相應(yīng)地切線的方程是 .
特別提醒:(1)在求曲線的切線方程時,要注意區(qū)分所求切線是曲線上某點處的切線,還是過某點的切線:曲線上某點處的切線只有一條,而過某點的切線不一定只有一條,即使此點在曲線上也不一定只有一條;(2)在求過某一點的切線方程時,要首先判斷此點是在曲線上,還是不在曲線上,只有當(dāng)此點在曲線上時,此點處的切線的斜率才是 .
典例:(1) 在曲線 上移動,在點 處的切線的傾斜角為 ,則 ;
(2)直線 是曲線 的一條切線,則實數(shù) 的值為 －3或1 ;
(3)若函數(shù) ( 為常數(shù))圖象上 處的切線與 的夾角為 ,則 點的橫坐標(biāo)為 ;(數(shù)形結(jié)合,可知切線的傾斜角只能為0或900(舍去))
(4)曲線 在點 處的切線方程是 ;
(5)已知函數(shù) ,又 的圖象與 軸交于 .
①求 的值;②求過點 的曲線 的切線方程（答:①1;② 或 ）.
5.導(dǎo)數(shù)的公式、法則:
(1)常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0,即 （ 為常數(shù)）;
(2) ,與此有關(guān)的常用結(jié)論: ;
(3)
(4) ; ;
典例:(1)已知函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)為 ,則 ;
(2)函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)為 ;
(3)若對任意 , ,則 是 .
6.多項式函數(shù)的單調(diào)性:(1)多項式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性:
①若 ,則 為增函數(shù);若 ,則 為減函數(shù);若 恒成立,則 為常數(shù)函數(shù);若 的符號不確定,則 不是單調(diào)函數(shù).
②若函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增,則 ,反之等號不成立;若函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減,則 ,反之等號不成立.
典例:(1)函數(shù) ,當(dāng) 時, 的單調(diào)性是 增函數(shù) ;
(2)設(shè) 函數(shù) 在 上單調(diào)函數(shù),則實數(shù) 的取值范圍 ;
(3)已知函數(shù) 為常數(shù)）在區(qū)間 上單調(diào)遞增,且方程 的根都在區(qū)間 內(nèi),則 的取值范圍是 ;
(4)已知 , ,設(shè) ,試問是否存在實數(shù) ,使 在 上是減函數(shù),并且在 上是增函數(shù)？（答: ）
(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟:(1)求 ;(2)求方程 的根,設(shè)根為 ;(3) 將給定區(qū)間分成n+1個子區(qū)間,再在每一個子區(qū)間內(nèi)判斷 的符號,由此確定每一子區(qū)間的單調(diào)性.
典例:設(shè)函數(shù) 在 處有極值,且 ,求 的單調(diào)區(qū)間.（答:遞增區(qū)間（－1,1）,遞減區(qū)間 ）
7、函數(shù)的極值:
(1)定義:設(shè)函數(shù) 在點 附近有定義,如果對 附近所有的點,都有 ,就說是 函數(shù) 的一個極大值.記作 ＝ ,如果對 附近所有的點,都有 ,就說是 函數(shù) 的一個極小值.記作 ＝ .極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.
(2)求函數(shù) 在某個區(qū)間上的極值的步驟:（i）求導(dǎo)數(shù) ;（ii）求方程 的根 ;（iii）檢查 在方程 的根 的左右的符號:“左正右負(fù)” 在 處取極大值;“左負(fù)右正” 在 處取極小值.
特別提醒:(1) 是極值點的充要條是 點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號,而不僅是 ＝0, ＝0是 為極值點的必要而不充分條.(2)給出函數(shù)極大(小)值的條,一定要既考慮 ,又要考慮檢驗“左正右負(fù)”(“左負(fù)右正”)的轉(zhuǎn)化,否則條沒有用完,這一點一定要切記！
典例:(1)函數(shù) 的極值點是( C )
A、極大值點 B、極大值點 C、極小值點 D、極小值點 ;
(2)函數(shù) 處有極小值10,則a+b的值為 －7 ;
(3)已知 在區(qū)間[－1,2 ]上是減函數(shù),那么b＋c有最 大 值 .
特別小結(jié):三次函數(shù) 的極值情況.
記其導(dǎo)函數(shù) 的判別式為 ,其圖象對稱軸為 .則
(1)若 時,三次函數(shù) 無極值,
①當(dāng) 時, , 在定義域上遞增;②當(dāng) 時, , 在定義域上遞減.
(2) 若 時,記 的兩根為 ,則三次函數(shù) 有極值,且
①當(dāng) 時, (簡稱為左大右小);
②當(dāng) 時, (簡稱為左小右大);
綜上,三次函數(shù) 有極值的充要條為 .
(3)三次函數(shù) 都有對稱中心,其坐標(biāo)為 .
典例:已知函數(shù) 有極值,則實數(shù) 的取值范圍是 ;
8.函數(shù)的最大值和最小值:
(1)定義:函數(shù) 在一閉區(qū)間上的最大值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極大值與其端點值中的“最大值”;函數(shù) 在一閉區(qū)間上的最小值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極小值與其端點值中的“最小值”.
(2)求函數(shù) 在[ ]上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù) 在 內(nèi)的極值（極大值或極小值）;(2)將 的各極值與 , 比較,其中最大的一個為最大值,最小的一個為最小值.
典例:(1)函數(shù) 在[0,3]上的最大值、最小值分別是 ;
(2)用總長14.8m的鋼條制作一個長方體容器的框架,如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長0.5m.那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積.
（答:高為1.2米時,容積最大為 ）
特別注意:(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值（極值）時,要注意列表！
(2)要善于應(yīng)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù),考察函數(shù)單調(diào)性、最值(極值),研究函數(shù)的性態(tài),數(shù)形結(jié)合解決方程不等式等相關(guān)問題.
典例:(1) 是 的導(dǎo)函數(shù), 的圖象如下圖所示,則 的圖象只可能是( D )
(2)圖形(如圖所示)是由底為1，高為1的等腰三角形及
高為2和3的兩個矩形所構(gòu)成，函數(shù)S＝S(a)(a≥0)是圖形
介于平行線y＝0及y＝a之間的那一部分面積，則函數(shù)
S(a)的圖象大致是 ( C )
(3)方程 的實根的個數(shù)為 1 ;
(4)已知函數(shù) ,拋物線 ,當(dāng) 時,函數(shù) 的圖象在拋物線 的上方,求 的取值范圍（答: ）.
(5)求證: (構(gòu)造函數(shù)法)
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