第十四 推理與證明
高考導(dǎo)航
考試要求重難點(diǎn)擊命題展望
1.了解合情推理的含義.
2.能利用歸納與類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理.
3.體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.
4.了解演繹推理的重要性.
5.掌握演繹推理的基本模式：“三段論”.
6.能運(yùn)用演繹推理進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理.
7.了解演繹推理、合情推理的聯(lián)系與區(qū)別.
8.了解直接證明的兩種基本方法：分析法與綜合法.
9.了解分析法與綜合法的思維過程、特點(diǎn).
10.了解反證法是間接證明的一種基本方法及反證法的思維過程、特點(diǎn).
11.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.
12.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題. 本重點(diǎn)：1.利用歸納與類比進(jìn)行推理；2.利用“三段論”進(jìn)行推理與證明；3.運(yùn)用直接證明(分析法、綜合法)與間接證明(反證法)的方法證明一些簡(jiǎn)單的命題；4.數(shù) 學(xué)歸納法的基本思想與證明步驟；運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)n(n∈N*)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題.
本難點(diǎn)：1.利用歸納與類比的推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論并形成猜想命題；2.根據(jù)綜合法、分析法及反證法的思維過程與特點(diǎn)選取適當(dāng)?shù)淖C明方法證明命題；3.理解數(shù)學(xué)歸納法的思維實(shí)質(zhì)，特別是在第二個(gè)步驟要根據(jù)歸納假設(shè)進(jìn)行推理與證明. “推理與證明”是數(shù)學(xué)的基本思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式.本要求考生通過對(duì)已有知識(shí)的回顧與總結(jié)，進(jìn)一步體會(huì)直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等數(shù)學(xué)思維過程以及合情推理、演繹推理之間的聯(lián)系與差異，體會(huì)數(shù)學(xué)證明的特點(diǎn)，了解數(shù)學(xué)證明的基本方法.
本是新程考綱中新增的內(nèi)容，考查的范圍寬，內(nèi)容多，涉及數(shù)學(xué)知識(shí)的方方面面，與舊考綱相比，增加了合情推理等知識(shí)點(diǎn)，這為創(chuàng)新性試題的命制提供了空間.
知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
14.1 合情推理與演繹推理
典例精析
題型一 運(yùn)用歸納推理發(fā)現(xiàn)一般性結(jié)論
【例1】 通過觀察下列等式，猜想出一個(gè)一般性的結(jié)論，并證明結(jié)論的真假.
sin215°＋sin275°＋sin2135°＝32；
sin230°＋sin290°＋sin2150°＝32；
sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝32；
sin260°＋sin2120°＋sin2180°＝32.
【解析】猜想：sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝32.
左邊＝(sin αcos 60°－cos αsin 60°)2＋sin2α＋(sin αcos 60°＋cos αsin 60°)2＝32(sin2α＋cos2α)＝32＝右邊.
【點(diǎn)撥】先猜后證是一種常見題型；歸納推理的一些常見形式：一是“具有共同特征型”，二是“遞推型”，三是“循環(huán)型”(周期性).
【變式訓(xùn)練1】設(shè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，斜邊上的高為h，則有a＋b＜c＋h成立，某同學(xué)通過類比得到如下四個(gè)結(jié)論：
①a2＋b2＞c2＋h2；②a3＋b3＜c3＋h3；③a4＋b4＜c4＋h4；④a5＋b5＞c5＋h5.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是 ��；
進(jìn)一步類比得到的一般結(jié)論是 .
【解析】②③；an＋bn＜cn＋hn(n∈N*).
題型二 運(yùn)用類比推理拓展新知識(shí)
【例2】 請(qǐng)用類比推理完成下表：
平面空間
三角形兩邊之和大于第三邊三棱錐任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積
三角形的面積等于任意一邊的長(zhǎng)度與這邊上的高的乘積的一半三棱錐的體積等于任意一個(gè)底面的面積與該底面上的高的乘積的三分之一
三角形的面積等于其內(nèi)切圓半徑與三角形周長(zhǎng)的乘積的一半
【解析】 本題由已知的前兩組類比可得到如下信息：
①平面中的三角形與空間中的三棱錐是類比對(duì)象；②三角形各邊的邊長(zhǎng)與三棱錐各面的面積是類比對(duì)象；③三角形邊上的高與三棱錐面上的高是類比對(duì)象；④三角形的面積與三棱錐的體積是類比對(duì)象；⑤三 角形的面積公式中的“二分之一”與三棱錐的體積公式中的“三分之一”是類比對(duì)象.
由以上分析可知：
故第三行空格應(yīng)填：三棱錐的體積等于其內(nèi)切球半徑與三棱錐表面積的乘積的三分之一.
本題結(jié)論可以用等體積法，將三棱錐分割成四個(gè)小的三棱錐去證明，此處從略.
【點(diǎn)撥】類比推理的關(guān)鍵是找到合適的類比對(duì)象.平面幾何中的一些定理、公式、結(jié)論等，可以類比到立體幾何中，得到類似的結(jié)論.一般平面中的一些元素與空間中的一些元素的類比列表如下：
平面空間
點(diǎn)線
線面
圓球
三角形三棱錐
角二面角
面積體積
周長(zhǎng)表面積
……
【變式訓(xùn)練2】面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長(zhǎng)記為ai(i＝1,2,3,4)，此四邊形內(nèi)任一點(diǎn)P到第i條邊的距離 為hi(i＝1,2,3,4)，(1)若a11＝a22＝a33＝a44＝k，則 ＝ ��；(2)類比以上性質(zhì)，體積為V的三棱錐的第i個(gè)面的面積記為Si(i＝1,2,3,4)，此三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)Q到第i個(gè)面的距離記為Hi(i＝1,2,3,4)，若S11＝S22＝S33＝S44＝，則 ＝ .
【解析】2Sk；3V.
題型三 運(yùn)用“三段論”進(jìn)行演繹推理
【例3】已知函數(shù)f(x)＝ln ax－x－ax(a≠0).
(1)求此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值；
(2)求證：對(duì)于任意正整數(shù)n，均有1＋12＋13＋…＋1n≥ln enn！.
【解析】(1)由題意f′(x)＝x－ax2.
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，
此時(shí)函數(shù)在(0，a)上是減函數(shù)，在(a，＋∞)上是增函數(shù)，
fmin(x)＝f(a)＝ln a2，無(wú)最大值.
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)，
此時(shí)函數(shù)在(－∞，a)上是減函數(shù)，在(a,0)上是增函數(shù)，
fmin(x)＝f(a)＝ln a2，無(wú)最大值.
(2)取a＝1，由(1)知，f(x)＝ln x－x－1x≥f(1)＝0，
故1x≥1－ln x＝ln ex，
取x＝1,2,3，…，n，則1＋12＋ 13＋…＋1n≥ln e＋ln e2＋…＋ln en＝ln enn！.
【點(diǎn)撥】演繹推理是推理證明的主要途徑，而“三段論”是演繹推理的一種重要的推理形式，在高考中以證明題出現(xiàn)的頻率較大.
【變式訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)＝eg(x)，g(x)＝kx－1x＋1(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，
(1)若對(duì)任意的x＞0，都有f(x)＜x＋1，求滿足條的最大整數(shù)k的 值；
(2)求證：ln(1＋1×2)＋ln(1＋2×3)＋…＋ln[1＋n(n＋1)]＞2n－3(n∈N*).
【解析】(1)由條得到f(1)＜2⇒ ＜2⇒k＜2ln 2＋1＜3，猜測(cè)最大整數(shù)k＝2，
現(xiàn)在證明 ＜x＋1對(duì)任意x＞0恒成立：
＜x＋1等價(jià)于2－3x＋1＜ln(x＋1)⇔ln(x＋1)＋3x＋1＞2，
設(shè)h(x)＝ln(x＋1)＋3x＋1，則h′(x)＝1x＋1－3(x＋1)2＝x－2(x＋1)2.
故x∈(0,2)時(shí)，h′(x)＜0，當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，h′(x)＞0.
所以對(duì)任意的x＞0都有h(x)≥h(2)＝ln 3＋1＞2，即 ＜x＋1對(duì)任意x＞0恒成立，
所以整數(shù)k的最大值為2.
(2)由(1)得到不等式2－3x＋1＜ln(x＋1)，
所以ln[1＋k(k＋1)]＞2－3k(k＋1)＋1＞2－3k(k＋1)，
ln(1＋1×2)＋ln(1＋2×3)＋…＋ln[1＋n(n＋1)]＞(2－31×2)＋(2－32×3)＋…＋[2－3n(n＋1)]＝2n－3[11×2＋12×3＋…＋1n(n＋1)]＝2n－3＋3n＋1＞2n－3，
所以原不等式成立.
總結(jié)提高
合情推理與演繹推理是兩種基本的思維推理方式.盡管合情推理(歸納、類比)得到的結(jié)論未必正確，但歸納推理與類比推理具有猜想和發(fā)現(xiàn)新結(jié)論、探索和提供證明的新思路的重要作用，特別在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們可以由熟悉的、已知的知識(shí)領(lǐng)域運(yùn)用歸納、類比思維獲取發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的靈感去探索陌生的、未知的知識(shí)領(lǐng)域.演繹推理是數(shù)學(xué)邏輯思維的主要形式，擔(dān)負(fù)著判斷命題真假的重要使命.如果說合情推理是以感性思維為主，只需有感而發(fā)；那么演繹推理則是以理性思維為主，要求言必有據(jù).在近幾年高考中一道合情推理的 試題往往會(huì)成為一套高考試題的特色與亮點(diǎn)，以彰顯數(shù)學(xué)思維的魅力.其中數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式的歸納、等差數(shù)列與等比數(shù)列、平面與空間、圓錐曲線與圓、楊輝三角等的類比的考查頻率較大.而演繹推理的考查則可以滲透到每一道試題中.
14.2 直接證明與間接證明
典例精析
題型一 運(yùn)用綜合法證明
【例1】設(shè)a＞0，b＞0，a＋b＝1，求證：1a＋1b＋1ab≥8.
【證明】因?yàn)閍＋b＝1，
所以1a＋1b＋1ab＝a＋ba＋a＋bb＋a＋bab＝1＋ba＋1＋ab＋a＋bab≥2＋ ＋a＋b(a＋b2)2＝2＋2＋4＝8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝12時(shí)等號(hào)成立.
【點(diǎn)撥】在用綜合法證明命題時(shí)，必須首先找到正確的出發(fā)點(diǎn)，也就是能想到從哪里起步，我們一般的處理方法是廣泛地聯(lián)想已知條所具備的各種性質(zhì)，逐層推進(jìn)，從已知逐漸引出結(jié)論.
【變式訓(xùn)練1】設(shè)a，b，c＞0，求證：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.
【證明】因?yàn)閍，b，c＞0，根據(jù)基本不等式，
有a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c.
三式相加：a2b＋b2c＋c2a＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c).
即a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.
題型二 運(yùn)用分析法證明
【例2】設(shè)a、b、c為任意三角形三邊長(zhǎng)，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca.求證：I2＜4S.
【證明】由I2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)＝a2＋b2＋c2＋2S，
故要證I2＜4S，只需證a2＋b2＋c2＋2S＜4S，即a2＋b2＋c2＜2S.
欲證上式，只需證a2＋b2＋c2－2ab－2bc－2ca＜0，
即證(a2－ab－ac)＋(b2－bc－ba)＋(c2－ca－cb)＜0，
只需證三括號(hào)中的式子均為負(fù)值即可，
即證a2＜ab＋ac，b2＜bc＋ba，c2＜ca＋cb，
即a＜b＋c，b＜a＋c，c＜a＋b，
顯然成立，因?yàn)槿切稳我庖贿呅∮谄渌麅蛇呏?
故I2＜4S.
【點(diǎn)撥】(1)應(yīng)用分析法易于找到思路的起始點(diǎn)，可探求解題途徑.
(2)應(yīng)用分析法證明問題時(shí)要注意：嚴(yán)格按分析法的語(yǔ)言表達(dá)；下一步是上一步的充分條.
【變式訓(xùn)練2】已知a＞0，求證：a2＋1a2－2≥a＋1a－2.
【證明】要證a2＋1a2－2≥a＋1a－2，
只要證a2＋1a2＋2≥a＋1a＋2.
因?yàn)閍＞0，故只要證(a2＋1a2＋2)2≥(a＋1a＋2)2，
即a2＋1a2＋4a2＋1a2＋4≥a2＋2＋1a2＋22(a＋1a)＋2，
從而只要證2a2＋1a2≥2(a＋1a)，
只要證4(a2＋1a2)≥2(a2 ＋2＋1a2)，即a2＋1a2≥2，
而該不等式顯然成立，故原不等式成立.
題型三 運(yùn)用反證法證明
【例3】 若x，y都是正實(shí)數(shù)，且x＋y＞2.求證：1＋xy＜2或1＋yx＜2中至少有一個(gè)成立.
【證明】假設(shè)1＋xy＜2和1＋yx＜2都不成立.則1＋xy≥2，1＋yx≥2同時(shí)成立.
因?yàn)閤＞0且y＞0，所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，
兩式相加得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2，這與已知條x＋y＞2相矛盾.
因此1＋xy＜2與1＋yx＜2中至少有一個(gè)成立.
【點(diǎn)撥 】一般以下題型用反證法：①當(dāng)“結(jié)論”的反面比“結(jié)論”本身更簡(jiǎn)單、更具體、更明確；②否定命題，唯一性命題，存在性命題，“至多”“至少”型命題；③有的肯定形式命題，由于已知或結(jié)論涉及到無(wú)限個(gè)元素，用直接證明形式比較困難因而往往采用反證法.
【變式訓(xùn)練3】已知下列三個(gè)方程：x2＋4ax－4a＋3＝0；x2＋(a－1)x＋a2＝0；x2＋2ax－2a＝0，若至少有一個(gè)方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解析】假設(shè)三個(gè)方程均無(wú)實(shí)根，則有
由(4a)2－4(－4a＋3)＜0，得4a2＋4a－3＜0，即－32＜a＜12；
由(a－1)2－4a2＜0，得(a＋1)(3a－1)＞0，即a＜－1或a＞13；
由(2a)2－4(－2a)＜0，得a(a＋2)＜0，即－2＜a＜0.
以上三部分取交集得＝{a－32＜a＜－1}，則三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根的實(shí)數(shù)a的取值范圍為∁R，即{aa≤－32或a≥－1}.
總結(jié)提高
分析法與綜合法各有其優(yōu)缺點(diǎn)：分析法是執(zhí)果索因，比較容易尋求解題思路，但敘述繁瑣；綜合法敘述簡(jiǎn)潔，但常常思路阻塞.因此在實(shí)際解題時(shí)，需將兩者結(jié)合起運(yùn)用，先用分析法尋求解題思路，再用綜合法簡(jiǎn)潔地?cái)⑹鼋忸}過程.從邏輯思維的角度看，原命題“p⇒q”與逆否命題“ q⇒ p”是等價(jià)的，而反證法是相當(dāng)于由“ q”推出“ p”成立，從而證明了原命題正確.因此在運(yùn)用反證法的證明過程中要特別注意條“ q”的推理作用.綜合法與分析法在新標(biāo)中第一次成為獨(dú)立的顯性的題，預(yù)測(cè)可能有顯性的相關(guān)考試命題.反證法證明的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以是與已知矛盾，或與假設(shè)矛盾或與定義、公理、公式事實(shí)矛盾等.
14.3 數(shù)學(xué)歸納法
典例精析
題型一 用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式
【例1】是否存在常數(shù)a、b、c，使等式12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)對(duì)于一切n∈N*都成立？若存在，求出a、b、c并證明；若不存在，試說明理由.
【解析】 假設(shè)存在a、b、c使12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)對(duì)于一切n∈N*都成立.
當(dāng)n＝1時(shí)，a(b＋c)＝1；
當(dāng)n＝2時(shí)，2a(4b＋c)＝6；
當(dāng)n＝3時(shí)，3a(9b＋c)＝19.
解方程組 解得
證明如下：
當(dāng)n＝1時(shí)，顯然成立；
假設(shè)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)等式成立，
即12＋22＋32＋…＋k2＋ (k－1)2 ＋…＋22＋12＝13k(2k2＋1)；
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝13k(2k2＋1)＋(k＋1)2＋k2
＝13k(2k2＋3k＋1)＋(k＋1)2＝13k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)2
＝13(k＋1)(2k2＋4k＋3)＝13(k＋1)[2(k＋1)2＋1].
因此存在a＝13，b＝2，c＝1，使等式對(duì)一切n∈N*都成立.
【點(diǎn)撥】 用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的恒等式時(shí)要弄清等式兩邊的項(xiàng)的構(gòu)成規(guī)律：由n＝k到n＝k＋1時(shí)等式左右各如何增減，發(fā)生了怎樣的變化.
【變式訓(xùn)練1】用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)n∈N*時(shí)，11×3＋13×5＋…＋1(2n－1)(2n＋1)＝n2n＋1.
【證明】(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝11×3＝13，右邊＝12×1＋1＝13，
左邊＝右邊，所以等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)等式成立，即有11×3＋13×5＋…＋1(2k－1)(2k＋1)＝k2k＋1，
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
11×3＋13×5＋…＋1(2k－1)(2k＋1)＋1(2k＋1)(2k＋3)＝k2k＋1＋1(2k＋1)(2k＋3)
＝k(2k＋3)＋1(2k＋1)(2k＋3)＝2k2＋3k＋1(2k＋1)(2k＋3)＝k＋12k＋3＝k＋12(k＋1)＋1，
所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立.
由(1)(2)可知，對(duì)一切n∈N*等式都成立.
題型二 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題
【例2】 已知f(n)＝(2n＋7)•3n＋9，是否存在自然數(shù)m使得任意的n∈N*，都有m整除f(n)？若存在，求出最大的m值，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【解析】 由f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360，猜想：f(n)能被36整除，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.
(1)當(dāng)n＝1時(shí)，結(jié)論顯然成立；
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)結(jié)論成立，即f(k)＝(2k＋7)•3k＋9能被36整除.
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＝(2k＋9)•3k＋1＋9＝3[(2k＋7)•3k＋9]＋18(3k－1－1)，
由假設(shè)知3[(2k＋7)•3k＋9]能被36 整除，又3k－1－1是 偶數(shù)，
故18(3k－1－1)也能被36 整除.即n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立.
故由(1)(2)可知，對(duì)任意正整數(shù)n都有f(n)能被36整除.
由f(1)＝36知36是整除f(n)的最大值.
【點(diǎn)撥】 與正整數(shù)n有關(guān)的整除性問題也可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明. 在證明n＝k＋1結(jié)論也成立時(shí)，要注意“湊形”，即湊出歸納假設(shè)的形式，以便于充分利用歸納假設(shè)的條.
【變式訓(xùn)練2】求證：當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.
【證明】方法一：①當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝34－8－9＝64，命題顯然成立.
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)結(jié)論成立，即f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除.
由于32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋9•8k＋9•9－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)，即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)，
所以n＝k＋1時(shí)命題也成立.
根據(jù)①②可知，對(duì)任意的n∈N*，命題都成立.
方法二：①當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝34－8－9＝64，命題顯然成立.
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除.由歸納假設(shè)，設(shè)32k＋2－8k－9＝64m(m為大于1的自然數(shù))，將32k＋2＝64m＋8k＋9代入到f(k ＋1)中得
f(k＋1)＝9(64m＋8k＋9)－8(k＋1)－9＝64(9m＋k＋1)，所以n＝k＋1時(shí)命題也成立.
根據(jù)①②可知，對(duì)任意的n∈N*，命題都成立.
題型三 數(shù)學(xué)歸納法在函數(shù)、數(shù)列、不等式證明中的運(yùn)用
【例3】(2009東)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意的n∈N*，點(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù))的圖象上.
(1)求r的值；
(2)當(dāng)b＝2時(shí)，記bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，求證：對(duì)任意的n∈N*，不等式b1＋1b1•
b2＋1b2•…•bn＋1bn＞n＋1成立.
【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù))的圖象上，
所以Sn＝bn＋r(b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù)).
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝b＋r；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝bn＋r－bn－1－r＝(b－1)bn－1.
又?jǐn)?shù)列{an}為等比數(shù)列，故r＝－1且公比為b.
(2)當(dāng)b＝2時(shí)，an＝2n－1，
所以bn＝2(log2an＋1)＝2(log22n－1＋1)＝2n(n∈N*)，
所以bn＋1bn＝2n＋12n，
于是要證明的不等式為32•54•…•2n＋12n＞n＋1對(duì)任意的n∈N*成立.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.
當(dāng)n＝1時(shí)，32＞2顯然成立.
假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)不等式成立，即32•54•…•2k＋12k＞k＋1.
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，32•54•…•2k＋12k•2k＋32k＋2＞k＋1•2k＋32k＋2＝k＋1•(2k＋32k＋2)2＝(2k＋3)24(k＋1)
＝[2(k＋1)＋1]24(k＋1)＝4(k＋1)2＋4(k＋1)＋14(k＋1)＝(k＋1)＋1＋14(k＋1)＞(k＋1)＋1，
即當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式成立，所以原不等式對(duì)任意n∈N*成立.
【點(diǎn)撥】 運(yùn)用歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，需進(jìn)行證明.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)必須要利用歸納假設(shè)的條，并且靈活運(yùn)用放縮法、基本不等式等數(shù)學(xué)方法.
【變式訓(xùn)練3】設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－1＋ax(a∈R).
(1)若函數(shù)f(x)在x＝1處有極值，且函數(shù)g(x)＝f(x)＋b在(0，＋∞)上有零點(diǎn)，求b的最大值；
(2)若f(x)在(1,2)上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)在(1)的條下，數(shù)列{an}中a1＝1，an＋1＝f(an)－f′(an)，求an＋1－an的最小值.
【解析】(1)f′(x)＝ex－1－ax2，又函數(shù)f(x)在x＝1處有極值，
所以f′(1)＝0，即a＝1，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.
g′(x)＝ex－1－1x2，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g′(x)＜0，g(x)為減函數(shù)，當(dāng)x＝1時(shí)，g′(x)＝0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)g′(x)＞0，g(x)為增函數(shù).
所以g(x)在x＝1時(shí)取得極小值g(1)＝2＋b，依題意g(1)≤0，所以b≤－2，
所以b的最大值為－2.
(2)f′(x)＝ex－1－ax2，
當(dāng)f(x)在(1,2)上單調(diào)遞增時(shí)，ex－1－ax2≥0在[1,2]上恒成立，所以a≤x2ex－1，
令h(x)＝x2 ，則h′(x)＝ex－1(x2＋2x)＞0在[1,2]上恒成立，即h(x)在[1,2]上單調(diào)遞增，
所以h(x)在[1,2]上的最小值為h(1)＝1，所以a≤1；
當(dāng)f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減時(shí)，同理a≥x2ex－1，
h(x)＝x2ex－1在[1,2]上的最大值為h(2)＝4e，所以a≥4e.
綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤1或a≥4e.
(3)由(1)得a＝1，所以f(x)－f′(x)＝1x＋1x2，因此an＋1＝1an＋1a2n，a1＝1，所以a2＝2，可得0＜a2n＋1＜1，a2n＋2＞2.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n＝1時(shí)，a3＝34，a4＝289，結(jié)論成立；
②設(shè)n＝k，k∈N*時(shí)結(jié)論成立，即0＜a2k＋1＜1，a2k＋2＞2，
則n＝k＋1時(shí)，a2k＋3＝1a2k＋2＋1a22k＋2＜12＋12＝1，
所以0＜a2k＋3＜1，a2k＋4＝1a2k＋3＋1a22k＋3＞1＋1＝2.
所以n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立，
根據(jù)①②可得0＜a2n＋1＜1，a2n＋2＞2恒成立，
所以an＋1－an≥a2－a1＝2－1＝1，即an＋1－an的最小值為1.
總結(jié) 提高
數(shù)學(xué)歸納法是證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的常用方法，它是在歸納的基礎(chǔ)上進(jìn)行的演繹推理，其大前提是皮亞諾公理(即歸納公理)：
設(shè)是正整數(shù)集合的子集，且具有如下性質(zhì)：
①1∈；
②若k∈，則k＋1∈，那么必有＝N*成立.
數(shù)學(xué)歸納法證明的兩個(gè)步驟體現(xiàn)了遞推的數(shù)學(xué)思想，第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，通過對(duì)兩個(gè)命題的證明替代了無(wú)限多次的驗(yàn)證，實(shí)現(xiàn)了有限與無(wú)限的辯證統(tǒng)一.
從近幾年的高考試題看，比較注重于對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的思想本質(zhì)的考查，如“歸納、猜想、證明”是一種常見的命題形式.而涉及的知識(shí)內(nèi)容也是很廣泛的，可覆蓋代數(shù)命題、三角恒等式、不等式、數(shù)列、幾何命題、整除性命題等.其難點(diǎn)往往在第二步，關(guān)鍵是“湊形”以便運(yùn)用歸納假設(shè)的條.
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.douzifanli.com/gaosan/39892.html
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