第十五 復(fù)數(shù)
一、基礎(chǔ)知識(shí)
1．復(fù)數(shù)的定義：設(shè)i為方程x2=-1的根，i稱為虛數(shù)單位，由i與實(shí)數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除等運(yùn)算。便產(chǎn)生形如a+bi（a,b∈R）的數(shù)，稱為復(fù)數(shù)。所有復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合稱復(fù)數(shù)集。通常用C表示。
2．復(fù)數(shù)的幾種形式。對(duì)任意復(fù)數(shù)z=a+bi（a,b∈R），a稱實(shí)部記作Re(z),b稱虛部記作Im(z). z=ai稱為代數(shù)形式，它由實(shí)部、虛部?jī)刹糠謽?gòu)成；若將(a,b)作為坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么z與坐標(biāo)平面唯一一個(gè)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，從而可以建立復(fù)數(shù)集與坐標(biāo)平面內(nèi)所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合之間的一一映射。因此復(fù)數(shù)可以用點(diǎn)表示，表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面，x軸稱為實(shí)軸，y軸去掉原點(diǎn)稱為虛軸，點(diǎn)稱為復(fù)數(shù)的幾何形式；如果將(a,b)作為向量的坐標(biāo)，復(fù)數(shù)z又對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)向量。因此坐標(biāo)平面內(nèi)的向量也是復(fù)數(shù)的一種表示形式，稱為向量形式；另外設(shè)z對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z，見(jiàn)圖15-1，連接OZ，設(shè)∠xOZ=θ,OZ=r，則a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，這種形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，則θ稱為z的輻角。若0≤θ<2π，則θ稱為z的輻角主值，記作θ=Arg(z). r稱為z的模，也記作z，由勾股定理知z= .如果用eiθ表示cosθ+isinθ，則z=reiθ，稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)形式。
3．共軛與模，若z=a+bi，（a,b∈R）,則 a-bi稱為z的共軛復(fù)數(shù)。模與共軛的性質(zhì)有：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7）z1-z2≤z1±z2≤z1+z2；（8）z1+z22+z1-z22=2z12+2z22；（9）若z=1，則 。
4．復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則：（1）按代數(shù)形式運(yùn)算加、減、乘、除運(yùn)算法則與實(shí)數(shù)范圍內(nèi)一致，運(yùn)算結(jié)果可以通過(guò)乘以共軛復(fù)數(shù)將分母分為實(shí)數(shù)；（2）按向量形式，加、減法滿足平行四邊形和三角形法則；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2)，則z1••z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若 [cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指數(shù)形式記為z1z2=r1r2ei(θ1+θ2),
5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ).
6.開(kāi)方：若 r(cosθ+isinθ)，則 ，k=0,1,2,…,n-1。
7．單位根：若wn=1，則稱w為1的一個(gè)n次單位根，簡(jiǎn)稱單位根，記Z1= ，則全部單位根可表示為1, , .單位根的基本性質(zhì)有（這里記 ，k=1,2,…,n-1）：（1）對(duì)任意整數(shù)k，若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有Znq+r=Zr；（2）對(duì)任意整數(shù)m，當(dāng)n≥2時(shí)，有 = 特別1+Z1+Z2+…+Zn-1=0；（3）xn-1+xn-2+…+x+1=(x-Z1)(x-Z2)…(x-Zn-1)=(x-Z1)(x- )…(x- ).
8.復(fù)數(shù)相等的充要條：（1）兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部和虛部分別對(duì)應(yīng)相等；（2）兩個(gè)復(fù)數(shù)的模和輻角主值分別相等。
9．復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充要條是z= ;z是純虛數(shù)的充要條是：z+ =0（且z≠0）.
10.代數(shù)基本定理：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，一元n次方程至少有一個(gè)根。
11．實(shí)系數(shù)方程虛根成對(duì)定理：實(shí)系數(shù)一元n次方程的虛根成對(duì)出現(xiàn)，即若z=a+bi(b≠0)是方程的一個(gè)根，則 =a-bi也是一個(gè)根。
12．若a,b,c∈R,a≠0，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0，當(dāng)Δ=b2-4ac<0時(shí)方程的根為
二、方法與例題
1．模的應(yīng)用。
例1 求證：當(dāng)n∈N+時(shí)，方程(z+1)2n+(z-1)2n=0只有純虛根。
[證明] 若z是方程的根，則(z+1)2n=-(z-1)2n，所以(z+1)2n=-(z-1)2n,即z+12=z-12,即(z+1)( +1)=(z-1)( -1)，化簡(jiǎn)得z+ =0，又z=0不是方程的根，所以z是純虛數(shù)。
例2 設(shè)f(z)=z2+az+b,a,b為復(fù)數(shù)，對(duì)一切z=1，有f(z)=1，求a,b的值。
[解] 因?yàn)?=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b)
=f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)
≥f(1)+f(-1)+f(i)+f(-i)=4，其中等號(hào)成立。
所以f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四個(gè)向量方向相同，且模相等。
所以f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i)，解得a=b=0.
2.復(fù)數(shù)相等。
例3 設(shè)λ∈R，若二次方程(1-i)x2+(λ+i)x+1+λi=0有兩個(gè)虛根，求λ滿足的充要條。
[解] 若方程有實(shí)根，則方程組 有實(shí)根，由方程組得(λ+1)x+λ+1=0.若λ=-1，則方程x2-x+1=0中Δ<0無(wú)實(shí)根，所以λ≠-1。所以x=-1, λ=2.所以當(dāng)λ≠2時(shí)，方程無(wú)實(shí)根。所以方程有兩個(gè)虛根的充要條為λ≠2。
3．三角形式的應(yīng)用。
例4 設(shè)n≤2000,n∈N，且存在θ滿足(sinθ+icosθ)n=sinnθ+icosnθ，那么這樣的n有多少個(gè)？
[解] 由題設(shè)得
，所以n=4k+1.又因?yàn)?≤n≤2000，所以1≤k≤500，所以這樣的n有500個(gè)。
4．二項(xiàng)式定理的應(yīng)用。
例5 計(jì)算：（1） ；（2）
[解] (1+i)100=[(1+i)2]50=(2i)50=-250,由二項(xiàng)式定理(1+i)100= = )+( )i，比較實(shí)部和虛部，得 =-250， =0。
5．復(fù)數(shù)乘法的幾何意義。
例6 以定長(zhǎng)線段BC為一邊任作ΔABC，分別以AB，AC為腰，B，C為直角頂點(diǎn)向外作等腰直角ΔAB、等腰直角ΔACN。求證：N的中點(diǎn)為定點(diǎn)。
[證明] 設(shè)BC=2a，以BC中點(diǎn)O為原點(diǎn)，BC為x軸，建立直角坐標(biāo)系，確定復(fù)平面，則B，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-a,a,點(diǎn)A，，N對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1,z2,z3, ，由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義得： ，① ，②由①+②得z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.設(shè)N的中點(diǎn)為P，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z= ,為定值，所以N的中點(diǎn)P為定點(diǎn)。
例7 設(shè)A，B，C，D為平面上任意四點(diǎn)，求證：AB•AD+BC•AD≥AC•BD。
[證明] 用A，B，C，D表示它們對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，則(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)，因?yàn)锳-B•C-D+B-C•A-D≥(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).
所以A-B•C-D+B-C•A-D≥A-C•B-D, “=”成立當(dāng)且僅當(dāng) ，即 =π，即A，B，C，D共圓時(shí)成立。不等式得證。
6．復(fù)數(shù)與軌跡。
例8 ΔABC的頂點(diǎn)A表示的復(fù)數(shù)為3i，底邊BC在實(shí)軸上滑動(dòng)，且BC=2，求ΔABC的外心軌跡。
[解]設(shè)外心對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=x+yi(x,y∈R)，B，C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是b,b+2.因?yàn)橥庑氖侨叴怪逼椒志�的交點(diǎn)，而AB的垂直平分線方程為z-b=z-3i，BC的垂直平分線的方程為z-b=z-b-2，所以點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足z-b=z-3i=z-b-2，消去b解得
所以ΔABC的外心軌跡是軌物線。
7．復(fù)數(shù)與三角。
例9 已知cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，求證：cos2α+cos2β+cos2γ=0。
[證明] 令z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,z3=cosγ+isinγ，則
z1+z2+z3=0。所以 又因?yàn)閦i=1,i=1,2,3.
所以zi• =1，即
由z1+z2+z3=0得 ①
又
所以
所以cos2α+cos2β+cos2γ+i(sin2α+sin2β+sin2γ)=0.
所以cos2α+cos2β+cos2γ=0。
例10 求和：S=cos200+2cos400+…+18cos18×200.
[解] 令w=cos200+isin200,則w18=1，令P=sin200+2sin400+…+18sin18×200,則S+iP=w+2w2+…+18w18. ①由①×w得w(S+iP)=w2+2w3+…+17w18+18w19，②由①-②得(1-w)(S+iP)=w+w2+…+w18-18w19= ，所以S+iP= ，所以
8．復(fù)數(shù)與多項(xiàng)式。
例11 已知f(z)=c0zn+c1zn-1+…+cn-1z+cn是n次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式(c0≠0).
求證：一定存在一個(gè)復(fù)數(shù)z0,z0≤1，并且f(z0)≥c0+cn.
[證明] 記c0zn+c1zn-1+…+cn-1z=g(z),令 =Arg(cn)-Arg(z0)，則方程g(Z)-c0eiθ=0為n次方程，其必有n個(gè)根，設(shè)為z1,z2,…,zn，從而g(z)-c0eiθ=(z-z1)(z-z2)•…•(z-zn)c0，令z=0得-c0eiθ=(-1)nz1z2…znc0，取模得z1z2…zn=1。所以z1,z2,…，zn中必有一個(gè)zi使得zi≤1,從而f(zi)=g(zi)+cn=c0eiθ=cn，所以f(zi)=c0eiθ+cn=c0+cn.
9.單位根的應(yīng)用。
例12 證明：自⊙O上任意一點(diǎn)p到正多邊形A1A2…An各個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和為定值。
[證明] 取此圓為單位圓，O為原點(diǎn)，射線OAn為實(shí)軸正半軸，建立復(fù)平面，頂點(diǎn)A1對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)設(shè)為 ，則頂點(diǎn)A2A3…An對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)分別為ε2，ε3，…，εn.設(shè)點(diǎn)p對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z,則z=1,且=2n-
=2n- 命題得證。
10．復(fù)數(shù)與幾何。
例13 如圖15-2所示，在四邊形ABCD內(nèi)存在一點(diǎn)P，使得ΔPAB，ΔPCD都是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形。求證：必存在另一點(diǎn)Q，使得ΔQBC，ΔQDA也都是以Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形。
[證明] 以P為原點(diǎn)建立復(fù)平面，并用A，B，C，D，P，Q表示它們對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，由題設(shè)及復(fù)數(shù)乘法的幾何意義知D=iC,B=iA；取 ，則C-Q=i(B-Q)，則ΔBCQ為等腰直角三角形；又由C-Q=i(B-Q)得 ，即A-Q=i(D-Q)，所以ΔADQ也為等腰直角三角形且以Q為直角頂點(diǎn)。綜上命題得證。
例14 平面上給定ΔA1A2A3及點(diǎn)p0，定義As=As-3,s≥4，構(gòu)造點(diǎn)列p0,p1,p2,…,使得pk+1為繞中心Ak+1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)1200時(shí)pk所到達(dá)的位置，k=0,1,2,…,若p1986=p0.證明：ΔA1A2A3為等邊三角形。
[證明] 令u= ，由題設(shè)，約定用點(diǎn)同時(shí)表示它們對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，取給定平面為復(fù)平面，則p1=(1+u)A1-up0,
p2=(1+u)A2-up1,
p3=(1+u)A3-up2,
①×u2+②×(-u)得p3=(1+u)(A3-uA2+u2A1)+p0=w+p0,w為與p0無(wú)關(guān)的常數(shù)。同理得p6=w+p3=2w+p0,…,p1986=662w+p0=p0，所以w=0，從而A3-uA2+u2A1=0.由u2=u-1得A3-A1=（A2-A1）u，這說(shuō)明ΔA1A2A3為正三角形。
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．滿足(2x2+5x+2)+(y2-y-2)i=0的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)有__________組。
2．若z∈C且z2=8+6i,且z3-16z- =__________。
3.復(fù)數(shù)z滿足z=5，且(3+4i)•z是純虛數(shù)，則 __________。
4．已知 ，則1+z+z2+…+z1992=__________。
5.設(shè)復(fù)數(shù)z使得 的一個(gè)輻角的絕對(duì)值為 ，則z輻角主值的取值范圍是__________。
6．設(shè)z,w,λ∈C,λ≠1，則關(guān)于z的方程 -Λz=w的解為z=__________。
7.設(shè)0<x<1，則2arctan __________。
8.若α，β是方程ax2+bx+c=0（a,b,c∈R）的兩個(gè)虛根且 ，則 __________。
9．若a,b,c∈C,則a2+b2>c2是a2+b2-c2>0成立的__________條。
10．已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2-2x+2=0和x2+2mx+1=0的四個(gè)不同的根在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)共圓，則m取值的集合是__________。
11．二次方程ax2+x+1=0的兩根的模都小于2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
12．復(fù)平面上定點(diǎn)Z0，動(dòng)點(diǎn)Z1對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z0,z1，其中z0≠0，且滿足方程z1-z0=z1，①另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足z1•z=-1，②求點(diǎn)Z的軌跡，并指出它在復(fù)平面上的形狀和位置。
13．N個(gè)復(fù)數(shù)z1,z2,…,zn成等比數(shù)列，其中z1≠1，公比為q,q=1且q≠±1,復(fù)數(shù)w1,w2,…,wn滿足條：wk=zk+ +h，其中k=1,2,…,n,h為已知實(shí)數(shù)，求證：復(fù)平面內(nèi)表示w1,w2,…,wn的點(diǎn)p1,p2,…,pn都在一個(gè)焦距為4的橢圓上。
四、高考水平訓(xùn)練題
1．復(fù)數(shù)z和cosθ+isinθ對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于直線iz+1=z+i對(duì)稱，則z=__________。
2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+z=2+i，那么z=__________。
3．有一個(gè)人在草原上漫步，開(kāi)始時(shí)從O出發(fā)，向東行走，每走1千米后，便向左轉(zhuǎn) 角度，他走過(guò)n千米后，首次回到原出發(fā)點(diǎn)，則n=__________。
4.若 ，則z=__________。
5.若ak≥0,k=1,2,…,n，并規(guī)定an+1=a1，使不等式 恒成立的實(shí)數(shù)λ的最大值為_(kāi)_________。
6．已知點(diǎn)P為橢圓 上任意一點(diǎn)，以O(shè)P為邊逆時(shí)針作正方形OPQR，則動(dòng)點(diǎn)R的軌跡方程為_(kāi)_________。
7．已知P為直線x-y+1=0上的動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)P為邊作正ΔOPQ(O，P，Q按順時(shí)針?lè)较蚺帕?。則點(diǎn)Q的軌跡方程為_(kāi)_________。
8．已知z∈C,則命題“z是純虛數(shù)”是命題“ ”的__________條。
9．若n∈N，且n≥3,則方程zn+1+zn-1=0的模為1的虛根的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________。
10．設(shè)(x2006+x2008+3)2007=a0+a1x+a2x2+…+anxn，則 +…+a3k- __________。
11.設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2滿足z1• ,其中A≠0，A∈C。證明：
（1）z1+A•z2+A=A2； （2）
12．若z∈C,且z=1,u=z4-z3-3z2i-z+1.求u的最大值和最小值，并求取得最大值、最小值時(shí)的復(fù)數(shù)z.
13.給定實(shí)數(shù)a,b,c,已知復(fù)數(shù)z1,z2,z3滿足 求
az1+bz2+cz3的值。
三、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．已知復(fù)數(shù)z滿足 則z的輻角主值的取值范圍是__________。
2．設(shè)復(fù)數(shù)z=cosθ+isinθ(0≤θ≤π)，復(fù)數(shù)z,(1+i)z，2 在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的三個(gè)點(diǎn)分別是P，Q，R，當(dāng)P，Q，R不共線時(shí)，以PQ，PR為兩邊的平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)為S，則S到原點(diǎn)距離的最大值為_(kāi)_________。
3．設(shè)復(fù)平面上單位圓內(nèi)接正20邊形的20個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為z1,z2,…,z20,則復(fù)數(shù) 所對(duì)應(yīng)的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)是__________。
4．已知復(fù)數(shù)z滿足z=1，則z+iz+1的最小值為_(kāi)_________。
5．設(shè) ，z1=w-z,z2=w+z,z1,z2對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)A，B，點(diǎn)O為原點(diǎn)，∠AOB=900，AO=BO，則ΔOAB面積是__________。
6．設(shè) ，則(x-w)(x-w3)(x-w7)(x-w9)的展開(kāi)式為_(kāi)_________。
7．已知( )m=(1+i)n(m,n∈N+)，則mn的最小值是__________。
8．復(fù)平面上，非零復(fù)數(shù)z1,z2在以i為圓心，1為半徑的圓上， •z2的實(shí)部為零，z1的輻角主值為 ，則z2=__________。
9.當(dāng)n∈N,且1≤n≤100時(shí)， 的值中有實(shí)數(shù)__________個(gè)。
10．已知復(fù)數(shù)z1,z2滿足 ，且 ， ， ，則 的值是__________。
11．集合A={zz18=1},B={ww48=1},C={zwz∈A,w∈B}，問(wèn)：集合C中有多少個(gè)不同的元素？
12．證明：如果復(fù)數(shù)A的模為1，那么方程 的所有根都是不相等的實(shí)根（n∈N+）.
13.對(duì)于適合z≤1的每一個(gè)復(fù)數(shù)z，要使0<αz+β<2總能成立，試問(wèn)：復(fù)數(shù)α，β應(yīng)滿足什么條？
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．設(shè)非零復(fù)數(shù)a1,a2,a3,a4,a5滿足
其中S為實(shí)數(shù)且S≤2，求證：復(fù)數(shù)a1,a2,a3,a4,a5在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于同一圓周上。
2．求證： 。
3．已知p(z)=zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn是復(fù)變量z的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，且p(i)<1，求證：存在實(shí)數(shù)a,b,使得p(a+bi)=0且(a2+b2+1)2<4b2+1.
4．運(yùn)用復(fù)數(shù)證明：任給8個(gè)非零實(shí)數(shù)a1,a2,…,a8，證明六個(gè)數(shù)a1a3+a2a4, a1a5+a2a6, a1a7+a2a8, a3a5+a4a6, a3a7+a4a8,a5a7+a6a8中至少有一個(gè)是非負(fù)數(shù)。
5．已知復(fù)數(shù)z滿足11z10+10iz9+10iz-11=0，求證：z=1.
6.設(shè)z1,z2,z3為復(fù)數(shù)，求證：
z1+z2+z3+z1+z2+z3≥z1+z2+z2+z3+z3+z1。
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