2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 8-6 拋物線但因?yàn)闇y(cè)試 新人教B版
1.()(2011•惠州調(diào)研)若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)與橢圓x26＋y22＝1的右焦點(diǎn)重合，則p的值為( )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
[答案] D
[解析] 橢圓中，a2＝6，b2＝2，∴c＝a2－b2＝2，
∴右焦點(diǎn)(2,0)，由題意知p2＝2，∴p＝4.
(理)(2011•東北三校聯(lián)考)拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)到雙曲線x212－y24＝1的漸近線的距離為( )
A．1 B.3
C.33 D.36
[答案] A
[解析] 拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)F(2,0)到雙曲線x212－y24＝1的漸近線y＝±33x的距離d＝1.
2．()(2011•陜西，2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x＝－2，則拋物線的方程是( )
A．y2＝－8x B．y2＝－4x
C．y2＝8x D．y2＝4x
[答案] C
[解析] 由拋物線準(zhǔn)線方程為x＝－2知p＝4，且開(kāi)口向右，∴拋物線方程為y2＝8x.故選C.
(理)(2010•河北許昌調(diào)研)過(guò)點(diǎn)P(－3,1)且方向向量為a＝(2，－5)的光線經(jīng)直線y＝－2反射后通過(guò)拋物線y2＝x，(≠0)的焦點(diǎn)，則拋物線的方程為( )
A．y2＝－2x B．y2＝－32x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
[答案] D
[解析] 設(shè)過(guò)P(－3,1)，方向向量為a＝(2，－5)的直線上任一點(diǎn)Q(x，y)，則PQ→∥a，∴x＋32＝y(tǒng)－1－5，∴5x＋2y＋13＝0，此直線關(guān)于直線y＝－2對(duì)稱的直線方程為5x＋2(－4－y)＋13＝0，即5x－2y＋5＝0，此直線過(guò)拋物線y2＝x的焦點(diǎn)F4，0，∴＝－4，故選D.
3．()(2011•茂名一模)直線y＝x－3與拋物線y2＝4x交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為P、Q，則梯形APQB的面積為( )
A．48 B．56
C．64 D．72
[答案] A
[解析] 由題意不妨設(shè)A在第一象限，聯(lián)立y＝x－3和y2＝4x可得A(9,6)，B(1，－2)，而拋物線的準(zhǔn)線方程是x＝－1，所以AP＝10，QB＝2，PQ＝8，故S梯形APQB＝12(AP＋QB)•PQ＝48，故選A.
(理)(2011•石家莊模擬)直線3x－4y＋4＝0與拋物線x2＝4y和圓x2＋(y－1)2＝1從左到右的交點(diǎn)依次為A、B、C、D，則ABCD的值為( )
A．16 B.116
C．4 D.14
[答案] B
[解析] 由3x－4y＋4＝0，x2＝4y得x2－3x－4＝0，
∴xA＝－1，xD＝4，yA＝14，yD＝4，
∵直線3x－4y＋4＝0恰過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F(0,1)．
∴AF＝y(tǒng)A＋1＝54，DF＝y(tǒng)D＋1＝5，
∴ABCD＝AF－1DF－1＝116.故選B.
4．(2010•福州市質(zhì)檢)已知P為拋物線y2＝4x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為圓x2＋(y－4)2＝1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值是( )
A．5 B．8
C.17－1 D.5＋2
[答案] C
[解析] 拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，圓x2＋(y－4)2＝1的圓心為C(0,4)，設(shè)點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線距離為d，根據(jù)拋物線的定義有d＝PF，∴PQ＋d＝PQ＋PF≥(PC－1)＋PF≥CF－1＝17－1.
5．(2010•福建福州)若拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)是F，準(zhǔn)線是l，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)F、(4,4)且與l相切的圓共有( )
A．0個(gè) B．1個(gè)
C．2個(gè) D．3個(gè)
[答案] C
[解析] 經(jīng)過(guò)F、的圓的圓心在線段F的垂直平分線上，設(shè)圓心為C，則CF＝C，又圓C與l相切，所以C到l距離等于CF，從而C在拋物線y2＝4x上．
故圓心為F的垂直平分線與拋物線的交點(diǎn)，顯然有兩個(gè)交點(diǎn)，所以共有兩個(gè)圓．
6．(2011•湖北，4)將兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2＝2px(p>0)上，另一個(gè)頂點(diǎn)是此拋物線焦點(diǎn)的正三角形個(gè)數(shù)記為n，則( )
A．n＝0 B．n＝1
C．n＝2 D．n≥3
[答案] C
[解析] 由拋物線的對(duì)稱性知，在拋物線上的兩個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，所以過(guò)拋物線焦點(diǎn)F作斜率為33(或斜率為－33)的直線與拋 物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，它們關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)也在拋物線上，這樣可得到兩個(gè)正三角形．
7．(2010•延邊州質(zhì)檢)拋物線的焦點(diǎn)為橢圓x29＋y24＝1的左焦點(diǎn)，頂點(diǎn)在橢圓中心，則拋物線方程為_(kāi)_____．
[答案] y2＝－45x
[解析] 由c2＝9－4＝5得F(－5，0)，
∴拋物線方程為y2＝－45x.
8．()若點(diǎn)(3, 1)是拋物線y2＝2px的一條弦的中點(diǎn)，且這條弦所在直線的斜率為2，則p＝________.
[答案] 2
[解析] 設(shè)弦兩端點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
則y21＝2px1y22＝2px2，兩式相減得，y1－y2x1－x2＝2py1＋y2＝2，
∵y1＋y2＝2，∴p＝2.
(理)已知點(diǎn)A(2,0)、B(4,0)，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線y2＝－4x上運(yùn)動(dòng)，則AP→•BP→取得最小值時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)是______．
[答案] (0,0)
[解析] 設(shè)P－y24，y，則AP→＝－y24－2，y，BP→＝－y24－4，y，AP→•BP→＝－y24－2－y24－4＋y2＝y(tǒng)416＋52y2＋8≥8，當(dāng)且僅當(dāng)y＝0時(shí)取等號(hào)，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0)．
9．()(2011•湖南六校聯(lián)考)AB是拋物線y2＝x的一條焦點(diǎn)弦，若AB＝4，則AB的中點(diǎn)到直線x＋12＝0的距離為_(kāi)_______．
[答案] 94
[解析] 由題可知AB＝4，所以A、B兩點(diǎn)分別到準(zhǔn)線x＝－ 14的距離之和為4，所以AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線x＝－14的距離為2，所以AB的中點(diǎn)到直線x＝－12的距離為2＋14＝94.
(理)(2011•黑龍江哈六中期末)設(shè)拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離為3，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)_______．
[答案] 10
[解析] 2p＝8，∴p2＝2，∴E到拋物線準(zhǔn)線的距離為5，∴AB＝AF＋BF＝2×5＝10.
10．()(2011•福建，18)如圖，直線l：y＝x＋b與拋物線C：x2＝4y相切于點(diǎn)A.
(1)求實(shí)數(shù)b的值；
(2)求以點(diǎn)A為圓心，且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．
[解析] (1)由y＝x＋bx2＝4y
得x2－4x－4b＝0(*)
∵直線l與拋物線相切
∴△＝(－4)2－4×(－4b)＝0 (*)
∴b＝－1
(2)由(1)知b＝－1，方程(*)為x2－4x＋4＝0
解得x＝2，代入x2＝4y中得，y＝1，∴A(2,1)
∵圓A與拋物線準(zhǔn)線y＝－1相切
∴r＝1－(－1)＝2.
所以圓A的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4.
(理)(2011•韶關(guān)月考)已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)F(0,2)，且與定直線L：y＝－2相切．
(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；
(2)若AB是軌跡C的動(dòng)弦，且AB過(guò)F(0,2)，分別以A、B為切點(diǎn)作軌跡C的切線，設(shè)兩切線交點(diǎn)為Q ，證明：AQ⊥BQ.
[解析] (1)解：依題意，圓心的軌跡是以F(0,2)為焦點(diǎn)，L：y＝－2為準(zhǔn)線的拋物線，
因?yàn)閽佄锞�焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離等于4，
所以圓心的軌跡方程是x2＝8y.
(2)證明：因?yàn)橹本�AB與x軸不垂直，
設(shè)AB：y＝kx＋2.A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由y＝kx＋2，y＝18x2，可得x2－8kx－16＝0，
∴x1＋x2＝8k，x1x2＝－16.
拋物線方程為y＝18x2，求導(dǎo)得y′＝14x.
所以過(guò)拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線斜率分別是k1＝14x1，k2＝14x2，
k1k2＝14x1•14x2＝116x1•x2＝－1.
所以AQ⊥BQ.
11.()(2011•溫州模擬)已知d為拋物線y＝2px2(p>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，則pd等于( )
A.12p2 B．p2
C.12 D.14
[答案] D
[解析] 拋物線方程可化為x2＝12py，
∴d＝14p，則pd＝14，故選D.
(理)(2011•東，9)設(shè)(x0，y0)為拋物線C：x2＝8y上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，以F為圓心、F為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交，則y0的取值范圍是( )
A．(0,2) B．[0,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
[答案] C
[解析] 設(shè)圓的半徑為r，因?yàn)镕(0,2)是圓心，拋物線C的準(zhǔn)線方程 y＝－2.圓與準(zhǔn)線相切時(shí)半徑為4.若圓與準(zhǔn)線相交則r>4.又因?yàn)辄c(diǎn)(x0，y0)為拋物線x2＝8y上一點(diǎn)，所以有x20＝8y0.又點(diǎn)(x0，y0)在圓x2＋(y－2)2＝r2上．所以x20＋(y0－2)2＝r2>16，所以8y0＋(y0－2)2>16，即有y20＋4y0－12>0，解得y0>2或y0<－6(舍)，
∴y0>2.故選C.
12．()(2010•東)已知拋物線y2＝2px(p>0)，過(guò)焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
[答案] B
[解析] 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則線段AB的中點(diǎn)(x1＋x22，y1＋y22)，∴y1＋y22＝2，y21＝2px1 ①y22＝2px2�、冖伲诘脃21－y22＝2p(x1－x2)，∴kAB＝y(tǒng)1－y2x1－x2＝2py1＋y2＝p2，
∵kAB＝1，∴p＝2，∴y2＝4x，
∴準(zhǔn)線方程為：x＝－1，故選B.
(理)(2011•東濟(jì)寧一模)已知拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)(1，)(>0)到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線x2a－y2＝1的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線的一條漸近線與直線A平行，則實(shí)數(shù)a的值是( )
A.125 B.19
C.15 D.13
[答案] B
[解析] 根據(jù)拋物線定義可得，拋物線準(zhǔn)線方程為x＝－4，則拋物線方程為y2＝16x.
把(1，)代入y2＝16x得＝4，即(1,4)．
在雙曲線x2a－y2＝1中，A(－a，0)，則
kA＝41＋a＝1a.
解得a＝19.
13．(2011•臺(tái)州二檢)已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，F(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P，過(guò)F作x軸的垂線交拋物線于、N兩點(diǎn)，有下列四個(gè)命題：
①△PN必為直角三角形；②△PN不一定為直角三角形；③直線P必與拋物線相切；④直線P不一定與拋物線相切．其中正確的命題是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
[答案] A
[解析] 因?yàn)镻F＝F＝NF，故∠FP＝∠FP，∠FPN＝∠FNP，從而可知∠PN＝90 °，故①正確，②錯(cuò)誤；令直線P的方程為y＝x＋p2，代入拋物線方程可得y2－2py＋p2＝0，Δ＝0，所以直線P與拋物線相切，故③正確，④錯(cuò)誤．
14．(2011•煙臺(tái)檢測(cè))已知拋物線型拱橋的頂點(diǎn)距離水面2米時(shí)，測(cè)量水面寬為8米，當(dāng)水面上升12米后，水面的寬度是________米．
[答案] 43
[解析]
建立平面直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)開(kāi)始時(shí)水面與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為A，由題意可知A(4，－2)，故可求得拋物線的方程為y＝－18x2，設(shè)水面上升后交點(diǎn)為B，則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為－32，代入拋物線方程y＝－18x2可求出B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為23，所以水面寬為43米．
15．()已知點(diǎn)A(0，－2)，B(0,4)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足PA→•PB→＝y(tǒng)2－8.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
(2)設(shè)(1)中所求軌跡與直線y＝x＋2交于C，D兩點(diǎn)，求證：OC⊥OD(O為原點(diǎn))．
[解析] (1)由題意可得
PA→•PB→＝(－x，－2－y)•(－x,4－y)＝y(tǒng)2－8，
化簡(jiǎn)得x2＝2y.
(2)證明：將y＝x＋2代 入x2＝2y中得，
x2＝2(x＋2)．
整理得x2－2x－4＝0，
可知Δ＝4＋16＝20>0，x1＋x2＝2，x1x2＝－4.
∵y1＝x1＋2，y2＝x2＋2，
∴y1•y2＝(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝4.
∴kOC•kOD＝y(tǒng)1x1•y2x2＝y(tǒng)1y2x1x2＝－1，
∴OC⊥OD.
(理)(2011•淄博模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與拋物線y2＝4x相交于不同的A、B兩點(diǎn)．
(1)如果直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，求OA→•OB→的值；
(2)如果OA→•OB→＝－4，證明直線l必過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．
[解析] (1)由題意：拋物線焦點(diǎn)為(1,0)，
設(shè)l：x＝ty＋1，代入拋物線方程y2＝4x中得，
y2－4ty－4＝0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，
∴OA→•OB→＝x1x2＋y1y2
＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2
＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2
＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.
(2)設(shè)l：x＝ty＋b代入拋物線方程y2＝4x，消去x得
y2－4ty－4b＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，
∴OA→•OB→＝x1x2＋y1y2
＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2
＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2
＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.
令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，
∴直線l過(guò)定點(diǎn)(2,0)．
∴若OA→•OB→＝－4，則直線l必過(guò)一定點(diǎn)．
1．(2010•遼寧理)設(shè)拋物線y2＝ 8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PA⊥l，A為垂足．如果直線AF的斜率為－3，那么PF＝( )
A．43 B．8
C．83 D．16
[答案] B
[解析]
解法1：如上圖，kAF＝－3，∴∠AFO＝60°，
∵BF＝4，∴AB＝43，即P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為43，∴(43)2＝8x，∴x＝6，∴PA＝8，
∴PF＝8，故選B.
解法2：設(shè)A(－2，y)，∵F(2,0)，∴kAF＝y(tǒng)－4＝ －3，
∴y＝43，∴yp＝43
∵P在拋物線上，∴y2p＝8xp，∴xp＝y(tǒng)2p8＝6
由拋物線定義可得PF＝PA＝xp－xA＝6－(－2)＝8
故選B.
2．雙曲線x2－y2n＝1(n≠0)離心率為2，有一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)重合，則n的值為( )
A.316 B.38
C.163 D.83
[答案] A
[解析] 由條件知＋n＝2＋n＝1，解得＝14n＝34 .
∴n＝316.故選A.
[點(diǎn)評(píng)] 解決這類問(wèn) 題一定要抓準(zhǔn)各種曲線的基本量及其關(guān)系．
3．已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是( )
A．2 B．3
C.115 D.3716
[答案] A
[解析] 直線l2：x＝－1為拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線，由拋物線的定義知，P到l1的距離等于P到拋物線的焦點(diǎn)F(1,0)的距離，故本題化為在拋物線y2＝4x上找一個(gè)點(diǎn)P，使得P到點(diǎn)F(1,0)和直線l2的距離之和最小，最小值為F(1,0)到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離，
即din＝4－0＋65＝2，故選A.
4．(2011•大連一模)已知拋物線x2＝4y上的動(dòng)點(diǎn)P在x軸上的射影為點(diǎn)，點(diǎn)A(3,2)，則PA＋P的最小值為_(kāi)_______．
[答案] 10－1
[解析] 設(shè)d為 點(diǎn)P到準(zhǔn)線y＝－1的距離，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，由拋物線定義及數(shù)形結(jié)合得，PA＋P＝d－1＋PA＝PA＋PF－1≥AF－1＝10－1.
5．(2011•南京調(diào)研)已知點(diǎn)是拋物線y2＝4x上的一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，A在圓C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上，則A＋F的最小值為_(kāi)_______．
[答案] 4
[解析] 由向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足為B，則F＝B，圓心C(4,1)，顯然當(dāng)B、、A、C在同一條直線上時(shí)，A＋F取最小值，且(A＋F)in＝BC－1＝5－1＝4.
6．(2011•德州模擬)P為雙曲線x2－y215＝1右支上一點(diǎn)，、N分別是圓(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的點(diǎn)，則P－PN的最大值是________．
[答案] 5
[解析] 兩圓的圓心A(－4,0)，B(4,0)恰好為雙曲線的焦點(diǎn)，由雙曲線的定義知，PA－PB＝2，
∴P－PN≤PA－PB＋2＋1＝5.
7．(2011•中模擬)若橢圓C1：x24＋y2b2＝1(0<b<2)的離心率等于32，拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)在橢圓C1的頂點(diǎn)上．
(1)求拋物線C2的方程；
(2)若過(guò)(－1,0)的直線l 與拋物線C2交于E、F兩點(diǎn)，又過(guò)E、F作拋物線C2的切線l1、l2，當(dāng)l1⊥l2時(shí)，求直線l的方程．
[解析] (1)已知橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a＝2，半焦距c＝4－b2，
由離心率e＝ca＝4－b22＝32得，b2＝1.
∴橢圓的上頂點(diǎn)為(0,1)，即拋物線的焦點(diǎn)為(0,1)，
∴p＝2，拋物線的方程為x2＝4y.
(2)由題知直線l的斜率存在且不為零，則可設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)，E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，
∵y＝14x2，∴y′＝12x，
∴切線l1，l2的斜率分別為12x1，12x2，
當(dāng)l1⊥l2時(shí)，12x1•12x2＝－1，即x1•x2＝－4，
由y＝kx＋1x2＝4y得：x2－4kx－4k＝0，
由Δ＝(－4k)2－4×(－4k)>0，解得k<－1或k>0.
又x1•x2＝－4k＝－4，得k＝1.
∴直線l的方程為y＝x＋1.
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