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2013年普通高考數(shù)學(xué)科一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案
第36講 空間向量及其應(yīng)用
一．標(biāo)要求：
（1）空間向量及其運(yùn)算
① 經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過程；
② 了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；
③ 掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示；
④ 掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。
（2）空間向量的應(yīng)用
① 理解直線的方向向量與平面的法向量；
② 能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系；
③ 能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）；
④ 能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，向量方法在研究幾何問題中的作用。
二．命題走向
本講內(nèi)容主要涉及空間向量的坐標(biāo)及運(yùn)算、空間向量的應(yīng)用。本講是立體幾何的核心內(nèi)容，高考對本講的考察形式為：以客觀題形式考察空間向量的概念和運(yùn)算，結(jié)合主觀題借助空間向量求夾角和距離。
預(yù)測2013年高考對本講內(nèi)容的考查將側(cè)重于向量的應(yīng)用，尤其是求夾角、求距離，教材上淡化了利用空間關(guān)系找角、找距離這方面的講解，加大了向量的應(yīng)用，因此作為立體幾何解答題，用向量法處理角和距離將是主要方法，在復(fù)習(xí)時應(yīng)加大這方面的訓(xùn)練力度。
三．要點(diǎn)精講
1．空間向量的概念
向量：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。
相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
表示方法：用有向線段表示，并且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量。
說明：①由相等向量的概念可知，一個向量在空間平移到任何位置，仍與原的向量相等，用同向且等長的有向線段表示；②平面向量僅限于研究同一平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移。
2．向量運(yùn)算和運(yùn)算率



加法交換率：
加法結(jié)合率：
數(shù)乘分配率：
說明：①引導(dǎo)學(xué)生利用右圖驗證加法交換率，然后推廣到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四邊形法則在空間仍成立。
3．平行向量(共線向量)：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。 平行于 記作 ∥ 。
注意：當(dāng)我們說 、 共線時，對應(yīng)的有向線段所在直線可能是同一直線，也可能是平行直線；當(dāng)我們說 、 平行時，也具有同樣的意義。
共線向量定理：對空間任意兩個向量 （ ≠ ）、 ， ∥ 的充要條是存在實(shí)數(shù) 使 ＝
注：⑴上述定理包含兩個方面：①性質(zhì)定理：若 ∥ （ ≠0），則有 ＝ ，其中 是唯一確定的實(shí)數(shù)。②判斷定理：若存在唯一實(shí)數(shù) ，使 ＝ （ ≠0），則有 ∥ （若用此結(jié)論判斷 、 所在直線平行，還需 （或 ）上有一點(diǎn)不在 （或 ）上）。
⑵對于確定的 和 ， ＝ 表示空間與 平行或共線，長度為 ，當(dāng) >0時與 同向，當(dāng) <0時與 反向的所有向量。
⑶若直線l∥ ， ，P為l上任一點(diǎn)，O為空間任一點(diǎn)，下面根據(jù)上述定理推導(dǎo) 的表達(dá)式。
推論：如果 l為經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量 的直線，那么對任一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條是存在實(shí)數(shù)t，滿足等式
①
其中向量 叫做直線l的方向向量。
在l上取 ，則①式可化為 ②
當(dāng) 時，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，則 ③
①或②叫做空間直線的向量參數(shù)表示式，③是線段AB的中點(diǎn)公式。
注意：⑴表示式(?)、(??)既是表示式①,②的基礎(chǔ)，也是常用的直線參數(shù)方程的表示形式；⑵推論的用途：解決三點(diǎn)共線問題。⑶結(jié)合三角形法則記憶方程。
4．向量與平面平行：如果表示向量 的有向線段所在直線與平面 平行或 在 平面內(nèi)，我們就說向量 平行于平面 ，記作 ∥ 。注意：向量 ∥ 與直線a∥ 的聯(lián)系與區(qū)別。
共面向量：我們把平行于同一平面的向量叫做共面向量。
共面向量定理 如果兩個向量 、 不共線，則向量 與向量 、 共面的充要條是存在實(shí)數(shù)對x、y，使 ①
注：與共線向量定理一樣，此定理包含性質(zhì)和判定兩個方面。
推論：空間一點(diǎn)P位于平面AB內(nèi)的充要條是存在有序?qū)崝?shù)對x、y，使
④
或?qū)�空間任一定點(diǎn)O，有 ⑤
在平面AB內(nèi)，點(diǎn)P對應(yīng)的實(shí)數(shù)對（x, y）是唯一的。①式叫做平面AB的向量表示式。
又∵ 代入⑤，整理得
⑥
由于對于空間任意一點(diǎn)P，只要滿足等式④、⑤、⑥之一（它們只是形式不同的同一等式），點(diǎn)P就在平面AB內(nèi)；對于平面AB內(nèi)的任意一點(diǎn)P，都滿足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共線的兩個向量 、 （或不共線三點(diǎn)、A、B）確定的空間平面的向量參數(shù)方程，也是、A、B、P四點(diǎn)共面的充要條。
5．空間向量基本定理：如果三個向量 、 、 不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x, y, z, 使
說明：⑴由上述定理知，如果三個向量 、 、 不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是 ，這個集合可看作由向量 、 、 生成的，所以我們把{ ， ， }叫做空間的一個基底， ， ， 都叫做基向量；⑵空間任意三個不共面向量都可以作為空間向量的一個基底；⑶一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同的概念；⑷由于 可視為與任意非零向量共線。與任意兩個非零向量共面，所以，三個向量不共面就隱含著它們都不是 。
推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 ，使
6．?dāng)?shù)量積
（1）夾角：已知兩個非零向量 、 ，在空間任取一點(diǎn)O，作 ， ，則角∠AOB叫做向量 與 的夾角，記作

說明：⑴規(guī)定0≤ ≤ ,因而 = ；
⑵如果 = ，則稱 與 互相垂直，記作 ⊥ ；
⑶在表示兩個向量的夾角時，要使有向線段的起點(diǎn)重合，注意圖（3）、（4）中的兩個向量的夾角不同，
圖（3）中∠AOB= ，
圖（4）中∠AOB= ,
從而有 = = .
（2）向量的模：表示向量的有向線段的長度叫做向量的長度或模。
（3）向量的數(shù)量積： 叫做向量 、 的數(shù)量積，記作 。
即 = ，
向量 :

（4）性質(zhì)與運(yùn)算率
⑴ 。 ⑴
⑵ ⊥ =0 ⑵ =
⑶ ⑶

四．典例解析
題型1：空間向量的概念及性質(zhì)
例1．有以下命題：①如果向量 與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么 的關(guān)系是不共線；② 為空間四點(diǎn)，且向量 不構(gòu)成空間的一個基底，那么點(diǎn) 一定共面；③已知向量 是空間的一個基底，則向量 ，也是空間的一個基底。其中正確的命題是（ ）
①② ①③ ②③ ①②③
解析：對于①“如果向量 與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，那么 的關(guān)系一定共線”；所以①錯誤。②③正確。
點(diǎn)評：該題通過給出命題的形式考察了空間向量能成為一組基的條，為此我們要掌握好空間不共面與不共線的區(qū)別與聯(lián)系。
例2．下列命題正確的是（ ）
若 與 共線， 與 共線，則 與 共線；
向量 共面就是它們所在的直線共面；
零向量沒有確定的方向；
若 ，則存在唯一的實(shí)數(shù) 使得 ；
解析：A中向量 為零向量時要注意，B中向量的共線、共面與直線的共線、共面不一樣，D中需保證 不為零向量。
答案C。
點(diǎn)評：零向量是一個特殊的向量，時刻想著零向量這一特殊情況對解決問題有很大用處。像零向量與任何向量共線等性質(zhì)，要兼顧。
題型2：空間向量的基本運(yùn)算
例3．如圖：在平行六面體 中， 為 與 的交點(diǎn)。若 ， ， ，則下列向量中與 相等的向量是（ ）


解析：顯然 ；
答案為A。
點(diǎn)評：類比平面向量表達(dá)平面位置關(guān)系過程，掌握好空間向量的用途。用向量的方法處理立體幾何問題，使復(fù)雜的線面空間關(guān)系代數(shù)化，本題考查的是基本的向量相等，與向量的加法.考查學(xué)生的空間想象能力。
例4．已知： 且 不共面.若 ∥ ,求 的值.
解： ∥ ,,且 即
又 不共面,
點(diǎn)評：空間向量在運(yùn)算時，注意到如何實(shí)施空間向量共線定理。
題型3：空間向量的坐標(biāo)
例5．（1）已知兩個非零向量 =（a1，a2，a3）， =（b1，b2，b3），它們平行的充要條是（　　）
A. ： = ： 　　　　　　　　　　　　B.a1•b1=a2•b2=a3•b3
C.a1b1+a2b2+a3b3=0　　　　　　　　　　　　D.存在非零實(shí)數(shù)k，使 =k
（2）已知向量 =（2，4，x）， =（2，y，2），若 =6， ⊥ ，則x+y的值是（　�。�
A. －3或1　　　　　 B.3或－1　　　　　 C. －3　　　　　 D.1
（3）下列各組向量共面的是（　�。�
A. =(1，2，3)， =(3，0，2)， =(4，2，5)
B. =(1，0，0)， =(0，1，0)， =(0，0，1)
C. =(1，1，0)， =(1，0，1)， =(0，1，1)
D. =(1，1，1)， =(1，1，0)， =(1，0，1)
解析：（1）D；點(diǎn)撥：由共線向量定線易知；
（2）A　點(diǎn)撥：由題知 或 ；
（3）A　點(diǎn)撥：由共面向量基本定理可得。
點(diǎn)評：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算除了數(shù)量積外就是考察共線、垂直時參數(shù)的取值情況。
例6．已知空間三點(diǎn)A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。設(shè) = ， = ，（1）求 和 的夾角 ；（2）若向量k + 與k －2 互相垂直，求k的值.
思維入門指導(dǎo)：本題考查向量夾角公式以及垂直條的應(yīng)用，套用公式即可得到所要求的結(jié)果.
解：∵A(－2，0，2)，B（－1，1，2），C(－3，0，4)， = ， = ，
∴ =(1，1，0)， =（－1，0，2）.
(1)cos = = － ，
∴ 和 的夾角為－ 。
(2)∵k + =k（1，1，0）+（－1，0，2）＝（k－1，k，2），
k －2 =（k+2，k，－4），且(k + )⊥（k －2 ），
∴（k－1，k，2）•（k+2，k，－4）=(k－1)(k+2)+k2－8=2k2+k－10=0。
則k=－ 或k=2。
點(diǎn)撥：第（2）問在解答時也可以按運(yùn)算律做。（ + ）(k －2 )=k2 2－k • －2 2=2k2+k－10=0，解得k=－ ，或k=2。
題型4：數(shù)量積
例7．設(shè) 、 、c是任意的非零平面向量,且相互不共線,則
①（ • ） －（ • ） = ② － < － ③（ • ） －（ • ） 不與 垂直
④（3 +2 ）（3 －2 ）=9 2－4 2中，是真命題的有（ ）
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
答案：D
解析：①平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律.故①假；
②由向量的減法運(yùn)算可知 、 、 － 恰為一個三角形的三條邊長，由“兩邊之差小于第三邊”，故②真；
③因為［（ • ） －（ • ） ］• =（ • ） • －（ • ） • =0，所以垂直.故③假；
④（3 +2 ）（3 －2 ）=9• • －4 • =9 2－4 2成立.故④真.
點(diǎn)評：本題考查平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律。
例8．（1）已知向量 和 的夾角為120°，且 =2， =5，則（2 － ）• =_____.
（2）設(shè)空間兩個不同的單位向量 =(x1，y1，0)， =(x2，y2，0)與向量 =(1，1，1)的夾角都等于 。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求< ， >的大小(其中0＜< ， >＜π 。
解析：（1）答案：13；解析：∵（2 － ）• =2 2－ • =2 2－ • •cos120°=2•4－2•5（－ ）=13。
（2）解：(1)∵ = =1，∴x +y =1，∴x =y =1.
又∵ 與 的夾角為 ，∴ • = cos = = .
又∵ • =x1+y1，∴x1+y1= 。
另外x +y =(x1+y1)2-2x1y1=1，∴2x1y1=( )2－1= .∴x1y1= 。
(2)cos< ， >= =x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1= ，x1y1= .∴x1，y1是方程x2－ x+ =0的解.
∴ 或 同理可得 或
∵ ≠ ，∴ 或
∴cos< ， >= • + • = + = .
∵0≤< ， >≤π，∴< ， >= 。
評述：本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算法則。
題型5：空間向量的應(yīng)用
例9．（1）已知a、b、c為正數(shù)，且a+b+c=1，求證： + + ≤4 。
（2）已知F1=i+2j+3k，F(xiàn)2=-2i+3j-k，F(xiàn)3=3i-4j+5k，若F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3共同作用于同一物體上，使物體從點(diǎn)1（1，-2，1）移到點(diǎn)2(3，1，2)，求物體合力做的功。
解析：（1）設(shè) =( ， ， )， =(1，1，1)，
則 =4， = .
∵ • ≤ • ，
∴ • = + + ≤ • =4 .
當(dāng) = = 時，即a=b=c= 時，取“=”號。
（2）解：W=F•s=(F1+F2+F3)• =14。
點(diǎn)評：若 =(x，y，z)， =(a，b，c)，則由 • ≤ • ，得(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又稱為柯西不等式(n=3)。本題考查 • ≥ • 的應(yīng)用，解題時要先根據(jù)題設(shè)條構(gòu)造向量 ， ，然后結(jié)合數(shù)量積性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算。空間向量的數(shù)量積對應(yīng)做功問題。
例10．如圖,直三棱柱 中, 求證:
證明：

同理

又
設(shè) 為 中點(diǎn),則
又
點(diǎn)評：從上述例子可以看出,利用空間向量解決位置關(guān)系問題，要用到空間多邊形法則，向量的運(yùn)算，數(shù)量積以及平行,相等和垂直的條。
五．思維
本講內(nèi)容主要有空間直角坐標(biāo)系，空間向量的坐標(biāo)表示，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平行向量，垂直向量坐標(biāo)之間的關(guān)系以及中點(diǎn)公式.空間直角坐標(biāo)系是選取空間任意一點(diǎn)O和一個單位正交基底｛i，j，k｝建立坐標(biāo)系，對于O點(diǎn)的選取要既有作圖的直觀性，而且使各點(diǎn)的坐標(biāo)，直線的坐標(biāo)表示簡化，要充分利用空間圖形中已有的直線的關(guān)系和性質(zhì)；空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算同平面向量類似，具有類似的運(yùn)算法則.一個向量在不同空間的表達(dá)方式不一樣，實(shí)質(zhì)沒有改變.因而運(yùn)算的方法和運(yùn)算規(guī)律結(jié)論沒變。如向量的數(shù)量積a•b=a•bcos<a，b>在二維、三維都是這樣定義的，不同點(diǎn)僅是向量在不同空間具有不同表達(dá)形式.空間兩向量平行時同平面兩向量平行時表達(dá)式不一樣，但實(shí)質(zhì)是一致的，即對應(yīng)坐標(biāo)成比例，且比值為 ，對于中點(diǎn)公式要熟記。
對本講內(nèi)容的考查主要分以下三類：
1．以選擇、填空題型考查本的基本概念和性質(zhì)
此類題一般難度不大，用以解決有關(guān)長度、夾角、垂直、判斷多邊形形狀等問題。
2．向量在空間中的應(yīng)用
在空間坐標(biāo)系下，通過向量的坐標(biāo)的表示，運(yùn)用計算的方法研究三維空間幾何圖形的性質(zhì)。
在復(fù)習(xí)過程中，抓住于本，高于本的指導(dǎo)方針。本講考題大多數(shù)是本的變式題，即于本。因此，掌握雙基、精通本是本關(guān)鍵。

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.douzifanli.com/gaosan/53317.html

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