專題一：集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)
第五講 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
【最新考綱透析】
1.導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義
（1）了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景。
（2）理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。
2．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算
（1）能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)。
（2）能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
（3）能求簡單的復(fù)合函數(shù)（僅限于形如 的復(fù)合函數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。
3．導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用
（1）了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次）。
（2）了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值（其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次）；會(huì)求閉區(qū)間了函數(shù)的最大值、最小值（其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次）。
4．生活中的優(yōu)化問題
會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題
5．定積分與微積分基本定理
（1）了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念。
（2）了解微積分基本定理的含義。
【核心要點(diǎn)突破】
要點(diǎn)考向1：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線
考情聚焦：1．利用導(dǎo)數(shù)研究曲線 的切線是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用，為近幾年各省市高考命題的熱點(diǎn)。
2．常與函數(shù)的圖象、性質(zhì)及解析幾何知識(shí)交匯命題，多以選擇、填空題或以解答題中關(guān)鍵一步的形式出現(xiàn)，屬容易題。
考向鏈接：1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù) 在 處的導(dǎo)數(shù) 的幾何意義是：曲線 在點(diǎn) 處的切線的斜率（瞬時(shí)速度就是位移函數(shù) 對(duì)時(shí)間 的導(dǎo)數(shù)）。
2．求曲線切線方程的步驟：
（1）求出函數(shù) 在點(diǎn) 的導(dǎo)數(shù)，即曲線 在點(diǎn) 處切線的斜率；
（2）在已知切點(diǎn)坐標(biāo) 和切線斜率的條件下，求得切線方程為 。
注：①當(dāng)曲線 在點(diǎn) 處的切線平行于 軸（此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在）時(shí)，由切線定義可知，切線方程為 ；
②當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)未知時(shí)，應(yīng)首先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再求解。
例1：（2010 ?海南高考?理科T3）曲線 在點(diǎn) 處的切線方程為（ ）
（A） （B） （C） （D）
【命題立意】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行求解.
【思路點(diǎn)撥】先求出導(dǎo)函數(shù)，解出斜率，然后根據(jù)點(diǎn)斜式求出切線方程.
【規(guī)范解答】選A.因?yàn)?，所以，在點(diǎn) 處的切線斜率 ，所以，切線方程為 ，即 ，故選A.
要點(diǎn)考向2：利用導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性
考情聚焦：1．導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性有力的工具，近幾年各省市高考中的單調(diào)性問題，幾乎均用它解決。
2．常與函數(shù)的其他性質(zhì)、方程、不等式等交匯命題，且函數(shù)一般為含參數(shù)的高次、分式或指、對(duì)數(shù)式結(jié)構(gòu)，多以解答題形式考查，屬中高檔題目。
考向鏈接：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟。
（1）確定函數(shù)的定義域；
（2）求導(dǎo)數(shù) ；
（3）①若求單調(diào)區(qū)間（或證明單調(diào)性），只需在函數(shù) 的定義域內(nèi)解（或證明）不等式 ＞0或 ＜0。
②若已知 的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為不等式 ≥0或 ≤0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題求解。
例2：（2010?山東高考文科?Ｔ21）已知函數(shù)
（1）當(dāng) 時(shí)，求曲線 在點(diǎn) 處的切線方程；
（2）當(dāng) 時(shí)，討論 的單調(diào)性.
【命題立意】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的能力.考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和等價(jià)變換思想.
【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線 在點(diǎn) 處的切線的斜率；（2）直接利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性,同時(shí)應(yīng)注意分類標(biāo)準(zhǔn)的選擇.
【規(guī)范解答】（1） 當(dāng)
所以
因此， ,即曲線
又
所以曲線
（2）因?yàn)?,所以 ,令
當(dāng) 時(shí)， 所以
當(dāng) 時(shí)， >0，此時(shí) ，函數(shù) 單調(diào)遞減；
當(dāng) 時(shí)， <0，此時(shí) ，函數(shù) 單調(diào)遞增.
當(dāng) 時(shí)，由 ，
即 ，解得 .
① 當(dāng) 時(shí)， ， 恒成立，此時(shí) ，函數(shù) 在（0，+∞）上單調(diào)遞減;
② 當(dāng) 時(shí)， ，
時(shí)， ,此時(shí) ,函數(shù) 單調(diào)遞減
時(shí)， <0,此時(shí) ,函數(shù) 單調(diào)遞增
時(shí)， ，此時(shí) ，函數(shù) 單調(diào)遞減
③ 當(dāng) 時(shí)，由于 ,
時(shí)， ,此時(shí) ,函數(shù) 單調(diào)遞減：
時(shí)， <0,此時(shí) ,函數(shù) 單調(diào)遞增.
綜上所述：
當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 在 上單調(diào)遞減;函數(shù) 在 上單調(diào)遞增
當(dāng) 時(shí),函數(shù) 在 上單調(diào)遞減
當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 在 上單調(diào)遞減；函數(shù) 在 上單調(diào)遞增；
函數(shù) 在 上單調(diào)遞減.
【方法技巧】1、分類討論的原因
(1)某些概念、性質(zhì)、法則、公式分類定義或分類給出；
(2)數(shù)的運(yùn)算：如除法運(yùn)算中除式不為零，在實(shí)數(shù)集內(nèi)偶次方根的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，對(duì)數(shù)中真數(shù)與底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)還是負(fù)數(shù)等；
(3)含參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式等問題，由參數(shù)值的不同而導(dǎo)致結(jié)果發(fā)生改變；
(4)在研究幾何問題時(shí)，由于圖形的變化(圖形位置不確定或形狀不確定)，引起問題的結(jié)果有多種可能.
2、分類討論的原則
(1)要有明確的分類標(biāo)準(zhǔn)；
(2)對(duì)討論對(duì)象分類時(shí)要不重復(fù)、不遺漏；
(3)當(dāng)討論的對(duì)象不止一種時(shí)，應(yīng)分層次進(jìn)行.
3、分類討論的一般步驟
(1)明確討論對(duì)象，確定對(duì)象的范圍；
(2)確定統(tǒng)一的分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行合理分類，做到不重不漏；
(3)逐段逐類討論，獲得階段性結(jié)果；
(4)歸納總結(jié)，得出結(jié)論.
要點(diǎn)考向3：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值
考情聚焦：1．導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)極值與最值問題的重要工具，幾乎是近幾年各省市高考中極值與最值問題求解的必用方法。
2．常與函數(shù)的其他性質(zhì)、方程、不等式等交匯命題，且函數(shù)一般為含參數(shù)的高次、分式、或指、對(duì)數(shù)式結(jié)構(gòu)，多以解答題形式出現(xiàn)，屬中高檔題。
考向鏈接：1．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值的一般步驟：
（1）確定定義域。（2）求導(dǎo)數(shù) 。（3）①或求極值，則先求方程 =0的根，再檢驗(yàn) 在方程根左右值的符號(hào)，求出極值。（當(dāng)根中有參數(shù)時(shí)要注意分類討論）
②若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程 =0的根的大小或存在情況，從而求解。
2．求函數(shù) 的極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值 比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值。
例3：（2010?天津高考理科?Ｔ2１）已知函數(shù)
（Ⅰ）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）已知函數(shù) 的圖象與函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，證明當(dāng) 時(shí)，
（III）如果 ，且 ，證明
【命題立意】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及用函數(shù)思想分析解決問題的能力。
【思路點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)解題。
【規(guī)范解答】
（Ⅰ）解：f’ ，令f’(x)=0,解得x=1，
當(dāng)x變化時(shí)，f’(x)，f(x)的變化情況如下表
x( )1( )
f’(x)+0-
f(x) 極大值
所以f(x)在( )內(nèi)是增函數(shù)，在( )內(nèi)是減函數(shù)。
函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值f(1)且f(1)=
（Ⅱ）證明：由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令F(x)=f(x)-g(x),即
于是
當(dāng)x>1時(shí)，2x-2>0,從而 ’(x)>0,從而函數(shù)F（x）在[1,+∞)是增函數(shù)。
又F(1)= F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).
(Ⅲ)證明：（1）
若
（2）若
根據(jù)（1）（2）得
由（Ⅱ）可知， > ,則 = ，所以 > ,從而 > .因?yàn)?，所以 ，又由（Ⅰ）可知函數(shù)f(x)在區(qū)間（-∞，1）內(nèi)是增函數(shù)，所以 > ,即 >2。
要點(diǎn)考向4：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象
考情聚焦：1．該考向由于能很好地綜合考查函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）、零點(diǎn)及數(shù)形結(jié)合思想等重要考點(diǎn)，而成為近幾年高考命題專家的新寵。
2．常與函數(shù)的其他性質(zhì)、方程、不等式、解析幾何知識(shí)交匯命題，且函數(shù)一般為含參數(shù)的高次、分式、指、對(duì)數(shù)式結(jié)構(gòu)，多以解答題中壓軸部分出現(xiàn)。屬于較難題。
例4：（2010?福建高考理科?Ｔ20）(Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=x3-x，其圖像記為曲線C.
（i）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(ii)證明：若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)x1，曲線C與其在點(diǎn)P1（x1,f(x1）處的切線交于另一點(diǎn)P2（x2,f(x2).曲線C與其在點(diǎn)P2處的切線交于另一點(diǎn)P3 （x3 f(x3)），線段P1P2,P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為S1,S2，則 為定值：
（Ⅱ）對(duì)于一般的三次函數(shù)g（x）=ax3+bx2+cx+d(a 0)，請給出類似于(Ⅰ)(ii)的正確命題，并予以證明。
【命題立意】本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等基礎(chǔ)知識(shí)，考查抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般的思想。
【思路點(diǎn)撥】第一步（1）利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）利用導(dǎo)數(shù)求解切線的斜率，寫出切線方程，并利用定積分求解 及其比值；第二步利用合情推理的方法對(duì)問題進(jìn)行推廣得到相關(guān)命題，并利用平移的方法進(jìn)行證明。
【規(guī)范解答】（Ⅰ) (i) ，令 得到 ，令 有 ，因此原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 和 ；單調(diào)遞減區(qū)間為 ；
(ii) ， ， ，因此過點(diǎn) 的切線方程為： ，即 ，由 得 ，所以 或 ，故 ，進(jìn)而有 ，用 代替 ，重復(fù)上面的計(jì)算，可得 和 ，又 ， ，因此有 。
（Ⅱ）【命題】若對(duì)于任意函數(shù) 的圖像為曲線 ，其類似于(I)(ii)的命題為：若對(duì)任意不等于 的實(shí)數(shù) ，曲線與其在點(diǎn) 處的切線交于另一點(diǎn) ，曲線 與其在點(diǎn) 處的切線交于另外一點(diǎn) ，線段 、 與曲線 所圍成面積為 ，則 。
【證明】對(duì)于曲線 ，無論如何平移，其面積值是恒定的，所以這里僅考慮 的情形， ， ， ，因此過點(diǎn) 的切線方程為：
，聯(lián)立 ，得到： ，
化簡：得到
從而 所以 同樣運(yùn)用(i)中方法便可以得到
所以 。
【方法技巧】函數(shù)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容在歷屆高考中主要切線方程、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、極值、最值等問題，試題還與不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、立幾、解幾等知識(shí)的聯(lián)系，類型有交點(diǎn)個(gè)數(shù)、恒成立問題等,其中滲透并充分利用構(gòu)造函數(shù)、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等重要的思想方法，主要考查導(dǎo)數(shù)的工具性作用。
【高考真題探究】
1.（2010?全國高考卷Ⅱ文科?Ｔ7）若曲線 在點(diǎn) 處的切線方程是 ，則
（A） (B)
(C) (D)
【命題立意】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和曲線的切線方程知識(shí)。
【思路點(diǎn)撥】由題意知， 曲線 在點(diǎn) 處的切線的斜率為1，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得y在x=0
處的導(dǎo)數(shù)為1，再把（0，b）代入切線方程可以解出a 、b的值。
【規(guī)范解答】 選A， , 在點(diǎn) 處的切線方程是 。
斜率為1，所以 ,所以 .
2．（2010?江西高考理科?Ｔ１２）如圖，一個(gè)正五角星薄片（其對(duì)稱軸與水面垂直）勻速地升出水面，記 時(shí)刻五角星露出水面部分的圖形面積為 ，則導(dǎo)函數(shù) 的圖像大致為
【命題立意】本題將各知識(shí)點(diǎn)有機(jī)結(jié)合，屬創(chuàng)新題型，主要考查對(duì)函數(shù)的圖像識(shí)別能力，靈活分析問題和解決問題的能力，考查分段函數(shù)，考查分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查函數(shù)的應(yīng)用，考查平面圖形面積的計(jì)算，考查數(shù)形結(jié)合的思維能力．
【思路點(diǎn)撥】本題結(jié)合題意及圖像的變化情況可用排除法；也可先求面積的函數(shù)，再求其導(dǎo)數(shù)，最后結(jié)合圖像進(jìn)行判斷.
【規(guī) 范解答】選A．方法一：在五角星勻速上升過程中露出的圖形部分的面積共有四段不同變化情況，第一段和第三段的變化趨勢相同，只有選項(xiàng)A、C符合要求，從而先排除B、D，在第二段變化中，面積的增長速度顯然較慢，體現(xiàn)在導(dǎo)函數(shù)圖像中其圖像應(yīng)下降，排除選項(xiàng)C，故選A.
方法二：設(shè)正五角星的一個(gè)頂點(diǎn)到內(nèi)部較小正五邊形的最近邊的距離為1，且設(shè) ，則依據(jù)題意可得：
其導(dǎo)函數(shù) 故選A .
【方法技巧】從題設(shè)條件出發(fā)，結(jié)合所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)“四選一”的要求，逐步剔除干擾項(xiàng)，從而得出正確的判斷.這種方法適應(yīng)于定性型或不易直接求解的選擇題.當(dāng)題目中的變化情況較多時(shí)，先根據(jù)某些條件在選擇支中找出明顯與之矛盾的，予以排除，再根據(jù)另一些條件在縮小的選擇支的范圍內(nèi)找出矛盾，這樣逐步篩選，直到得出正確的選擇.它與特例法、圖解法等結(jié)合使用是解選擇題的常用方法，近幾年高考選擇題中考查較多.
3．（2010?全國高考卷Ⅱ理科?Ｔ10）若曲線 在點(diǎn) 處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)圍成的三角形的面積為18，則 [來
（A）64 （B） 32 （C）16 （D）8
【命題立意】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線的切線方程求法，考查考生的運(yùn)算求解能力．
【思路點(diǎn)撥】先求出切線方程，然后表示出切線與兩個(gè)坐標(biāo)圍成的三角形的面積。
【規(guī)范解答】選A， 所以曲線 在點(diǎn) 處的切線：
所以，
【方法技巧】利用導(dǎo)數(shù)解決切線問題有兩種類型：（1）“在”曲線上一點(diǎn)處的切線問題，先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，代入點(diǎn)的橫坐標(biāo)得到斜率。（2）“過”曲線上一點(diǎn)的切線問題，此時(shí)該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，
故應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)坐標(biāo)。
4．（2010?北京高考理科?Ｔ１8）已知函數(shù) ( )=In(1+ )- + ， ( ≥0)。
(Ⅰ)當(dāng) =2時(shí)，求曲線 = ( )在點(diǎn)(1， (1))處的切線方程；
(Ⅱ)求 ( )的單調(diào)區(qū)間。
【命題立意】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考 查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程及單調(diào)區(qū)間。解決本題時(shí)一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)是忽視定義域。
【思路點(diǎn)撥】（1）求出 ，再代入點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；（2）由 討論 的正負(fù)，從而確定單調(diào)區(qū)間。
【規(guī)范解答】（I）當(dāng) 時(shí)， ，
由于 ， ，
所以曲線 在點(diǎn) 處的切線方程為
即
（II） ， .
當(dāng) 時(shí)， .
所以，在區(qū)間 上， ；在區(qū)間 上， .
故 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ，單調(diào)遞減區(qū)間是 .
當(dāng) 時(shí)，由 ，得 ，
所以，在區(qū)間 和 上， ；在區(qū)間 上，
故 的單調(diào)遞增區(qū)間是 和 ，單調(diào)遞減區(qū)間是 .
當(dāng) 時(shí)，
故 的單調(diào)遞增區(qū)間是 .
當(dāng) 時(shí)， ，得 ， .
所以在區(qū)間 和 上， ；在區(qū)間 上，
故 得單調(diào)遞增區(qū)間是 和 ，單調(diào)遞減區(qū)間是
【方法技巧】
（1） 過 的切線方程為 。
（2）求單調(diào)區(qū)間時(shí)要在定義域內(nèi)討論 內(nèi)的正負(fù)。
5．（2010?全國高考卷Ⅱ理科?Ｔ22）設(shè)函數(shù) ．
（Ⅰ）證明：當(dāng) 時(shí)， ；
（Ⅱ）設(shè)當(dāng) 時(shí)， ，求a的取值范圍．
【命題立意】本題考查了導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性、極值等知識(shí)，結(jié)合不等式考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，
考查分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想。
【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）可以構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)單調(diào)性，求當(dāng) 時(shí)的最值證明不等式成立，
（Ⅱ）可結(jié)合（Ⅰ）的結(jié)論和方法證明，要注意對(duì)a分類討論.
【規(guī)范解答】（Ⅰ）當(dāng) 時(shí)， 當(dāng)且僅當(dāng)
令 ， 則
當(dāng) 時(shí)， 是增函數(shù)； 當(dāng) 時(shí)， 是減函數(shù)；
于是g(x)在x=0處達(dá)到最小值，因而當(dāng) 時(shí)， 即
所以當(dāng)x> -1時(shí)，
（Ⅱ）由題設(shè) ，此時(shí)
當(dāng)a<0時(shí)，若 ，則 不成立；
當(dāng)a 0時(shí)， 令 h(x)=axf(x)+f(x)-x ，則 .當(dāng)且僅當(dāng)
⑴當(dāng) 時(shí)，由（Ⅰ）知
=(2a-1)f(x)
h(x)在 是減函數(shù)， 即
⑵當(dāng)a> 時(shí)，由⑴知x
當(dāng) 時(shí)， 所以h(x)>h(0)=0，即
綜上，a的取值范圍是[0, .
6．（2010?江蘇高考?Ｔ20）設(shè) 是定義在區(qū)間 上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為 。如果存在實(shí)數(shù) 和函數(shù) ，其中 對(duì)任意的 都有 >0，使得 ，則稱函數(shù) 具有性質(zhì) 。
(1)設(shè)函數(shù) ，其中 為實(shí)數(shù)。
(i)求證：函數(shù) 具有性質(zhì) ； (ii)求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間。
(2)已知函數(shù) 具有性質(zhì) ，給定 設(shè) 為實(shí)數(shù)，
， ，且 ，
若 < ，求 的取值范圍。
【命題立意】本題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力。
【思路點(diǎn)撥】(1)求出 ，并將其表示為 的形式，注意 .
(2)利用一的結(jié)論求解。
【規(guī)范解答】
（1）(i)
∵ 時(shí)， 恒成立，
∴函數(shù) 具有性質(zhì) ；
(ii)（方法一）設(shè) ， 與 的符號(hào)相同。
當(dāng) 時(shí)， ， ，故此時(shí) 在區(qū)間 上遞增；
當(dāng) 時(shí)，對(duì)于 ，有 ，所以此時(shí) 在區(qū)間 上遞增；
當(dāng) 時(shí)， 圖像開口向上，對(duì)稱軸 ，而 ，所以當(dāng)x>1時(shí) ，所以此時(shí) 在區(qū)間 上遞增；
當(dāng) 時(shí)， 圖像開口向上，對(duì)稱軸 ，方程 的兩根為： ，而
當(dāng) 時(shí)， ， ，故此時(shí) 在區(qū)間 上遞減；同理得： 在區(qū)間 上 遞增。
綜上所述，當(dāng) 時(shí)， 在區(qū)間 上遞增；
當(dāng) 時(shí)， 在 上遞減； 在 上遞增。
（方法二）當(dāng) 時(shí)，對(duì)于 ，
所以 ，故此時(shí) 在區(qū)間 上遞增；
當(dāng) 時(shí)， 圖像開口向上，對(duì)稱軸 ，方程 的兩根為： ，而
當(dāng) 時(shí)， ， ，故此時(shí) 在區(qū)間 上遞減；同理得： 在區(qū)間 上遞增。
綜上所述，當(dāng) 時(shí)， 在區(qū)間 上遞增；
當(dāng) 時(shí)， 在 上遞減； 在 上遞增。
(2)（方法一）由題意，得：
又 對(duì)任意的 都有 >0，
所以對(duì)任意的 都有 ， 在 上遞增。
又 。
當(dāng) 時(shí)， ，且 ，
若 ，∴ ，（不合題意）。
綜合以上討論，得所求 的取值范圍是（0，1）。
（方法二）由題設(shè)知， 的導(dǎo)函數(shù) ，其中函數(shù) 對(duì)于任意的 都成立。所以，當(dāng) 時(shí)， ，從而 在區(qū)間 上單調(diào)遞增。
①當(dāng) 時(shí)，有 ，
，得 ，同理可得 ，所以由 的單調(diào)性知 、 ，
從而有 < ，符合題設(shè)。
②當(dāng) 時(shí)， ，
，于是由 及 的單調(diào)性知 ，所以 ≥ ，與題設(shè)不符。
③當(dāng) 時(shí)，同理可得 ，進(jìn)而得 ≥ ，與題設(shè)不符。
因此綜合①、②、③得所求的 的取值范圍是（0，1）
【跟蹤模擬訓(xùn)練】
一、選擇題（共6小題，每小題6分，總分36分）
1.若函數(shù) 在R上可導(dǎo)，且 ，則（C）
A． B． C． D．無法確定
2．函數(shù) 在定義域 內(nèi)可導(dǎo)，若 ，且當(dāng) 時(shí)， ，設(shè) ， ， ，則（D）
A． B． C． D．
3．設(shè)函數(shù) 在 上可導(dǎo)，且 ，則當(dāng) 時(shí)有(A)
A． B．
C． D．
4．設(shè)f '(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y=f '(x)的圖像如右圖所示，則y=f(x)的圖像最有可能的是（ C）
5． 在區(qū)間 上的最大值是（ C ）
A． B．0C．2D．4
6．如圖，函數(shù) 的圖象在點(diǎn)P處的切線是 ，則 =（ C ）．
A． B．0C． D．不確定
二、填空題（共3小題，每小題6分，總分18分）
7．過原點(diǎn)作函數(shù) 的圖像的切線，則切點(diǎn)坐標(biāo)是
8．函數(shù)y=x2(x>0)的圖像在點(diǎn)(ak,ak2)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak+1, ，若a1=16，則a1+a3+a5的值是________
9．函數(shù) 的單調(diào)減區(qū)間為 。
三、解答題（10、11小題各15分，12題16分）
10．已知函數(shù)f(x)=x3-3ax-1,a≠0.
(1 )求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)在x=-1處取得極值,直線y=m與y=f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍.
11．（2010?安徽安慶高三二模（文））已知函數(shù) .
⑴當(dāng) 時(shí)，求函數(shù) 的最小值；
⑵若 在 上是單調(diào)函數(shù)，求 的取值范圍.
12．（2010屆?北京市朝陽區(qū)高三一模（文））已知函數(shù) ， ．
（Ⅰ）若函數(shù) 在 處取得極值，試求 的值，并求 在點(diǎn) 處的切線方程；
（Ⅱ）設(shè) ，若函數(shù) 在 上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求 的取值范圍．
參考答案
1．C
2．D
3．A
4．C
5．C
6．C
7．
8．【命題立意】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的切線方程以及數(shù)列的通項(xiàng)等內(nèi)容。
【思路點(diǎn)撥】先由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得函數(shù)y=x2(x>0)的圖像在點(diǎn)(ak,ak2)處的切線的斜率，然后求得切線方程，再由 ，即可求得切線與x軸交點(diǎn)的橫 坐標(biāo)。
【規(guī)范解答】由y=x2(x>0)得， ，
所以函數(shù)y=x2(x>0)在點(diǎn)(ak,ak2)處的切線方程為：
當(dāng) 時(shí)，解得 ，
所以 .
【答案】21
9．【解析】 考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性。
，
由 得單調(diào)減區(qū)間為 。亦可填寫閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間。
【答案】
10．【解析】(1)f′(x)=3x2-3a=3(x2-a),
當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)x∈R有f′(x)>0.
∴當(dāng)a<0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,+∞).
(2)∵f(x)在x=-1處取得極值,
∴f′(-1)=3×(-1)2-3a=0,∴a=1.
∴f(x)=x3-3x-1.f′(x)=3x2-3,
由f′(x)=0解得x1=-1,x2=1,
由（1）中f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在x=-1處取得極大值
f(-1)=1,在x=1處取得極小值f(1)=-3.
∵直線y=m與函數(shù)y=f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，又f(-3)=
-19<-3.f(3)=17>1,結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知，m的取值范圍是
(-3,1).
11．解析：（1）當(dāng) 時(shí)，
………2分
令 得 或 （ ，舍去負(fù)值）。 ……… 3分
函數(shù) 及導(dǎo)數(shù) 的變化情況如下表：
∴當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 的最小值是 ……… 6分
（2） ， ………7分
令
要使 在 上為單調(diào)函數(shù)，只需對(duì) ，都有 或
，∴ ，∴ ………8分
①當(dāng) 時(shí)， 恒成立即 恒成立； ……… 10分
②當(dāng) 時(shí)， ，∴ ，∴ 恒成立；……12分
綜上所述：當(dāng) 時(shí)， 在 上為單調(diào)函數(shù) ………13分
12．解析：（Ⅰ） = .
因?yàn)楹瘮?shù) 在 處取得極值，所以 ，解得 .
于是函數(shù) ， , .
函數(shù) 在點(diǎn) 處的切線的斜率 ，
則 在點(diǎn) 處的切線方程為 . …………………………6分
（Ⅱ）當(dāng) 時(shí)， 是開口向下的拋物線，要使 在 上存在子區(qū)間使 ，應(yīng)滿足 或
解得 ，或 ，所以 的取值范圍是 ．……14分
【備課資源】
1．（2008全國Ⅱ）設(shè)曲線 在點(diǎn) 處的切線與直線 平行，則 （ ）
A．1 B． C． D．
【解 析】選A. ，于是切線的斜率 ，∴有
2.（2009?江西高考）設(shè)函數(shù)f(x)=g(x)+x2,曲線y=g(x)在點(diǎn)(1,g(1))處的切線方程為y=2x+1,則曲線y=f(x)在點(diǎn) （1，f(1)）處切線的斜率為( )
【解析】選A.由已知g′(1)=2,而f′（x）=g′(x)+2x,
所以f′(1)=g′(1)+2×1=4.
3.若函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間［a,b］上是增函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象可能是( )
【解析】選A.因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)在區(qū)間［a,b］上是增函數(shù)，即在區(qū)間［a,b］上各點(diǎn)處的斜率k是遞增的，由圖易知，選A.
4.已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(π-x),且當(dāng)x∈(- , )時(shí),f(x)=x+sinx,則（ ）
(A)f(1)
5.函數(shù)f(x)=x3+3ax2+3［(a+2)x+1］有極大值又有極小值,則a的取值范圍是________.
【解析】f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),若f(x)既有極大值,又有極小值,則f′(x)=0 有兩個(gè)不等的實(shí)根,
即Δ=(6a) 2-4×3×3(a+2)>0,a2-a-2>0,
解得a>2或a<-1.
答案:{aa<-1或a>2}
6.（2009?馬鞍山模擬）由直線x=1,x=2,曲線y=sinx及x軸所圍圖形的面積為_________.
【解析】由已知方程
=cos1-(2cos21-1)=1+cos1-2cos21
答案：1+cos1-2cos21
7.已知函數(shù)
(1)求 的導(dǎo)數(shù) ;
(2)求證:不等式sin3x＞x3cosx在(0, ]上恒成立;
(3)求 的最大值.
9.（2009?馬鞍山模擬）已知函數(shù)f(x)= x2-alnx,
（1）若函數(shù)f(x)在x=2處的切線方程為y=x+b,求a,b的值；
（2）若函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù)，求 實(shí)數(shù)a的取值范圍;
（3）討論方程f(x)=0解的個(gè)數(shù)，并說明理由.
【解析】(1)∵f′(2)=1,∴a=2，
∵(2,f(2))在直線y=x+b上，
∴b=f(2)-2=2-2ln2-2=-2ln2.
10.（2009?蕪湖模擬）若存在實(shí)常數(shù)k和b，使得函數(shù)f(x)和g(x)對(duì)其定義域上的任意實(shí)數(shù)x分別滿足：
f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b,則稱直線l：y=kx+b為f(x)和g(x)的“隔離直線”.已知h(x)=x2,φ(x)=2elnx(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)求F（x)=h(x)-φ(x)的極值;
(2)函數(shù)h(x)和φ(x)是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由.
11.（2009?山東高考）已知函數(shù)f(x)= ax3+bx2+x+3,其中a≠0.
(1)當(dāng)a,b滿足什么條件時(shí)，f(x)取得極值?
(2)已知a>0.且f(x)在區(qū)間(0,1］上單調(diào)遞增，試用a表示出b的取值范圍.
【解析】(1)由已知得f′(x)=ax2+2bx+1，令f′(x)=0得ax2+2bx+1=0.
若f(x)可取得極值,方程ax2+2bx+1=0必須有解，其中Δ=4b2-4a.
當(dāng)Δ=(2b)2-4a≤0時(shí)無極值.
當(dāng)Δ=(2b)2-4a>0，即b2>a時(shí).
f′(x)=ax2+2bx+1=0有兩個(gè)不同的解，即
因此f′(x)=a(x-x1)(x-x2),
①當(dāng)a＞0時(shí),f(x),f’(x)隨x的變化情況如下表:
由此表可知f(x)在點(diǎn)x1,x2處分別取得極大值和極小值.
②當(dāng)a＜0時(shí), f(x),f’(x)隨x的變化情況如下表:
由此表可知f(x)在點(diǎn)x1,x2處分別取得極大值和極小值.
綜上所述,當(dāng)a和b滿足b2＞a時(shí),f(x)能取得極值.
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.douzifanli.com/gaosan/54659.html
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