深圳高級中學(xué)2014屆高三第一次月考試題
數(shù) 學(xué)（文科）
2015。09
一．：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知全集 ，集合 ， ，則集合
A． B． C． D．
2．如果函數(shù) 上單調(diào)遞減，則實數(shù) 滿足的條件是（ ）
A. B． C． D．
3．設(shè) 為等比數(shù)列 的前 項和，已知 ， ，則公比 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4.在△ 中，若 ， ， ，則 （ ）
A. B. C. D.
5. 設(shè) ，且 ，則 （ ）
A. B.10 C.20 D.100
6．已知函數(shù) ，下面結(jié)論錯誤的是
A．函數(shù) 的最小正周期為 B．函數(shù) 是偶函數(shù)
C．函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對稱 D．函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)
7．直線 與圓 的位置關(guān)系是 （ ）
A.相離 B .相切 C.相交 D.不確定
8. 給出如下三個命題：
①若“ 且 ”為假命題，則 、 均為假命題；
②命題“若 且 ，則 ”的否命題為“若 且 ，則 ”；
③在 中，“ ”是“ ”的充要條件。其中不正確的命題的個數(shù)是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
9.設(shè)直線 與函數(shù) 的圖像分別交于點 ，則當 達到最小時 的值為
（ ）
A．1 B． C． D．
10．定義：若函數(shù) 的圖像經(jīng)過變換 后所得圖像對應(yīng)函數(shù)的值域與 的值域相同，則稱變換 是 的同值變換．下面給出四個函數(shù)及其對應(yīng)的變換 ，其中 不屬于 的同值變換的是
A． ， 將函數(shù) 的圖像關(guān)于 軸對稱
B． ， 將函數(shù) 的圖像關(guān)于 軸對稱
C． ， 將函數(shù) 的圖像關(guān)于點 對稱
D． ， 將函數(shù) 的圖像關(guān)于點 對稱
二、題：本大題共4小題，每小題5分，
11.若數(shù)列 的通項公式是 ,則 .
12．若方程 在 內(nèi)恰有一解,則實數(shù) 的取值范圍是 .
13．已知雙曲線 的一條漸近線方程是 ，它的一個焦點與拋物線 的焦點相同，則雙曲線的方程為 �。�
14.函數(shù) 是常數(shù)， 的部分圖象如圖所示，則
三、解答題： 本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分12分）已知函數(shù) .
(Ⅰ)求函數(shù) 的最小正周期和值域;
(Ⅱ)若 ,求 的值.
16. （本小題滿分13分）在 中， 分別為角 的對邊，
已知 ， ，且 .
(1) 求角 ；(2) 若 ， 的面積 ，求邊 的值.
17. （本小題滿分13分）如圖，直線l：y＝x＋b與拋物線C：x2＝4y相切于點A。
（Ⅰ）求實數(shù)b的值；
（Ⅱ）求以點A為圓心，且與拋物線C的準線相切的圓的方程。
18. （本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列 ， 滿足 ，且數(shù)列 是等差數(shù)列，數(shù)列 是等比數(shù)列。
（1）求數(shù)列 和 的通項公式；
（2）是否存在 ，使 ，若存在，求出 ，若不存在，說明理由。
19. （本小題滿分14分）設(shè) .
（1）如果 在 處取得最小值 ，求 的解析式；
（2）如果 ， 的單調(diào)遞減區(qū)間的長度是正整數(shù)，試求 和
的值．(注：區(qū)間 的長度為 ）
.20．（本小題滿分14分）設(shè) ,函數(shù) .
（1）討論函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間和極值;
（2）已知 和 是函數(shù) 的兩個不同的零點,求 的值并證明: .
2014屆高三第一次月考試題
數(shù) 學(xué)（文科）答案
2015。09
一．：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知全集 ，集合 ， ，則集合
A． B． C． D．
2．如果函數(shù) 上單調(diào)遞減，則實數(shù) 滿足的條件是（ ）
A. B． C． D．
3．設(shè) 為等比數(shù)列 的前 項和，已知 ， ，則公比 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4.在△ 中，若 ， ， ，則 （ ）
A. B. C. D.
5. 設(shè) ，且 ，則 （ ）
A. B.10 C.20 D.100
6．已知函數(shù) ，下面結(jié)論錯誤的是
A．函數(shù) 的最小正周期為 B．函數(shù) 是偶函數(shù)
C．函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對稱 D．函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)
7．直線 與圓 的位置關(guān)系是 （ ）
A.相離 B .相切 C.相交 D.不確定
8. 給出如下三個命題：
①若“ 且 ”為假命題，則 、 均為假命題；
②命題“若 且 ，則 ”的否命題為“若 且 ，則 ”；
③在 中，“ ”是“ ”的充要條件。其中不正確的命題的個數(shù)是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
9.設(shè)直線 與函數(shù) 的圖像分別交于點 ，則當 達到最小時 的值為
（ ）
A．1 B． C． D．
10．定義：若函數(shù) 的圖像經(jīng)過變換 后所得圖像對應(yīng)函數(shù)的值域與 的值域相同，則稱變換 是 的同值變換．下面給出四個函數(shù)及其對應(yīng)的變換 ，其中 不屬于 的同值變換的是
A． ， 將函數(shù) 的圖像關(guān)于 軸對稱
B． ， 將函數(shù) 的圖像關(guān)于 軸對稱
C． ， 將函數(shù) 的圖像關(guān)于點 對稱
D． ， 將函數(shù) 的圖像關(guān)于點 對稱
二、題：本大題共4小題，每小題5分，
11.若數(shù)列 的通項公式是 ,則 .
12．若方程 在 內(nèi)恰有一解,則實數(shù) 的取值范圍是 . .
13．已知雙曲線 的一條漸近線方程是 ，它的一個焦點與拋物線 的焦點相同，則雙曲線的方程為 �。窘狻� ．
14.函數(shù) 是常數(shù)， 的部分圖象如圖所示，則
答案： 新 課 標 第 一 網(wǎng)
三、解答題： 本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分12分）已知函數(shù) .
(Ⅰ)求函數(shù) 的最小正周期和值域;
(Ⅱ)若 ,求 的值.
解： (1)由已知,f(x)=
所以f(x)的最小正周期為2 ,值域為
(2)由(1)知,f( )= 所以cos( ).
所以
16. （本小題滿分13分）在 中， 分別為角 的對邊，
已知 ， ，且 .
(1) 求角 ；(2) 若 ， 的面積 ，求邊 的值.
16. 解：(1) 依題知得 即 ……3分
也就是 ，又 ，所以 ………………………6分
(2) ，且 ，所以 ……………8分
又 得 .
17. （本小題滿分13分）如圖，直線l：y＝x＋b與拋物線C：x2＝4y相切于點A。
（Ⅰ）求實數(shù)b的值；
（Ⅱ）求以點A為圓心，且與拋物線C的準線相切的圓的方程。
17．本小題主要考查直線、圓、拋物線等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，
考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，滿分12分。
解：（I）由 ，（*）
因為直線 與拋物線C相切，所以 解得b=-1。
（II）由（I）可知 ，
解得x=2，代入 故點A（2，1），因為圓A與拋物線C的準線相切，
所以圓A的半徑r等于圓心A到拋物線的準線y=-1的距離，即
所以圓A的方程為
18. （本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列 ， 滿足 ，且數(shù)列 是等差數(shù)列，數(shù)列 是等比數(shù)列。
（1）求數(shù)列 和 的通項公式；
（2）是否存在 ，使 ，若存在，求出 ，若不存在，說明理由。
解：（1）由題意得：
＝ ； …3分
由已知 得公比 ，
…6分
（2） ，
∴當 時， 是增函數(shù)。 又 ， 所以當 時 ，
又 ，所以不存在 ，使 。
19. （本小題滿分14分）設(shè) .
（1）如果 在 處取得最小值 ，求 的解析式；
（2）如果 ， 的單調(diào)遞減區(qū)間的長度是正整數(shù)，試求 和
的值．(注：區(qū)間 的長度為 ）
.解：（1）已知 ，
又 在 處取極值，
則 ，又在 處取最小值-5.
則 ，
（2）要使 單調(diào)遞減，則
又遞減區(qū)間長度是正整數(shù)，所以 兩根設(shè)做a，b。即有：
b-a為區(qū)間長度。又
又b-a為正整數(shù)，且+n<10,所以=2，n=3或， 符合。
20．（本小題滿分14分）設(shè) ,函數(shù) .
（1）討論函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間和極值;
（2）已知 和 是函數(shù) 的兩個不同的零點,求 的值并證明: .
20．（本題滿分14分）
解：在區(qū)間 上, . ……………………2分
①若 ,則 , 是區(qū)間 上的增函數(shù),無極值； ………………4分
②若 ,令 得: .
在區(qū)間 上, ,函數(shù) 是增函數(shù);
在區(qū)間 上, ,函數(shù) 是減函數(shù);
在區(qū)間 上, 的極大值為 .
綜上所述，①當 時, 的遞增區(qū)間 ,無極值； …………………7分
③當 時， 的是遞增區(qū)間 ，遞減區(qū)間是 ，
函數(shù) 的極大值為 . …………………9分
(2) ∴ ，解得: . …………………10分
∴ . …………………11分
又 , , ……13分
由(1)函數(shù) 在 遞減,故函數(shù) 在區(qū)間 有唯一零點,
因此 . ………………14分
深圳市高級中學(xué)2015屆第一次月考
數(shù)學(xué)（理）試題
注：請將答案填在答題卷相應(yīng)的位置上
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．
1. 已知全集 ，集合 ,則
A. B. C. D.
2. 如果函數(shù) 上單調(diào)遞減，則實數(shù) 滿足的條件是
A． B． C． D．
3. 下列函數(shù)中，滿足 的是
A． B． C． D．
4. 已知函數(shù) ，下面結(jié)論錯誤的是
A．函數(shù) 的最小正周期為 B．函數(shù) 是偶函數(shù)
C．函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對稱 D．函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)
5. 給出如下四個命題：
①若“ 且 ”為假命題，則 、 均為假命題；
②命題“若 且 ，則 ”的否命題為“若 且 ，則 ”；
③在 中，“ ”是“ ”的充要條件。
④命題 “ ”是真命題. 其中正確的命題的個數(shù)是
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
6. 定義行列式運算a1 a2a3 a4＝a1a4－a2a3；將函數(shù)f(x)＝3 sin x1 cos x的圖象向左平移n(n>0)個單位，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則n的最小值為( )
A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π3
7. 函數(shù) 的一段圖象是
8. 設(shè)函數(shù) 其中 表示不超過 的最大整數(shù)，如 =-2， =1， =1，若直線y= 與函數(shù)y= 的圖象恰有三個不同的交點，則 的取值范圍是
A． B． C． D．
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，滿分30分．
9. 已知函數(shù) ，則 .
10. 已知 ，則 _____________.
11. 曲線 所圍成的封閉圖形的面積為 ．
12. 已知函數(shù) 若命題“ ”為真，則的取值范圍是___.
13. 設(shè) ，且 ，則 _________.
14. 若關(guān)于 的方程 有四個不同的實數(shù)解，則實數(shù)k的取值范圍是 .
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
15．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)
（I）求函數(shù) 的最小正周期；
（II）確定函數(shù) 在 上的單調(diào)性并求在此區(qū)間上 的最小值.
16．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)f(x)＝Asinπ3x＋φ，x∈R，A＞0，0＜φ＜π2，y＝f(x)的部分圖象如圖所示，P、Q分別為該圖象的最高點和最低點，點P的坐標為(1，A)．
(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；
(2)若點R的坐標為(1，0)，∠PRQ＝2π3，求A的值．
17. （本小題滿分14分）
已知等比數(shù)列 中， ， ， ．
(Ⅰ)求數(shù)列 的通項公式；
(Ⅱ)設(shè) ，求 的最大值及相應(yīng)的 值．
18. （本小題滿分14分）
設(shè)二次函數(shù) 滿足條件：（1） ；（2）函數(shù)在
軸上的截距為1，且 .
(1)求 的解析式;
(2)若 的最小值為 ,請寫出 的表達式;
(3)若不等式 在 時恒成立,求實數(shù) 的取值范圍.
19.（本題滿分14分）
已知函數(shù) 的圖象如圖，直線 在原點處與函數(shù)圖象相切，且此切線與函數(shù)圖象所圍成的區(qū)域(陰影)面積為274.
（1）求 的解析式
（2）若常數(shù) ，求函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值.
20．（本小題滿分14分）
已知函數(shù) ， .
(Ⅰ)若 ，求函數(shù) 在區(qū)間 上的最值；
(Ⅱ)若 恒成立，求 的取值范圍. 注： 是自然對數(shù)的底數(shù)
深圳市高級中學(xué)2015屆第一次月考
數(shù)學(xué)（理）試題 答案
注：請將答案填在答題卷相應(yīng)的位置上
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．
1. 已知全集 ，集合 ， 則 C
A. B. C. D.
2. 如果函數(shù) 上單調(diào)遞減，則實數(shù) 滿足的條件是（ A ）
A． B． C． D．
3. 下列函數(shù)中，滿足 的是C
A． B． C． D．
4. 已知函數(shù) ，下面結(jié)論錯誤的是C
A．函數(shù) 的最小正周期為 B．函數(shù) 是偶函數(shù)
C．函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對稱 D．函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)
5. 給出如下四個命題：
①若“ 且 ”為假命題，則 、 均為假命題；
②命題“若 且 ，則 ”的否命題為“若 且 ，則 ”；
③在 中，“ ”是“ ”的充要條件。
④命題 “ ”是真命題. 其中正確的命題的個數(shù)是( D )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
6. 定義行列式運算a1 a2a3 a4＝a1a4－a2a3；將函數(shù)f(x)＝3 sin x1 cos x的圖象向左平移n(n>0)個單位，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則n的最小值為( C)
A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π3
7. 函數(shù) 的一段圖象是B
8. 設(shè)函數(shù) 其中 表示不超過 的最大整數(shù)，如 =-2， =1， =1，若直線y= 與函數(shù)y= 的圖象恰有三個不同的交點，則 的取值范圍是 D
A． B． C． D．
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，滿分30分．
9. 已知函數(shù) ，則 .
10. 已知 ，則 ____ _________.
11. 曲線 所圍成的封閉圖形的面積為 103 ．
12. 已知函數(shù) 若命題“ ”為真，則的取值范圍是
________.（—∞，-2）
13. 設(shè) ，且 ，則 _________
14. 若關(guān)于 的方程 有四個不同的實數(shù)解，則 的取值范圍是 .
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
15．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)
（I）求函數(shù) 的最小正周期；
（II）確定函數(shù) 在 上的單調(diào)性并求在此區(qū)間上 的最小值.
15解 ，…………3分
則 的最小正周期是 ；……………4分
16．（本小題滿分12分）
已知函數(shù)f(x)＝Asinπ3x＋φ，x∈R，A＞0，0＜φ＜π2，y＝f(x)的部分圖象如圖所示，P、Q分別為該圖象的最高點和最低點，點P的坐標為(1，A)．
(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；
(2)若點R的坐標為(1，0)，∠PRQ＝2π3，求A的值．
解析：(1)由題意得T＝2ππ3＝6………………………….2分
因為P(1，A)在y＝Asinπ3x＋φ的圖象上，所以sinπ3＋φ＝1.
又因為0＜φ＜π2，所以φ＝π6…………………………6分
(2)設(shè)點Q的坐標為(x0，－A)．
由題意可知π3x0＋π6＝3π2，得x0＝4，所以Q(4，－A)．-----------------------8分
連接PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝2π3，由余弦定理得
cos ∠PRQ＝RP2＋RQ2－PQ22RP•RQ＝A2＋9＋A2－（9＋4A2）2A•9＋A2＝－12，解得A2＝3.
又A＞0，所以A＝3.--------------------------------12分
17. （本小題滿分14分）
已知等比數(shù)列 中， ， ， ．
(Ⅰ)求數(shù)列 的通項公式；
(Ⅱ)設(shè) ，求 的最大值及相應(yīng)的 值．
1．解：(Ⅰ) ， ，所以： ． …（3分）
以 為首項． ……………（5分）
所以 通項公式為： ． ……（7分）
(Ⅱ)設(shè) ，則 ． …………………（8分）
所以 是首項為6，公差為 的等差數(shù)列． ………………（10分）
= ． …………（12分）
因為 是自然數(shù)，所以 或 時， 最大，其最值是 21． ……（14分）
18. （本小題滿分14分）
設(shè)二次函數(shù) 滿足條件：（1） ；（2）函數(shù)在
軸上的截距為1，且 .
(1)求 的解析式;
(2)若 的最小值為 ,請寫出 的表達式;
(3)若不等式 在 時恒成立,求實數(shù) 的取值范圍.
解: (1) …………………………4分
(2) ----------------10分
(3) -----------------14分
19.（本題滿分14分）
已知函數(shù) 的圖象如圖，直線 在原點處與函數(shù)圖象相切，且此切線與函數(shù)圖象所圍成的區(qū)域(陰影)面積為274.
(1) 求
（2）若常數(shù) ，求函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值.
解析：由f(0)＝0得c＝0，………………….2分
f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
由f′(0)＝0得b＝0，………………………4分
∴f(x)＝x3＋ax2＝x2(x＋a)，
由∫－a0[－f(x)]dx＝274得a＝－3.
∴f(x)＝x3－3x2………………………………8分
（2）由（1）知 .
的取值變化情況如下：
2
單調(diào)
遞增極大值 單調(diào)
遞減極小值 單調(diào)
遞增
又 ,
①當 時, ；……………11分
②當 時,
綜上可知 …………… …………14分
20．（本小題滿分14分）
已知函數(shù) ， .
(Ⅰ)若 ，求函數(shù) 在區(qū)間 上的最值；
(Ⅱ)若 恒成立，求 的取值范圍.
注： 是自然對數(shù)的底數(shù)
. 解：(Ⅰ) 若 ，則 .
當 時， ，
，
所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞增；
當 時， ，
.
所以函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，
所以 在區(qū)間 上有最小值 ，又因為 ，
，而 ，
所以 在區(qū)間 上有最大值 ………………………………….5分
(Ⅱ) 函數(shù) 的定義域為 ．
由 ，得 ． （*）
（?）當 時， ， ，
不等式（*）恒成立，所以 ；……………………………………….7分
（?）當 時，
①當 時，由 得 ，即 ，
現(xiàn)令 ， 則 ，
因為 ，所以 ，故 在 上單調(diào)遞增，
從而 的最小值為 ，因為 恒成立等價于 ，
所以 ；………………………………………………….11
②當 時， 的最小值為 ，而 ，顯然不滿足題意……….13分
綜上可得，滿足條件的 的取值范圍是 . …………………………………14分
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