第二講 橢圓、雙曲線、拋物線（含軌跡問題）
【最新考綱透析】
1．圓錐曲線
（1）了解圓錐曲線的實(shí)際背景，了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用。
（2）掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)。
（3）了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它的簡單幾何性質(zhì)。
（4）了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用。
（5）理解數(shù)形結(jié)合的思想。
2．曲線與方程
了解方程的曲線與曲線的方程的對應(yīng)關(guān)系。
【核心要點(diǎn)突破】
要點(diǎn)考向1：圓錐曲線的定義及幾何性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)方程
考情聚焦：1．圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程是每年必考內(nèi)容，雖然大綱降低了對雙曲線的要求，但在選擇題中仍然考查雙曲線。
2．可單獨(dú)考查，也可與向量、數(shù)列、不等式等其他知識結(jié)合起來考查。
3．既可以以小題的形式考查（屬中、低檔題），也可以以解答題形式考查（屬于中、高檔題）。
考向鏈接：1．已知圓錐曲線上一點(diǎn)及焦點(diǎn)，首先要考慮使用圓錐曲線的定義求解。
2．求圓錐曲線方程常用的方法有定義法、待定系數(shù)法、軌跡方程法。
3．求橢圓、 雙曲線的離心率，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定 的等量關(guān)系，然后把b用a、c代換，求 的值。
4．在雙曲線中由于 ，故雙曲線的漸近線與離心率密切相關(guān)。
例1：（2010?安徽高考理科?Ｔ19）已知橢圓 經(jīng)過點(diǎn) ，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn) 在 軸上，離心率 。
(1)求橢圓 的方程；
(2)求 的角平分線所在直線 的方程；
(3)在橢圓 上是否存在關(guān)于直線 對稱的相異兩點(diǎn)？若存在，請找出；若不存在，說明理由。
【命題立意】本題主要考查橢圓的定 義及標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的簡單性質(zhì)，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱性等知識，考查考生在解析幾何的基本思想方法方面的認(rèn)知水平，探究意識，創(chuàng)新意識和綜合運(yùn)算求解能力．
【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建方程（組）求解；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出直線 的斜率或直線 上的一個點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線 的方程；
（3）先假設(shè)橢圓 上存在關(guān)于直線 對稱的相異兩點(diǎn)，在此基礎(chǔ)之上進(jìn)行推理運(yùn)算，求解此兩點(diǎn)，根據(jù)推理結(jié)果做出判斷。
【規(guī)范解答】（1）設(shè)橢圓 的方程為 （ ），
由題意 ， ，又 ，解得：
橢圓 的方程為
（2）方法1：由（1）問得 ， ，又 ，易得 為直角三角形，其中
設(shè) 的角平分線所在直線 與x軸交于點(diǎn) ，根據(jù)角平線定理可知： ，可得 ，
直線 的方程為： ，即 。
方法2：由（1）問得 ， ，又 ，
， ，
，
， 直線 的方程為： ，即 。
（3）假設(shè)橢圓 上存在關(guān)于直線 對稱的相異兩點(diǎn) 、 ，
令 、 ，且 的中點(diǎn)為
， ，
又 ，兩式相減得:
,即 （3），
又 在直線 上， （4）
由（3）（4）解得： ，
所以點(diǎn) 與點(diǎn) 是同一點(diǎn)，這與假設(shè)矛 盾，
故橢圓 上不存在關(guān)于直線 對稱的相異兩點(diǎn)。
【方法技巧】
1、求圓錐曲線的方程，通常是利用待定系數(shù)法先設(shè)出曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建方程（組）求解；.
2、利用向量表示出已知條件，可以將復(fù)雜的題設(shè)簡單化，便于理解和計(jì)算；
3、對于存在性問題，其常規(guī)解法是先假設(shè)命題存在，再根據(jù)題設(shè)條件進(jìn)行的推理運(yùn)算，若能推得符合題意的結(jié)論，則存在性成立，否則，存在性不成立。
要點(diǎn)考向2：最值或定值問題
考情聚焦：1．以圓錐曲線為載體的最值或定值問題在高考題中幾乎每年都涉及。
2．可與函數(shù)、不等式等知識交匯，體現(xiàn)知識間的聯(lián)系。
3．多以解答題形式出現(xiàn)，屬中高檔題目。
考向鏈接：解析幾何中的最值問題涉及的知識面較廣，解法靈活多樣，但最常用的方法有以下幾種：
（1）利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值；
（2）利用三角函數(shù)，尤其是正、余弦函數(shù)的有界性求最值；
（3）利用不等式，尤其是均值不等式求最值；
（4）利用數(shù)形結(jié)合，尤其是切線的性質(zhì)求最值。
例2：（2010?北京高考文科?Ｔ１9）已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是 ， ，離心率是 ，直線 與橢圓C交與不同的兩點(diǎn)M，N，以線段MN為直徑作圓P,圓心為P .
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標(biāo)；
（Ⅲ）設(shè)Q（x,y）是圓P上的動點(diǎn)，當(dāng) 變化時，求y的最大值.
【命題立意】本題考查了求橢圓方程，直線與圓的位置關(guān)系，函數(shù)的最值。要求學(xué)生掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)中 的關(guān)系，離心率 .直線與圓相切問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離等于半徑來求解.第（Ⅲ）問中 最大值的求法用到了三角代換，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸思想.
【思路點(diǎn)撥】由焦點(diǎn)可求出 ，再利用離心率可求出 。直線與圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離.
【規(guī)范解答】（Ⅰ）因?yàn)?，且 ，所以
所以橢圓C的方程為 .
（Ⅱ）由題意知
由 得
所以圓P的半徑為 .
由 ，解得 .所以點(diǎn) P的坐標(biāo)是（0， ）.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圓P的方程 .因?yàn)辄c(diǎn) 在圓P上。所以由圖可知 。設(shè) ，則
當(dāng) ，即 ，且 ， 取最大值2.
【方法技巧】（1）直線與圓的位置關(guān)系： 時相離； 時相切； 時相交；
（2）求無理函數(shù)的最值時三角代換是一種常用的去根號的技巧.
要點(diǎn)考向3：求參數(shù)范圍問題
考情聚焦 ：1．與圓錐曲線有關(guān)的求參數(shù)范圍問題在高考題中經(jīng)常出現(xiàn)。
2．多在解答題中出現(xiàn)，屬中高檔題。
例3：（2010?山東高考理科?Ｔ21）如圖，已知橢圓 的離心率為 ，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn) 為頂點(diǎn)的三角形的周長為 .一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè) 為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線 和 與橢圓的交點(diǎn)分別為 和 .
（1）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線 、 的斜率分別為 、 ，證明 ；
（3）是否存在常數(shù) ，使得 恒成立？
若存在，求 的值；若不存在，請說明理由.
【命題立意】本題考查了橢圓的定義、離心率、橢圓與雙曲線
的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道綜合性的試
題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題的能力。其中問題（3）
是一個開放性問題，考查了考生的觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力.
【思路點(diǎn)撥】( 1)根據(jù)離心率和周長構(gòu)造含有 的方程組，可求出橢圓的方程，再根據(jù)雙曲線為等軸雙曲線，且頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)可求雙曲線的方程;（2）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再將 用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示，并利用點(diǎn)P在雙曲線上進(jìn)行化簡；（3）設(shè)直線AB的斜率為 ，則由（2）的結(jié)果可將直線 CD的斜率用 表示，然后設(shè)出直線AB與CD的方程，利用弦長公式將 與 表示出來，最后將 用 表示出來，通過化簡可判斷 是否為常數(shù).
【規(guī)范解答】（1）由題意知，橢圓離心率為 ，得 ，又 ，所以可解得 ， ，所以 ，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ；所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，0），因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線，且頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
（2）設(shè)點(diǎn)P（ ， ），則 = ， = ，所以 =
，又點(diǎn)P（ ， ）在雙曲線上，所以有 ，即 ，所以
=1.
（3）假設(shè)存在常數(shù) ，使得 恒成立，則由（2）知 ，所以設(shè)直線AB的方程為 ，則直線CD的方程為 ，
由方程組 消y得： ，設(shè) ， ，
則由韋達(dá)定理得：
所以AB= = ，同理可得
CD= = = ，
又因?yàn)?，所以有 = +
= ，所以存在常數(shù) ，使得 恒成立。
【方法技巧】解析幾何中的存在判斷型問題
1、基本特征：要判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學(xué)對象(數(shù)值、圖形)是否存在或某一結(jié)論和參數(shù)無關(guān).
2、基本策略：通常假定題中的數(shù)學(xué)對象存在(或結(jié)論成立)，然后在這個前提下進(jìn)行邏輯推理，若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)；否則，給出肯定結(jié)論.其中反證法在解題中起著重要的作用.或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角式來證明該式是恒定的.
注：與圓錐曲線的參數(shù)問題是高考考查的熱點(diǎn)問題。解決這類問題常用以下方法：
（1）根據(jù)題意建立參數(shù)的不等關(guān)系式，通過解不等式求出范圍；
（2）用其他變量表示該參數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系，然后利用求值域的相關(guān)方法求解；
（3）建立某變量的一元二次方程，利用判別式求該參數(shù)的范圍；
（4）研究該參數(shù)所對應(yīng)幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合法求解。
要點(diǎn)考向4：圓錐曲線綜合問題
考情聚焦：1．圓錐曲線綜合問題，特別是直線與圓錐曲線的關(guān)系，圓錐曲線與向量相結(jié)合的題目是新課標(biāo)高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容。
2．呈現(xiàn)方式可以是選擇題、填空題，屬中檔題，也可以是解答題，屬中高檔題。
例4：（2010?江蘇高考?Ｔ１8）在平面直角坐標(biāo)系 中，如圖，已知橢圓 的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F。設(shè)過點(diǎn)T（ ）的直線TA、TB與此橢圓分別交于點(diǎn)M 、 ，其中m>0, 。
（1）設(shè)動點(diǎn)P滿足 ,求點(diǎn)P的軌跡；
（2）設(shè) ，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；
（3）設(shè) ,求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無關(guān)）。
【命題立意】本題主要考查求曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程及其相關(guān)的基礎(chǔ)知識。考查運(yùn)算求解能力和探究問題的能力。
【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入 ，化簡即可；(2) 點(diǎn)T為直線MT和NT的交點(diǎn)；（3）聯(lián)立直線MAT、直線NBT和橢圓方程，求出M和N的坐標(biāo)，從而求出直線MN的方程,進(jìn)而求證結(jié)論.
【規(guī)范解答】（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。
由 ，得 化簡得 。
故所求點(diǎn)P的軌跡為直線 。
（2）將 分別代入橢圓方程，以及 得：M（2， ）、N（ ， ）
直線MTA方程為： ，即 ，
直線NTB 方程為： ，即 。
聯(lián)立方程組，解得： ，
所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為 。
（3）點(diǎn)T的坐標(biāo)為
直線MTA方程為： ，即 ，
直線NTB 方程為： ，即 。
分別與橢圓 聯(lián)立方程組，同時考慮到 ，
解得： 、 。
方法一：當(dāng) 時，直線MN方程為：
令 ，解得： 。此時必過點(diǎn)D（1，0）；
當(dāng) 時，直線MN方程為： ，與x軸交點(diǎn)為D（1，0）。
所以直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)D（1，0）。
方法二：若 ，則由 及 ，得 ，
此時直線MN的方程為 ，過點(diǎn)D（1，0）。
若 ，則 ，直線MD的斜率 ，
直線ND的斜率 ，得 ，所以直線MN過D點(diǎn)。
因此，直線MN必過 軸上的點(diǎn)（1，0）。
【方法技巧】由于定點(diǎn)、定值是變化中得不變量，引進(jìn)參數(shù)表述這些量，不變的量就是與參數(shù)無關(guān)的量，通過研究何時變化的量與參數(shù)無關(guān)，找到定點(diǎn)或定值的方法叫做參數(shù)法，其解題的關(guān)鍵是合適的參數(shù)表示變化的量.
當(dāng)要解決動直線過定點(diǎn)問題時，可以根據(jù)確定直線的條件建立直線系方程，通過該直線過定點(diǎn)所滿足的條件確定所要求的定點(diǎn)坐標(biāo).
【高考真題探究】
1．（2010?福建高考文科?Ｔ１1）若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓 的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則 的最大值為（ ）
A.2 B.3 C.6 D.8
【命題立意】本題考查橢圓的基本概念、平面向量的內(nèi)積、利用二次函數(shù)求最值.
【思路點(diǎn)撥】先求出橢圓的左焦點(diǎn)，設(shè)P為動點(diǎn)，依題意寫出 的表達(dá)式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求解條件最值的問題，利用二次函數(shù)的方法求解.
【規(guī)范解答】選C，設(shè) ，則 ，又因?yàn)?
，又 ， ，所以 .
2．（2010?安徽高考理科?Ｔ5）雙曲線方程為 ，則它的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A、 B、 C、 D、
【命題立意】本題主要考查雙曲線方程及其中系數(shù)的幾何意義，考查考生對雙曲線方程理解認(rèn)知水平．
【思路點(diǎn)撥】方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式 確定實(shí)半軸 和虛半軸 由 求半焦距
確定右焦點(diǎn)坐標(biāo).
【規(guī)范解答】選 C， 雙曲線方程為 ，
， ，得 ，
它的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，故C正確.
3．（2010?福建高考理科?Ｔ２）以拋物線 的焦點(diǎn)為圓心，且過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【命題立意】本題考查學(xué)生對拋物線焦點(diǎn)的識記以及圓方程的求解.
【思路點(diǎn)撥】 的焦點(diǎn)為 ，求解圓方程時，確定了圓 心與半徑即可.
【規(guī)范解答】選D，拋物線的焦點(diǎn)為 ，又圓過原點(diǎn)，所以 ，
方程為 .
【方法技巧】方法一：（設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程） 拋物線的焦點(diǎn)為 ， 圓心為 ，設(shè)圓的方程為 ，又 圓過原點(diǎn) ， ， ， 所求圓的方程為 即為 ；
方法二：（設(shè)圓的一般方程）設(shè)圓的方程為 ， 拋物線的焦點(diǎn)為 ， 圓心為 ， ，又圓過原點(diǎn)， ， ， 所求圓的方程為 .
4．（2010?福建高考文科?Ｔ１9）已知拋物線C： 過點(diǎn)A （1 , -2）.
（I）求拋物線C 的方程，并求其準(zhǔn)線方程；
（II）是否存在平行于OA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的直線L，使得直線L與拋物線C有公共點(diǎn)，且直線OA與L的距離等于 ？若存在，求直線L的方程；若不存在，說明理由.
【命題立意】本題考查直線、拋物線等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想.
【思路點(diǎn)撥】第一步用待定系數(shù)法求出拋物線方程及其準(zhǔn)線方程；第二步依題意假設(shè)直線l的方程為 ，聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用判別式限制參數(shù)t的范圍，再由直線OA與直線l的距離等于 列出方程，求解出t的值，注意判別式對參數(shù)t的限制.
【規(guī)范解答】（I）將 代入 ，得 ， ，
故所求的拋物線方程為 ，其準(zhǔn)線方程為 ；
（II）假設(shè)存在符合題意的直線 ，其方程為 ，由 得 ，因?yàn)橹本� 與拋物線C有公共點(diǎn)，所以 ，解得 。另一方面，由直線OA與直線 的距離等于 可得 ，由于 ，所以符合題意的直線 存在，其方程為 .
【方法技巧】在求解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的相交弦問題時，我們一定要注意判別式 的限制.因?yàn)閽佄锱c直線有交點(diǎn)，注意應(yīng)用 進(jìn)行驗(yàn)證可避免增根也可以用來限制參數(shù)的范圍.
5．（2010?重慶高考文科?Ｔ21）已知以原點(diǎn) 為中心， 為右焦點(diǎn)的雙曲線 的離心率
（1 ）求雙曲線 的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程；
（2）如 圖，已知過點(diǎn) 的直線
與過點(diǎn) （其中 ）的直線 的交點(diǎn)
在雙曲線 上，直線 與雙曲線的兩條漸近線分別交與 , 兩點(diǎn)，
求 的值.
【命題立意】本小題考查雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查直線方程的基礎(chǔ)知識，考查平面向量的運(yùn)算求解能力，體現(xiàn)了方程的思想和數(shù)形結(jié)合的思想方法.
【思路點(diǎn)撥】（1）由 求出 ，再由 求出 ；（2）點(diǎn)E是關(guān)鍵點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)E的坐標(biāo)求出直線MN的方程，解兩條直線組成的方程組的點(diǎn)G，H的坐標(biāo)，即向量 , 的坐標(biāo)，再進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算，化簡、整理可得.
【規(guī)范解答】(1)設(shè)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ( , )，
則由題意知 ，又 ， 所以 ，
，C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
C的漸近線方程為 ，即 和 .
（2）（方法一）由題意點(diǎn) 在直線 ： 和 ： 上，
因此有 ， ，
所以點(diǎn)M，N均在直線 上，
因此直線MN的方程為 ；
設(shè)G，H分別是直線MN與漸近線 及 的交點(diǎn)，
解方程組 及 得： ， ，
所以 ， ，
故 ，
因?yàn)辄c(diǎn)E在雙曲線 上，有 ，所以 .
（方法二）設(shè) ，由方程組
解得 ， ，
因?yàn)?，所以直線MN的斜率 ，
故直線MN的方程為 ，注意到 ，
因此直線MN的方程為 .
以下與解法一相同.
【方法技巧】（1）字母運(yùn)算是解答本題的主要特點(diǎn)；（2）已知與未知的相互轉(zhuǎn)化，即關(guān)于點(diǎn)E的坐標(biāo)兩個等式 和 ，通過轉(zhuǎn)化字母的已知與未知的關(guān)系， 和 看作已知，點(diǎn) 和 代入方程 所得，簡捷得到直線MN的方程；（3）關(guān)鍵點(diǎn)E在解題中的關(guān)鍵作用.
6．（2010?海南高考理科?T20）設(shè) 分別是橢圓E: （a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，過 斜率為1的直線 與E 相交于 兩點(diǎn)，且 , , 成等差數(shù)列.
（Ⅰ)求E的離心率；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（0,-1）滿足 ,求E的方程.
【命題立意】本題綜合考查了橢圓的定義、等差數(shù)列的概念以及直線與橢圓的關(guān)系等等.解決本題時，一定要靈活運(yùn)用韋達(dá)定理以及弦長公式等知識.
【思路點(diǎn)撥】利用等差數(shù)列的定義，得出 , , 滿足的一個關(guān) 系，然后再利用橢圓的定義進(jìn)行計(jì)算.
【規(guī)范解答】（Ⅰ)由橢圓的定義知， ，又
得 ， 的方程為 ，其中
設(shè) ，則 兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組
化簡得，
則 ， .
因?yàn)橹本�AB斜率為1，所以
得 ，故 ,所以E的離心率 .
（Ⅱ）設(shè) 兩點(diǎn)的中點(diǎn)為 ，由（Ⅰ)知 ， .
由 ，可知 .即 ，得 ，從而 .
橢圓E的方程為 .
【方法技巧】熟練利用圓錐曲線的定義及常用的性質(zhì)，從題目中提取有價(jià)值的信息，然后列出方程組進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算.
【跟蹤模擬訓(xùn)練】
一、選擇題（每小題6分，共36分）
1．已知橢圓兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 ， ，并且經(jīng)過點(diǎn) ，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是 （ ）
A． B． C． D．
2．已知橢圓 的長軸長是短軸長的 倍，斜率為1的直線 與橢圓相交，截得的弦長為正整數(shù)的直線 恰有3條，則 的值為（ ）
A. B . C. D.
3．已知 分別是雙曲線 的左、右焦點(diǎn)，過 作垂直于 軸的直線交雙曲線于 、 兩點(diǎn)，若 為銳角三角形，則雙曲線的離心率的范圍是( )
(A) (B) (C) (D)
4．兩個正數(shù)a、b的等差中項(xiàng)是 , 一個等比中項(xiàng)是 的離心率e等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知拋物線 ，以 為中點(diǎn)作拋物線的弦，則這條弦所在直線方程為 （ ）
A． B．
C． D．
6．如圖所示，橢圓 的離心率 ,左焦點(diǎn)為F,A、B、C為其三個頂點(diǎn)，直線CF與AB交于D，則 的值等于 （ ）
A. B. C. D.
二、填空題(每小題6分，共18分)
7.如圖,過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于兩點(diǎn)A、B,交其準(zhǔn)線于C,若BC=2BF,且AF=3,則此拋物線的方程為_______.
8．某拋物線形拱橋的跨度為20米，拱高是4米，在建橋時，每隔4米需用一根柱支撐，其中最高支柱的高度是 ．
9．過雙曲線 的右焦點(diǎn)F作傾斜角為 的直線，交雙曲線于P,Q兩點(diǎn)，則PQ｜的值為__________.
三、解答題（10、11題15分，12題16分）
10．如圖、橢圓 的一個焦點(diǎn)是F（1，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)。
(1)已知橢圓短軸的兩個三等分點(diǎn)與一個焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn).若直線任意轉(zhuǎn)動，都有 ，求a的取值范圍.
11．如圖，傾斜角為α的直線經(jīng)過拋物線 的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)。
（Ⅰ）求拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線l的方程；
（Ⅱ）若α為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點(diǎn)P，證明FP-FPcos2α為定值，并求此定值。
12．（本題滿分16分）本題共有3小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分5分，第3小題滿分7分．
已知點(diǎn) 是雙曲線M： 的左右焦點(diǎn)，其漸近線為 ，且右頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為3．
(1)求雙曲線M的方程；
(2) 過 的直線 與M相交于 、 兩點(diǎn)，直線 的法向量為 ，且 ，求k的值；
(3)在(2)的條件下，若雙曲線M在第四象限的部分存在一點(diǎn)C滿足 ，求m的值及△ABC的面積 ．
參考答案
一、選擇題
1．D
2．C
3．A
4．D
5．B
6． B
二、填空題
7．【解析】分別作A、B在l上的射影A1、B1,
∴AA1=AF=3,
BB1=BF= BC.
∴∠BCB1=30°,
∴AC=2AA1=6,
∴FC=3.
∴p= FC= .
∴拋物線方程為y2=3x.
答案：y2=3x
8．3.84米
9．
三、解答題
10．【解析】(1)設(shè)M，N為短軸的兩個三等分點(diǎn)，
因?yàn)椤鱉NF為正三角形，所以 , -----------------------------2分
即1＝ -------------------------------------------------------4分
因此，橢圓方程為 ----------------------------------6分
(2)設(shè)
①當(dāng)直線 AB與x軸重合時，
----------8分
②當(dāng)直線AB不與x軸重合時，
設(shè)直線AB的方程為：
整理得
所以 ------------------------------10分
因?yàn)楹阌?，所以 AOB恒為鈍角.
即 恒成立.
---------------------------------------- -12分
又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0對m R恒成立.
即a2b2m2> a2 -a2b2+b2對m R恒成立.
當(dāng)m R時，a2b2m2最小值為0，所以a2- a2b2+b2<0.
a2
解得a> 或a< (舍去)，即a> , -------------------------15分
11．【解析】：設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，則 ，從而
因此焦點(diǎn) 的坐標(biāo)為（2，0）.
又準(zhǔn)線方程的一般式為
從而所求準(zhǔn)線l的方程為 ……………（6分）
（Ⅱ）解：如圖作AC⊥l，BD⊥l，垂足為C、D，則由拋物線的定義知
FA=FC,FB=BD.
記A、B的橫坐標(biāo)分別為xxxz，則
FA＝AC＝ 解得 ，
類似地有 ，解得
記直線m與AB的交點(diǎn)為E，則
所以
故 ………………………（15分）
12．【解析】 (1) 由題意得 ．…………………………………………………………4分
(2) 直線 的方程為 ，由 得 （*）
所以 ………………………………………………………………6分
由 得
即
代入化簡，并解得 （舍去負(fù)值）……………………………………………9分
(3)把 代入（*）并化簡得 ，
此時 ，
所以 …………………………………11分
設(shè) ，由 得 代入雙曲線M的方程解得
（舍），m=2，所以 ，……………………………………14分
點(diǎn)C到直線AB的距離為 ，
所以 ．……………………………………………………16分
【備課資源】
3. 點(diǎn)M(5,3)到拋物線x2=ay(a＞0)的準(zhǔn)線的距離為6,那么拋物線的方程是_______.
【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為y=- ,由題意知
3+ =6,∴a=12.
∴拋物線方程為x2=12y.
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