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四川省內(nèi)江市2012-2013學(xué)年期末數(shù)學(xué)試卷（理科）一．選擇題：本大共10小題，每小題5分，共50分；在每個(gè)小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把正確選項(xiàng)的代號填在答題卡的指定位置．1．（5分）計(jì)算cos23°sin53°?sin23°cos53°的值等于（　�。�　A．B．C．D．考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)．專題：三角函數(shù)的求值．分析：利用兩角差的正弦公式將式子化簡，再由特殊角的正弦值求出即可．解答：解：由題意得，cos23°sin53°?sin23°cos53°=sin（53°?23°）=sin30°=，故選A．點(diǎn)評：本題考查了兩角差的正弦公式的逆用，關(guān)鍵是熟練掌握公式并會(huì)運(yùn)用．　2．（5分）已知a+b＞0，b＜0，那么a，b，?a，?b的大小關(guān)系是（　�。�　A．a(chǎn)＞b＞?b＞?aB．a(chǎn)＞?b＞?a＞bC．a(chǎn)＞?b＞b＞?aD．a(chǎn)＞b＞?a＞?b考點(diǎn)：不等式比較大�。畬ｎ}：常規(guī)題型．分析：法一：特殊值法，令a=2，b=?1代入檢驗(yàn)即可．法二：利用不等式的性質(zhì)，及不等式的符號法則，先把正數(shù)的大小比較出來，再把負(fù)數(shù)的大小比較出來．解答：解：法一：∵A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)中，每個(gè)選項(xiàng)都是唯一確定的答案，∴可用特殊值法．令a=2，b=?1，則有2＞?（?1）＞?1＞?2，即a＞?b＞b＞?a．法二：∵a+b＞0，b＜0，∴a＞?b＞0，?a＜b＜0，∴a＞?b＞0＞b＞?a，即a＞?b＞b＞?a．點(diǎn)評：在限定條件下，比較幾個(gè)式子的大小，可以用特殊值法，也利用不等式的性質(zhì)及符號法則直接推導(dǎo)．　3．（5分）若直線x+ay+2=0和直線2x+3y+1=0互相垂直，則a的值為（　�。�　A．B．C．D．考點(diǎn)：直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系．.專題：計(jì)算題．分析：由兩直線的方程分別找出兩直線的斜率，根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為?1，列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．解答：解：由直線x+ay+2=0，得到斜率為?，由直線2x+3y+1=0，得到斜率為?，因?yàn)閮芍本�互相垂直，所以?×（?）=?1，解得：a=?．故選A點(diǎn)評：此題考查了會(huì)根據(jù)直線的一般式方程找出直線的斜率，以及兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系．學(xué)生在計(jì)算時(shí)一定要細(xì)心，不要出現(xiàn)符號上的錯(cuò)誤．　4．（5分）已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a3?a7=4，a2=2，則a1=（　　）　A．1B．C．2D．考點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．.專題：計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由已知及等比數(shù)列的性質(zhì)可得，a3?a7=a4?a6，從而可求q＞0，然后結(jié)合a2=2，可求a1，解答：解：∵a3?a7=4，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，a3?a7=a4?a6∴a6=4a4∴=4∵an＞0∴q＞0∴q=2∵a2=2，則a1=1故選A點(diǎn)評：本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的性質(zhì)的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題　5．（5分）當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線（a?1）x?y+a+1=0恒過定點(diǎn)C，則以C為圓心，半徑為的圓的方程為（　　）　A．x2+y2?2x+4y=0B．x2+y2+2x+4y=0C．x2+y2+2x?4y=0D．x2+y2?2x?4y=0考點(diǎn)：圓的一般方程；恒過定點(diǎn)的直線．.分析：先求直線過的定點(diǎn)，然后寫出方程．解答：解：由（a?1）x?y+a+1=0得（x+1）a?（x+y?1）=0，∴該直線恒過點(diǎn)（?1，2），∴所求圓的方程為（x+1）2+（y?2）2=5．即x2+y2+2x?4y=0．故選C點(diǎn)評：本題考查恒過定點(diǎn)的直線，圓的一般方程，是基礎(chǔ)題．　6．（5分）已知數(shù)列{an}滿足，若a1=，則a6的值為（　�。�　A．B．C．D．考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．.專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：利用數(shù)列遞推式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)論．解答：解：∵數(shù)列{an}滿足，a1=，∴a2==，a3==，a4==∴a5=a2=，a6=a3=故選C．點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．　7．（5分）不等式x2+2x＜對任意a，b∈（0，+∞）恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（　　）　A．（?2，0）B．（?∞，?2）∪（0，+∞）C．（?4，2）D．（?∞，?4）∪（2，+∞）考點(diǎn)：一元二次不等式的解法．.專題：計(jì)算題；不等式的解法及應(yīng)用．分析：由已知，只需x2+2x小于的最小值即可，可利用基本不等式求出最小值．解答：解：對任意a，b∈（0，+∞），，所以只需x2+2x＜8即（x?2）（x+4）＜0，解得x∈（?4，2）故選C點(diǎn)評：本題考查不等式恒成立問題，往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題．　8．（5分）已知圓C：x2+y2?6x?8y=0，若過圓內(nèi)一點(diǎn)（3，5）的最長弦為AC，最短弦為BD；則四邊形ABCD的面積為（　　）　A．20B．15C．10D．考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)．.專題：計(jì)算題．分析：將圓C方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心C坐標(biāo)與半徑r，過點(diǎn)（3，5）最長的弦即為過此點(diǎn)的直徑，最短的弦即為與此直徑垂直的弦，利用垂徑定理及勾股定理求出BD的長，利用對角線垂直的四邊形面積等于對角線乘積的一半即可求出四邊形ABCD的面積．解答：解：將圓C方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x?3）2+（y?4）2=25，∴圓心C（3，4），半徑r=5，∴過圓內(nèi)一點(diǎn)（3，5）的最長弦為AC=10，且直線AC的斜率不存在，∴直線BD的斜率為0，即直線BD解析式為y=5，∴圓心C到直線BD的距離d=1，∴最短弦為BD=2=4，則四邊形ABCD的面積S=AC?BD=20．故選A點(diǎn)評：此題考查了直線與圓的相交的性質(zhì)，涉及的知識有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，垂徑定理，勾股定理，以及四邊形的面積，找出最長的弦與最短的弦長是解本題的關(guān)鍵．　9．（5分）（2010?閔行區(qū)二模）已知△ABC中，，BC=2，則角A的取值范圍是（　　）　A．B．C．D．考點(diǎn)：解三角形．.專題：計(jì)算題．分析：知道兩邊求角的范圍，余弦定理得到角和第三邊的關(guān)系，而第三邊根據(jù)三角形的構(gòu)成條件是有范圍的，這樣轉(zhuǎn)化到角的范圍．解答：解：利用余弦定理得：，即，∴△=32cos2A?16≥0，∵A為銳角∴，故選D．點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是解三角形，主要考查利用余弦定理解答三角形有解問題，知道兩邊求角的范圍，余弦定理得到角和第三邊的關(guān)系，而第三邊根據(jù)三角形的構(gòu)成條件是有范圍的，這樣轉(zhuǎn)化到角的范圍，有一定難度．　10．（5分）（2012?藍(lán)山縣模擬）已知實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+（1+a）x+a+b+1=0的兩個(gè)實(shí)根為x1，x2，且 0＜x1＜1，x2＞1，則的取值范圍是（　　）　A．B．C．D．考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系．.專題：計(jì)算題．分析：由方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x1＜1＜x2，結(jié)合對應(yīng)二次函數(shù)性質(zhì)得到 ，然后在平面直角坐標(biāo)系中，做出滿足條件的可行域，分析 的幾何意義，然后數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．解答：解：由程x2+（1+a）x+1+a+b=0的二次項(xiàng)系數(shù)為1＞0，故函數(shù)f（x）=x2+（1+a）x+1+a+b圖象開口方向朝上又∵方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x1＜1＜x2，則 即 即 其對應(yīng)的平面區(qū)域如下圖陰影示：∵表示陰影區(qū)域上一點(diǎn)與原點(diǎn)邊線的斜率由圖可知 ∈故選D．點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，三個(gè)二次之間的關(guān)系，線性規(guī)劃，其中由方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x1＜1＜x2，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)得到 是解答本題的關(guān)鍵．　二．填空題：本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分，請吧答案填在答題卡上．11．（5分）已知，則sin2x的值為　�。�考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)；二倍角的正弦．.專題：三角函數(shù)的求值．分析：由兩角差的正弦公式將展開，再兩邊平方后利用平方關(guān)系化簡，根據(jù)倍角的正弦公式化簡求值．解答：解：由得，，兩邊平方得，，解得sin2x=，故答案為：．點(diǎn)評：本題考查了兩角差的正弦公式，倍角的正弦公式和平方關(guān)系應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握公式并會(huì)運(yùn)用．　12．（5分）如圖，A，B兩點(diǎn)在河的對岸，測量者在A的同側(cè)選定一點(diǎn)C，測出A，C之間的距離是100米，∠BAC=105°，∠ACB=45°，則A、B兩點(diǎn)之間為　100　米．考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用．.專題：計(jì)算題；解三角形．分析：在△ABC中，利用正弦定理，即可得到結(jié)論．解答：解：∵∠BAC=105°，∠ACB=45°，∴∠ABC=30°∵AC=100米∴∴AB=100米故答案為：100點(diǎn)評：本題考查正弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．　13．（5分）若曲線y=1+，x∈[?2，2]與直線y=k（x?2）+4有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是�。ǎ琞�。�考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)．.專題：直線與圓．分析：先將曲線進(jìn)行化簡得到一個(gè)圓心是（0，1）的上半圓，直線y=k（x?2）+4表示過定點(diǎn)（2，4）的直線，利用直線與圓的位置關(guān)系可以求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解答：解：因?yàn)閥=1+，所以x2+（y?1）2=4，此時(shí)表示為圓心M（0，1），半徑r=2的圓．因?yàn)閤∈[?2，2]，y=1+≥1，所以表示為圓的上部分．直線y=k（x?2）+4表示過定點(diǎn)P（2，4）的直線，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，有圓心到直線kx?y+4?2k=0的距離d=，解得．當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B（?2，1）時(shí)，直線PB的斜率為．所以要使直線與曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則必有＜k≤．即實(shí)數(shù)k的取值范圍是（，]．故答案為：（，]．點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用以及直線的斜率和距離公式．利用數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵．同時(shí)要注意曲線化簡之后是個(gè)半圓，而不是整圓，這點(diǎn)要注意，防止出錯(cuò)．　14．（5分）數(shù)列{an}滿足a1=1，且對任意的正整數(shù)m，n都有am+n=am+an+mn，則=　　．考點(diǎn)：數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．.專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：先令n=1找遞推關(guān)系并求通項(xiàng)公式，再利用通項(xiàng)的特征求和，即可得到結(jié)論．解答：解：令n=1，得an+1=a1+an+n=1+an+n，∴an+1?an=n+1用疊加法：an=a1+（a2?a1）+…+（an?an?1）=1+2+…+n=所以==2（）所以==2×=故答案為：點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查裂項(xiàng)法的運(yùn)用，屬于中檔題．　15．（5分）【解析版】四川省內(nèi)江市2012-2013學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題
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