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　　大廳的燈光暗下來，帳幕徐徐打開，銀幕上出現了根據J．R．R．Tolkien的三部曲“Lord of the Rings”所改編的電影。Frodo在一個開闊的峽谷里溜達著。遠處，鋸齒狀的冰雪覆蓋著的山峰聳入云端。近處有些不知是什么種類的奇花異木在陽光下閃爍。轉眼，屏幕上的奇景變成了一個男巫凝視著一只水晶球，在這球體的中央出現了一個堡壘，火焰正從它的城垛里竄出來。

　　雖然現在還很難說Frodo是否會在這樣的電影里出現，但我肯定那些山峰、樹木、水晶球以及火焰都會奇妙地出現在銀幕上。這個成就主要將歸功于Pixar公司(即從前的Lucasfilm計算機繪圖實驗室)所開發(fā)的軟件和硬件。有家用計算機的讀者都能夠在計算機上作出基本類似于這些東西的圖形來。由于本文篇幅所限，不能在此對水晶球和火焰作一個廣泛深入的論述，但還是能夠揭示產生它們的基本原理。

　　在上面描述的假想的電影中，我們可以把攝像機移向Frodo身后的那些山峰上。人們可能從來沒有見過比這些山峰更令人生畏的大片陸地了。每一個大的山峰都由一些較小的山峰構成，而這些較小的山峰又由比它們更小的山峰組成，如此下去就形成了一種小山峰的無窮回歸。即使一個有皮質腳的滴水嘴一樣的海怪站在這樣一個犬牙般的地方也會感到難受(見彩圖11)。

　　原則上，這樣的一種山的圖形是容易作出來的。為簡便起見，我假定這山覆蓋了一個三角形的地面。找出每條邊的中點，用三條線段把這三個中點連起來。就把這三角形分成了四個較小三角形。用同樣的辦法再分這四個小三角形。這一過程不斷進行，直到達到分辨率極限或計算時間極限為止。結果是得到一大堆令人感到枯燥無味的三角形。如果要使這圖形變得生動一些，可以在作圖過程中加進一條有關垂直方向上的規(guī)則：每當新的中點畫在圖上時，就使其向上或向下移動某一隨機量。通常這個隨機數必須隨三角形的逐漸變小而減少。這一規(guī)則把那些三角形變成弄皺了的山峰和褶皺(見圖)。

　　為什么這一種方法會作出那樣逼真的山峰圖案呢?答案在于這個過程中產生了一個分數維圖形，即當圖案不斷放大時會顯露出更多的細節(jié)的圖形。分數維形態(tài)在自然界似乎是隨處可見。我們可以用一個關于海岸線的例子解釋分數維圖形的基本概念。假設我們要用一根l000米長的測量桿測量出法國海岸線的長度，那么就得沿著海灘向前一桿一桿地進行艱難的測量，同時數出有多少個l000米。然而這樣會把許多小的海灣和海岬遺漏掉，所以用這種辦法測出的最后得數是不那么準確的。用一根l米長的測量桿重復這一過程，會得出一個更精確、數字更大的結果。但即使如此，也有大量的小海灣和岬地被遺漏掉了。無疑，用一根l厘米長的測量桿結果就會更為精確。

　　一般規(guī)律是，當測量桿變小時，測出的海岸線長度會增大。測出的長度與測量桿桿長之比率為一個專門值，這個值稱為分數維。分數維與通常說的維不同，它往往被表達成一個分數，而不是一個整數。例如我們討論的海岸線的維數可能就是一個3/2的分數維�？梢园堰@樣的一種形狀想象成一個介于一維形狀(直線)和二維形狀(平面)之間的中間形狀。如果海岸線比較直，其分數維就接近于1。如果海岸線很曲折，其分數維就接近于2，此時它幾乎填滿一個二維平面。

　　自然界的分數維模型實際上隱含了細節(jié)的無窮回歸。從計算機繪圖的角度來看，無窮回歸是無關緊要的問題；只要景物看來是具有各級放大水平上的細節(jié)就行了。在達到屏幕分辨率的極限之前，計算機上生成的山的特征就與上述分割過程中最終所得的三角形的特征一樣精細。完整的山峰繪制算法太長太復雜，無法在此作足夠詳細的介紹。但有一個簡單的程度可以繪出Mandelbrot峰的斷面，它稱為MOUNTAIN。該程序體現了沿垂直軸隨機移動中點這一基本早想。開始時是一條水平線段。確定其中點，使其向上或向下移動一段隨機地確定的距離，然后把由此產生的兩個線段再分，并使其各自中點也按此規(guī)則移動。用類似于再分三角形的方法可把這一過程不斷地進行下去。

　　程序MOUNTAIN有兩個數組，叫做points和lines。其作用是保持計算機屏幕上的山的輪廓。每個數組分別有兩列和足夠多的行(比如說2048行)以方便地調整屏幕分辨率；points的兩列是坐標值，而lines的兩列則是下標。每條線段定義為數組points中表明該線段終點坐標的一對位置。觀察一個普通的多邊形通過一連串的再分后形成山的輪廓這一過程是非常有趣的，所以程序MOUNTAIN使每一次圖案的形成都處于用戶的控制下。在—次主循環(huán)結束時，程序詢問用戶是否需要另一次迭代，如果回答是肯定的，那么執(zhí)行會再返回此程序的開頭。

主循環(huán)的作用是把當前的點與線段的集合變成大1倍的新集合。為實現這一點，它一次一行地對數組lines進行掃描，查尋其對應點的下標并從數組poinlts中檢索出它們的坐標。在已知某一給定線段的兩個端點坐標后，程序就可以計算出該線段的中點坐標，同時隨機地改變y坐標的值。下面所列出的算法過程為程序的編制提供了充分的基礎，其中變量j和k是指數組points和lines中當前正保持著再分的最新結果的那些“行”。變量pts和lns記錄在進入主循環(huán)之前構成山的點和線段的數目。開始時j等于pts，k等于lns。下標i從1到lns。

　　MOUNTAIN程序的這一部分在很大程度上是不言自明的。當第j點的坐標計算出來后，下標j就被存貯起來作為第i條線段的第二個點和第k條線段的第一個點。第i條線段的第一個點與其原來的一樣，而第k條線段的第二個點與第i條線段原來的第二個點，即帶有下標b的那個點相同。當循環(huán)最終計算后，pts和lns必須分別復置為j和k的最新值。變量range是在程序的開頭由用戶確定各再分點在垂直方向上隨機移動量的最大值。每次循環(huán)結束時，該變量就要除以2，使得這一隨機移動量與線段尺寸成比例地減小。函數random(range)用于表示在0和變量range的當前值之間所選擇一個隨機數。

    如果Frodo身后的那些山峰是令人難忘的，那么，他周圍的村木和植物就更是令人難忘。它們既逼真又奇特。之所以逼真，是因為它們有與真實植物一樣的分枝，而之所以奇特是因為它們不是常見的物種。大概是圖形設計者有太多的參數可以任他使用，因此他禁不住要創(chuàng)造一些新的植物種類。

這些新的植物種類被叫做“嫁接”(graftal)植物，因為它們是在圖形(graph)的基礎上形成的，且有內在的的分數維性質。這里所謂的“內在分數維性質”，指的是用于生成植物圖案的基本拓撲特征的規(guī)規(guī)則可以(但實際上沒有)應用于屏幕分辨率的極限。簡言之，植物的細枝條不會無限地回歸成更小的枝條。一旦作為植物的基礎的圖形發(fā)展起來，計算機就能用大小、顏色、厚度、質地等解釋植物的圖形，從而把它變換成無數的令人信服的植物種類。

    某一給定植物所據以形成的圖形是由L系統(tǒng)產生，這種系統(tǒng)是丹麥生物學家和數學家Aristid Lindenmeyer在1968年提出的一種語法類別。一個L系統(tǒng)實際就是一套用于從舊的字符串中推導新的字符串的規(guī)則。例如，根據下列規(guī)則，用數字0和1以及符號[和]能夠生成一系列復雜的植物：

   　 0→l[0]1[0]0

  　  l→11

    　[→[

  　  ]→]

    為了弄清如何應用這些規(guī)則，我們從由單個的符號0組成的字符串開始。將箭頭左邊的每一個符號都用與其對應的右邊的符號來代替，就可以一個接一個地得到下列的字符串：

    01[0]1  [0]011[1[0]l[0]0]ll[1[0]1[0]0]1[0]l  [0]0

    把每個數字(0或1)當作一條線段，每個括號當作一個分支點，就可把這樣的字符串變換成樹一樣的圖形。0和1所代表線段的長度相等，其區(qū)別在于0線段的外端上要加一片葉子，而1線段上則什么也不加。

    例如字符串1[0]1[0]0的莖是由三個不在括號內的符號組成的。最下面的是1線段，中間也是1線段，頂部則是0線段。兩根枝條(每根均是一條0線段)從莖上長出來。第一根枝條長在第一條1線段上，第二根枝條則長在第二條1線段上。讀者可以試畫一下樹莖最初幾次生成的圖案。為了使植物更逼真，對這個模型可以加上另外一些解釋性的規(guī)則；例如，對于任何給定的莖(不管它是否主莖)，都可以使枝條輪流地從左右兩側長出。

    一個叫PLANT的由兩部分組成的程序產生上述序列中的第n個字符串，然后把它表示成一個線段圖。在該程序的第一階段，PLANT將它所生成的字符串保存在被稱為String A及string B的兩個符號數組中。每一代植物圖形輪流地占據兩個數組中的一個，即某一數組中所存貯的那一代是由另一數組中所存貯的上；代得來的。也不一定非要在數組中存貯符號。只要程序的代換過程是正確的，數字0，l，2和3也完全可以。

     L系統(tǒng)規(guī)則在條件語句中體現出來；例如可以采用下面這段算法編碼把StringA的第i位上的1個0變成string B中的九個新的符號：

  　　如果stringA(i)＝0，那么

 　　 stringB(j)←1

 　　 stringB(j+1)←2

　　  stringB(j+2)←0

 　　 stringB(j+3)←3

 　　 stringB(j+4)←1

  　　stringB(j+5)←2

 　　 stringB(j+6)←0

　　  stringB(j+7)←3

　　  stringB(j+8)←0

 　　 j←j+9

　　這里0和1代表它們自己，而2和3分別代表[和]，如果string A的第i個符號是0，那么，程序把序列l(wèi)，2，0，3，l，2，0，3，0插入數組string B中以下標j(即數組string B的尚未填入符號的第；個年置)開頭的九個連續(xù)位置上。程序PLANT的第一階段中的一個單循環(huán)就含有四個上述的條件語句，每個語句相應于可能遇到的一個符號。循環(huán)用下標j來指出當前這一代中正被處理的那個符號。循環(huán)執(zhí)行的次數依用戶的愿望而定。在每一次生成后，程序PLANT會詢問用戶是否希望另一個更長的字符串。

    PIANT的第二個階段(即繪圖階段)把第一個階段產生的字符串變換成一個圖形。它循環(huán)地執(zhí)行這一過程：只要左括號(或2)沒有出現，它就在一個給定方向上繪出一系列線段。當碰到某一對括號中的左括號時。程序就在一個新的方向(從前一個方向反時針轉45°)上繪出后面的線段。當對應的右括號出現后，這一過程就終止。這時畫出一片葉子，它的形狀和顏色都留給讀者去想象。第二個左括號的出現使該程序又重復進行。只是現在的方向是順時針45°。其他的工作都是自動進行的。

    PIANT用了一個隨被繪出的植物的復雜性而定的比例因數。例如，第n代植物的高度大約為2n條線段，如果屏幕的高是200個像元，那么每根線段就必須短于200／2n雄心勃勃的讀者們無疑會嘗試生成語法、枝條角度及葉片形狀等方面的新花樣。如果具有這些新花樣的圖案在同一屏幕上生成，植物和樹木的風景就會出現了(當然不是很逼真的)。

    Pixar繪圖計算機的心臟是一個有24兆字節(jié)，2000×2000像元的存貯器，其分辨率對大多數應用是足夠的。此外，每個像元由48個存貯位表示，足夠存貯色采和透明度方面的信息。Pixar繪圖計算機的大容量存貯器由四個高速并行完全可編程序的處理機操縱。它們每秒鐘能執(zhí)行約4000萬條指令，其速度比普通的計算機大幾個數量級。顯示裝置與存貯器問的數據交換速度可達每秒4．8億個字節(jié)。

    Pixar繪圖計算機預定用于醫(yī)學成像、遙感、工程設計及動畫片制作這些領域中。也許還會用來制作我在本文開頭所描述的假想電影。