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章末綜合測（1）集合與常用邏輯用語
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．
1．設全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝ {1，a－2,5}，∁UA＝{2,4}，則a的值為(　　)
A．3　　　　 B．4　　　　
C．5　　　　 D．6
解析：由∁UA＝{2,4}，可得A＝{1,3,5}，∴a－2＝3，a＝5.
答案：C
2．設全體實數(shù)集為R，M＝{1,2}，N＝{1,2,3,4}，則(∁RM)∩N等于(　　) 新課標第一]
A．{4} B．{3,4}
C．{2,3,4} D．{1,2,3,4 }
解析：∵M＝{1,2}，N＝{1,2,3,4}，∴(∁RB)∩N＝{3,4}．
答案：B
3．如圖所示，U是全集，M、N、S是U的子集，則圖中陰影部分所示的集合是(　　)
A．(∁UM∩∁UN)∩S
B．(∁U(M∩N))∩S
C．(∁UN∩∁US)∪M
D．(∁UM∩∁US)∪N
解析：由集合運算公式及Venn圖可知A正確．
答案：A
4．已知p：2＋3＝5，q：5＜4，則下列判斷錯誤的是(　　)
A．“p或q”為真，“p”為假
B．“p且q”為假，“q”為真
C．“p且q”為假，“p”為假
D．“p且q”為真，“p或q”為真
解析：∵p為真，∴p為假．
又∵q為假，∴q為真．∴“p且q”為真，“p或q”為真．
答案：D

A．0 B．1
C．2 D．4

答案：C
6．已知集合A＝{(x，y)y＝lg(x＋1)－1}，B＝{(x，y)x＝m}，若A∩B＝∅，則實數(shù)m的取值范圍是(　　)
A．m＜1 B．m≤1
C．m＜－1 D．m≤－1
解析：A∩B＝∅即指函數(shù)y＝lg(x＋1)－1的圖像與直線x＝m沒有交點，結合圖形可得m≤－1.
答案：D
7．使不等式2x2－5x－3≥0成立的一個 充分不必要條件是(　　)
A．x≥0 B．x＜0或x＞2
C．x∈{－1,3,5} D．x≤－12或x≥3
解析：依題意所選選項能使不等式2x2－5x－3≥0成立，但當不等式2x2－5x－3≥0成立時，卻不一定能推出所選選項．由于不等式2x2－5x－3≥0的解為x≥3，或x≤－12.
答案：D
8．命題p：不等式xx－1＞xx－1的解 集為{x0＜x＜1}；命題q：0＜a≤15是函數(shù)f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間(－∞，4]上為減函數(shù)的充分不必要條件，則(　　)
A．p真q假 B．“p且q”為真
C．“p或q”為假 D．p假q真
解析：命題p為真，命題q也為真．事實上，當0＜a≤15時，函數(shù)f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間(－∞，4]上為減函數(shù)，但若函數(shù)在(－∞，4]上是減函數(shù)，應有0≤a≤15.故“p且q”為真．
答案：B
9．已知命題p：∃x0∈R，使tanx0＝1，命題q：x2－3x＋2＜0的解集是{x1＜x＜2}，下列結論：[X k b 1 . c o m
①命題“p且q”是真命題；
②命題“p且(q)”是假命題；
③命題“(p)或q”是真命題；
④命題“(p)或(q)”是假命題．
其中正確的是(　　)
A．②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④
解析：命題p：∃x0∈R，使tanx0＝1為真命題，
命題q：x2－3x＋2＜0的解集是{x1＜x＜2}也為真命題，
∴p且q是真命題，p且(q)是假命題，
(p)或q是真命題，(p)或(q)是假命題，
故①②③④都正確．
答案：D
10．在命題“若拋物線y＝ax2＋bx＋c的開口向下，則{xax2＋bx＋c＜0}≠∅”的逆命題、否命題、逆否命題中結論成立的是(　　)
A．都真 B．都假
C．否命題真 D．逆否命題真
解析：對于原命題：“若拋物線y＝ax2＋bx＋c的開口向下，則{xax2＋bx＋c＜0}≠∅”，這是一個真命題，所以其逆否命題也為真命題；但其逆命題是：“若{xax2＋bx＋c＜0}≠∅，則拋物線y＝ax2＋bx＋c的開口向下”是一個假命題，因 為當不等式ax2＋bx＋c＜0的解集非空時，可以有a＞0，即拋物線開口可以向上，因此否命題也是假命題．故選D.
答案：D
11．若命題“∀x，y∈(0，＋∞)，都有(x＋y)1x＋ay≥9”為真命題，則正實數(shù)a的最小值是(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：(x＋y)1x＋ay＝1＋a＋axy＋yx≥1＋a＋2a＝(a＋1)2≥9，所以a≥4，故a的最小值為4.
答案：B
12．設p：y＝cx(c＞0)是R上的單調遞減函數(shù)；q：函數(shù)g(x)＝lg(2cx2＋2x＋1)的值域為R.如果“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，則c的取值范圍是(　　)
A.12，1 B.12，＋∞
C.0，12∪[1，＋∞) D.0，12
解析：由y＝cx(c＞0) 是R上的單調遞減函數(shù)，
得0＜c＜1，所以p：0＜c＜1，
由g(x)＝lg(2cx2＋2x＋1)的值域為R，
得當c＝0時，滿足題意．
當c≠0時，由c＞0，Δ＝4－8c≥0，得0＜c≤12.
所以q：0≤c≤12.
由p且q為假命題，p或q為真命題可 知p、q一假一真．
當p為真命題，q為假命題時，得12＜c＜1，
當p為假命題時，c≥1，q為真命題時，0≤c≤12.
故此時這樣的c不存在．
綜上，可知12＜c＜1.
答案：A
第Ⅱ卷　(非選擇　共90分)
二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．
13．已知命題p：∃x∈R，x3－x2＋1≤0，則命題p是____________________．
解析：所給命題是特稱命題，而特稱命題的否定是全稱命題，故得結論．
答 案：∀x∈R，x3－x2＋1＞0
14．若命題“∃x∈R,2x2－3ax＋9＜0”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是__________．
解析：∵“∃x∈R,2x2－3ax＋9＜0”為假命題，
∴“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”為真命題．
∴Δ＝9a2－4×2×9≤0，解得－22≤a≤22.
故實數(shù)a的取值范圍是[－22，22]．
答案：[－22，22]
15．已知命題p：“對∀x∈R，∃m∈R使4x－2x＋1＋m＝0”，若命題p是假命題，則實數(shù)m的取值范圍是__________．
解析：命題p是假命題，即命題p是真命題，也就是關于x的方程4x－2x＋1＋ m＝0有實數(shù)解，即m＝－(4x－2x＋1)．令f(x)＝－(4x－2x＋1)，由于f(x)＝－( 2x－1)2＋1，所以當x∈R時f(x)≤1，因此實數(shù)m的取值范圍是(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
16．已知集合A＝{x∈Rx2－x≤0}，函數(shù)f(x)＝2－x＋a(x∈A)的值域為B.若B⊆A，則實數(shù)a的取值范圍是__________．
解析：A＝{x∈Rx2－x≤0}＝[0 ,1]．
∵函數(shù)f(x)＝2－x＋a在[0,1]上為減函數(shù)，
∴函數(shù)f(x)＝2－x＋a(x∈A)的值域B＝12＋a，1＋a.
∵B⊆A，
∴12＋a≥0，1＋a≤1.解得－12≤a≤0.
故實數(shù)a的取值范圍是－12，0.
答案：－12，0
三、解答題：本大題共6小題，共70分．
17．(10分)記函數(shù)f(x)＝lg(x2－x－2)的定義域為集合A，函數(shù)g(x)＝3－x的定義域為集合B.
(1)求A∩B和A∪B；
(2)若C＝{x4x＋p＜0}，C⊆A，求實數(shù)p的取值范圍．
解析：(1)依題意，得A＝{xx2－x－2＞0}＝{xx＜－1，或x＞2}，
B＝{x3－x≥0}＝{x－3≤x≤3}，
∴A∩B＝{x－3≤x＜－1，或2＜x≤3}，
A∪B＝R.
(2)由4x＋p＜0，得x＜－p4，而C⊆A，
∴－p4≤－1.∴p≥4.
18．(12分)已知命題p：關于x的不等式x2－2ax＋4＞0對一切x∈R恒成立；命題q：函數(shù)y＝log(4－2a)x在(0，＋∞)上遞減．若p∨q為真，p∧q為假，求實數(shù)a的取值范圍．
解析：命題p為真，則有4a2－16＜0，解得－2＜a＜2；
命題q為真，則有0＜4－2a＜1，解得32＜a＜2.
由“p∨q為真，p∧q為假”可知p和q滿足：
p真q真、p假q真、p假q假．
而當p真q假時，應有－2＜a＜2，a≥2或，a≤32，即－2＜a≤32，
取其補集得a≤－2，或a＞32，
此即為當“p∨q為真，p∧q為假”時實數(shù)a的取值范圍，故a∈(－∞，－2]∪32，＋∞
19．(12分)已知命題p：x－8＜2，q：x－1x＋1＞0，r：x2－3ax＋2a2＜0(a＞0)．若命題r是命題p的必要不充分條件，且r是q的充分不必要條件，試求a的取值范圍．
解析：命題p即：{x6＜x＜10}；
命題q即：{xx＞1}；
命題r即：{xa＜x＜2a}．
由于r 是p的必要而不充分條件，r是q的充分而不必要條件，結合數(shù)軸應有1≤a≤6，2a≥10.解得5≤a≤6，
故a的取值范圍是[5,6]．
20．(12分)已知集合A＝{x2－a≤x≤2＋a}，B＝{xx2－5x＋4≥0}．
(1)當a＝3時，求A∩B，A∪(∁UB)；
(2)若A ∩B＝∅，求實數(shù)a的取值范圍．
解析：(1)∵a＝3，∴A＝{x－1≤x≤5}．
由x2－5x＋4≥0，得x≤1，或x≥4，
故B＝{xx≤1，或x≥4}．
∴A∩B＝{x－1≤x≤1或4≤x≤5}．
A∪(∁UB)＝{x－1≤x≤5}∪{x1＜x＜4}
＝{x－1≤x≤5}．
(2)∵A＝[2－a,2＋a]，B＝(－∞，1]∪[4，＋∞)，且A∩B＝∅，
∴2－a＞1，2＋a＜4，解得a＜1.
21．(12分)已知函數(shù)f(x)＝2x2－2ax＋b，f(－1)＝－8.對∀x∈R，都有f(x)≥f(－1)成立．記集合A＝{xf(x)＞0}，B＝{xx－t≤1}．
(1)當t＝1時，求(∁RA)∪B；
(2)設命題p：A∩B＝∅，若p為真命題，求實數(shù)t 的取值范圍．
解析：由題意知(－1，－8)為二次函數(shù)的頂點，
∴f(x)＝2(x＋1)2－8＝2(x2＋2x－3)．
由f(x)＞0，即x2＋2x－3＞0得x＜－3，或x＞1，
∴A＝{xx＜－3，或x＞1}．
(1)∵B＝{xx－1≤1}＝{x0≤x≤2}．
∴(∁RA)∪B＝{x－3≤x≤1}∪{x0≤x≤2}
＝{x－3≤x≤2}．
(2)由題意知，B＝{xt－1≤x≤t＋1}，且A∩B＝∅，
∴t－1≥－3，t＋1≤1⇒t≥－2，t≤0，
∴實數(shù)t的取值范圍是[－2,0]．
22．(12分)已知全集U＝R，非空集合A＝xx－2x－3a－1＜0，B＝xx－a2－2x－a＜0.
(1)當a＝12時，求(∁UB)∩A；
(2)命題p：x∈A，命題q：x∈B，若q是p的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．
解析：(1)當a＝12時，
A＝x2＜x＜52，
B＝x12＜x＜94.
∁UB＝xx≤12，或x≥94.
(∁UB)∩A＝x94≤x＜52.
(2)若q是p的必要條件，
即p⇒q，可知A⊆B，
由a2＋2＞a，得B＝{xa＜x＜a2＋2}，
當3a＋1＞2，即a＞13時，A＝{x2＜x＜3a＋1}，
∴a≤2，a2＋2≥3a＋1，解得13＜a≤3－52；
當3a＋1＝2，即a＝13時，A＝∅，符合題意；
當3a＋1＜2， 即a＜13時，A＝{x3a＋1＜x＜2}．
∴a≤3a＋1，a2＋2≥2，解得－12≤a＜13；
綜上，a∈－12，3－52.

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.douzifanli.com/gaozhong/115273.html

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