�。ㄒ唬┙虒W(xué)目標(biāo)
1．知識(shí)與技能:通過(guò)實(shí)例，理解等差數(shù)列的概念；探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題；體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系。
2. 過(guò)程與方法:讓學(xué)生對(duì)日常生活中實(shí)際問(wèn)題分析，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，推導(dǎo)，歸納抽象出等差數(shù)列的概念；由學(xué)生建立等差數(shù)列模型用相關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，進(jìn)行等差數(shù)列通項(xiàng)公式應(yīng)用的實(shí)踐操作并在操作過(guò)程中，通過(guò)類比函數(shù)概念、性質(zhì)、表達(dá)式得到對(duì)等差數(shù)列相應(yīng)問(wèn)題的研究。
3．情態(tài)與價(jià)值:培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納的能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。
�。ǘ┙虒W(xué)重、難點(diǎn)
重點(diǎn)：理解等差數(shù)列的概念及其性質(zhì)，探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；會(huì)用公式解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)之間的聯(lián)系。
難點(diǎn)：概括通項(xiàng)公式推導(dǎo)過(guò)程中體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思想方法。
（三）學(xué)法與教學(xué)用具
學(xué)法：引導(dǎo)學(xué)生首先從四個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題（數(shù)數(shù)問(wèn)題、女子舉重獎(jiǎng)項(xiàng)設(shè)置問(wèn)題、水庫(kù)水位問(wèn)題、儲(chǔ)蓄問(wèn)題）概括出數(shù)組特點(diǎn)并抽象出等差數(shù)列的概念；接著就等差數(shù)列的特點(diǎn)，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；可以用多種方法對(duì)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行推導(dǎo)。
教學(xué)用具：投影儀
�。ㄋ模┙虒W(xué)設(shè)想
[創(chuàng)設(shè)情景]
上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了數(shù)列。在日常生活中，人口增長(zhǎng)、教育貸款、存款利息等等這些大家以后會(huì)接觸得比較多的實(shí)際計(jì)算問(wèn)題，都需要用到有關(guān)數(shù)列的知識(shí)來(lái)解決。今天我們就先學(xué)習(xí)一類特殊的數(shù)列。
[探索研究]
由學(xué)生觀察分析并得出答案：
�。ǚ磐队捌┰诂F(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常這樣數(shù)數(shù)，從0開(kāi)始，每隔5數(shù)一次，可以得到數(shù)列：0，5，____,____,____,____,……
2000年，在澳大利亞悉尼舉行的奧運(yùn)會(huì)上，女子舉重被正式列為比賽項(xiàng)目。該項(xiàng)目共設(shè)置了7個(gè)級(jí)別。其中較輕的4個(gè)級(jí)別體重組成數(shù)列（單位：kg）：48，53，58，63。
水庫(kù)的管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清理水庫(kù)的雜魚。如果一個(gè)水庫(kù)的水位為18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么從開(kāi)始放水算起，到可以進(jìn)行清理工作的那天，水庫(kù)每天的水位組成數(shù)列（單位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5
我國(guó)現(xiàn)行儲(chǔ)蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金計(jì)算下一期的利息。按照單利計(jì)算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期存入10 000元錢，年利率是0.72%。那么按照單利，5年內(nèi)各年末的本利和分別是：
時(shí)間
年初本金（元）
年末本利和（元）
第1年
10 000
10 072
第2年
10 000
10 144
第3年
10 000
10 216
第4年
10 000
10 288
第5年
10 000
10 360
各年末的本利和（單位：元）組成了數(shù)列：10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360。
思考：同學(xué)們觀察一下上面的這四個(gè)數(shù)列：0，5，10，15，20，…… ①
48，53，58，63 ②
18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③
10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ④
看這些數(shù)列有什么共同特點(diǎn)呢？
（由學(xué)生討論、分析）
引導(dǎo)學(xué)生觀察相鄰兩項(xiàng)間的關(guān)系，得到：
對(duì)于數(shù)列①，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于 5 ；
對(duì)于數(shù)列②，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于 5 ；
對(duì)于數(shù)列③，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于 -2.5 ；
對(duì)于數(shù)列④，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于 72 ；
由學(xué)生歸納和概括出，以上四個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)（即：每個(gè)都具有相鄰兩項(xiàng)差為同一個(gè)常數(shù)的特點(diǎn)）。
[等差數(shù)列的概念]
對(duì)于以上幾組數(shù)列我們稱它們?yōu)榈炔顢?shù)列。請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)我們剛才分析等差數(shù)列的特征，嘗試著給等差數(shù)列下個(gè)定義：
等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。
這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。那么對(duì)于以上四組等差數(shù)列，它們的公差依次是5，5，-2.5，72。
提問(wèn)：如果在與中間插入一個(gè)數(shù)A，使，A，成等差數(shù)列數(shù)列，那么A應(yīng)滿足什么條件？
由學(xué)生回答：因?yàn)閍，A，b組成了一個(gè)等差數(shù)列，那么由定義可以知道：
A-a=b-A
所以就有
由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng)。
不難發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)。
如數(shù)列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中項(xiàng)，1和9的等差中項(xiàng)。9是7和11的等差中項(xiàng)，5和13的等差中項(xiàng)。
看來(lái)，從而可得在一等差數(shù)列中，若m+n=p+q則
[等差數(shù)列的通項(xiàng)公式]
對(duì)于以上的等差數(shù)列，我們能不能用通項(xiàng)公式將它們表示出來(lái)呢？這是我們接下來(lái)要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。
⑴、我們是通過(guò)研究數(shù)列的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系去寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式的。下面由同學(xué)們根據(jù)通項(xiàng)公式的定義，寫出這四組等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。
由學(xué)生經(jīng)過(guò)分析寫出通項(xiàng)公式：
① 這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)是5，第2項(xiàng)是10（=5+5），第3項(xiàng)是15（=5+5+5），第4項(xiàng)是20（=5+5+5+5），……由此可以猜想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是
② 這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)是48，第2項(xiàng)是53（=48+5），第3項(xiàng)是58（=48+5×2），第4項(xiàng)是63（=48+5×3），由此可以猜想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是
③ 這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)是18，第2項(xiàng)是15.5（=18-2.5），第3項(xiàng)是13（=18-2.5×2），第4項(xiàng)是10.5（=18-2.5×3），第5項(xiàng)是8（=18-2.5×4），第6項(xiàng)是5.5（=18-2.5×5）由此可以猜想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是
④ 這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)是10072，第2項(xiàng)是10144（=10172+72），第3項(xiàng)是10216（=10072+72×2），第4項(xiàng)是10288（=10072+72×3），第5項(xiàng)是10360（=10072+72×4），由此可以猜想得到這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是
⑵、那么，如果任意給了一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差d，它的通項(xiàng)公式是什么呢？
引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行歸納：
（n-1）個(gè)等式
所以
……
思考：那么通項(xiàng)公式到底如何表達(dá)呢？
……
得出通項(xiàng)公式：由此我們可以猜想得出：以為首項(xiàng)，d為公差的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：
也就是說(shuō)，只要我們知道了等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差d，那么這個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)就可以表示出來(lái)了。
選講：除此之外，還可以用迭加法和迭代法推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：
�。ǖ臃ǎ� 是等差數(shù)列，所以
……
兩邊分別相加得
所以
�。ǖǎ菏堑炔顢�(shù)列，則有
……
所以
[例題分析]
例1、⑴求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項(xiàng).
⑵-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13，…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？
分析：⑴要求出第20項(xiàng)，可以利用通項(xiàng)公式求出來(lái)。首項(xiàng)知道了，還需要知道的是該等差數(shù)列的公差，由公差的定義可以求出公差；
⑵這個(gè)問(wèn)題可以看成是上面那個(gè)問(wèn)題的一個(gè)逆問(wèn)題。要判斷這個(gè)數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng)，就是要看它是否滿足該數(shù)列的通項(xiàng)公式，并且需要注意的是，項(xiàng)數(shù)是否有意義。
解：⑴由=8，d=5-8=-3，n=20，得
⑵由=-5，d=-9-（-5）=-4，得這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為由題意知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n,使得-401=-4n-1成立。
解這個(gè)關(guān)于n的方程，得n=100，即-401是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng)。
例題評(píng)述：從該例題中可以看出，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式其實(shí)就是一個(gè)關(guān)于、、d、n（獨(dú)立的量有3個(gè)）的方程；另外，要懂得利用通項(xiàng)公式來(lái)判斷所給的數(shù)是不是數(shù)列中的項(xiàng)，當(dāng)判斷是第幾項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)時(shí)還應(yīng)看求出的項(xiàng)數(shù)是否為正整數(shù)，如果不是正整數(shù)，那么它就不是數(shù)列中的項(xiàng)。
（放投影片）例2．某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km，起步價(jià)為10元，即最初的4km（不含4千米）計(jì)費(fèi)10元。如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時(shí)間為0，需要支付多少車費(fèi)？
解：根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4km時(shí)，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我們可以建立一個(gè)等差數(shù)列來(lái)計(jì)算車費(fèi).
令=11.2，表示4km處的車費(fèi)，公差d=1.2。那么當(dāng)出租車行至14km處時(shí)，n=11，此時(shí)需要支付車費(fèi)
答：需要支付車費(fèi)23.2元。
例題評(píng)述：這是等差數(shù)列用于解決實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用，要學(xué)會(huì)從實(shí)際問(wèn)題中抽象出等差數(shù)列模型，用等差數(shù)列的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。
（放投影片）思考例題：例3 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為其中p、q為常數(shù)，且p≠0，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？
分析：判定是不是等差數(shù)列，可以利用等差數(shù)列的定義，也就是看（n＞1）是不是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)。
解：取數(shù)列中的任意相鄰兩項(xiàng)（n＞1），
求差得
它是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的數(shù).
所以是等差數(shù)列。
課本左邊“旁注”：這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差分別是多少？
這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)。由此我們可以知道對(duì)于通項(xiàng)公式是形如的數(shù)列，一定是等差數(shù)列，一次項(xiàng)系數(shù)p就是這個(gè)等差數(shù)列的公差，首項(xiàng)是p+q.
例題評(píng)述：通過(guò)這個(gè)例題我們知道判斷一個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列的方法：如果一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于正整數(shù)n的一次型函數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列必定是等差數(shù)列。
[探究]
引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手畫圖研究完成以下探究：
⑴在直角坐標(biāo)系中，畫出通項(xiàng)公式為的數(shù)列的圖象。這個(gè)圖象有什么特點(diǎn)？
�、圃谕粋�(gè)直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=3x-5的圖象，你發(fā)現(xiàn)了什么？據(jù)此說(shuō)一說(shuō)等差數(shù)列與一次函數(shù)y=px+q的圖象之間有什么關(guān)系。
分析：⑴n為正整數(shù)，當(dāng)n取1，2，3，……時(shí)，對(duì)應(yīng)的可以利用通項(xiàng)公式求出。經(jīng)過(guò)描點(diǎn)知道該圖象是均勻分布的一群孤立點(diǎn)；
�、飘嫵龊瘮�(shù)y=3x-5的圖象一條直線后發(fā)現(xiàn)數(shù)列的圖象（點(diǎn)）在直線上，數(shù)列的圖象是改一次函數(shù)當(dāng)x在正整數(shù)范圍內(nèi)取值時(shí)相應(yīng)的點(diǎn)的集合。于是可以得出結(jié)論：等差數(shù)列的圖象是一次函數(shù)y=px+q的圖象的一個(gè)子集，是y=px+q定義在正整數(shù)集上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合。
該處還可以引導(dǎo)學(xué)生從等差數(shù)列中的p的幾何意義去探究。
[隨堂練習(xí)]
例1之后：課本45頁(yè)“練習(xí)”第1題；
例2之后：課本45頁(yè)“練習(xí)”第2題；
[課堂小結(jié)]
本節(jié)主要內(nèi)容為：
�、俚炔顢�(shù)列定義：即(n≥2)
②等差數(shù)列通項(xiàng)公式：(n≥1)
推導(dǎo)出公式：
(五）評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)
1、已知是等差數(shù)列.
�、� 是否成立？呢？為什么？
�、� 是否成立？據(jù)此你能得出什么結(jié)論？
是否成立？據(jù)此你又能得出什么結(jié)論？
2、已知等差數(shù)列的公差為d.求證：
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.douzifanli.com/gaozhong/155983.html
相關(guān)閱讀：高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法總結(jié)