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　　變換是數(shù)學的重要工具，也是數(shù)學學習的主要對象之一。代數(shù)變換是學生熟悉的，與代數(shù)變換一樣，三角變換也是只變其形不變其質(zhì)的，它可以揭示那些外形不同但實質(zhì)相同的三角函數(shù)式之間的內(nèi)在聯(lián)系。在本冊第一章，學生接觸了同角三角函數(shù)式的變換，在本章，學生將運用向量方法推導兩角差的余弦公式，由此出發(fā)導出其他的三角恒等變換公式，并運用這些公式進行簡單的三角恒等變換。通過本章學習，學生的推理能力和運算能力將得到進一步提高。

　　一、內(nèi)容與課程學習目標

　　本章學習的主要內(nèi)容是兩角和與差的正弦、余弦和正切公式，以及運用這些公式進行簡單的三角恒等變換。

　　通過本章的學習，要引導學生：

　　1．經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作用。

　　2．能從兩角差的余弦公式導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系。

　　3．能運用上述公式進行簡單的恒等變換（包括嘗試導出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶），通過這些基本訓練，使學生進一步提高運用聯(lián)系的觀點、化歸的思想方法處理問題的自覺性，體會一般與特殊的關(guān)系與轉(zhuǎn)化、換元思想、方程思想等在三角恒等變換中的作用。

　　4．在學習三角恒等變換的基本思想和方法的過程中，發(fā)展推理能力和運算能力。

　　二、內(nèi)容安排

　　本章包含2節(jié)，教學時間約8課時，具體分配如下(僅供參考)：

　　3．1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式      約4課時

　　3．2簡單的三角恒等變換                    約3課時

　　小結(jié)                                      約1課時

　　本章知識結(jié)構(gòu)如下：

　　和（差）角公式的邏輯聯(lián)系圖：

　　1．本章內(nèi)容的認知基礎(chǔ)是代數(shù)變換與同角三角函數(shù)式的變換。與其他數(shù)學變換一樣，三角恒等變換也包括變換的對象、目標以及變換的依據(jù)和方法等要素。三角恒等變換的基本目標是由含有一個角的三角函數(shù)式拓廣到包含兩個角的三角函數(shù)式，因此建立一套含有兩個角的三角函數(shù)式的變換公式就是本章的首要任務，這也是第一節(jié)的中心內(nèi)容。

　　為了引起學生對本章內(nèi)容的學習需要，同時為了加強三角變換的實際應用，本章的開篇從一個實際問題出發(fā)，通過數(shù)學化，得到一個必須通過三角變換才能解決的數(shù)學問題，從而激發(fā)學生對本章內(nèi)容的學習興趣和求知欲。

　　2．由于角的和、差、倍之間有內(nèi)在聯(lián)系并可以相互轉(zhuǎn)化，因此它們的三角函數(shù)之間也必然存在緊密聯(lián)系，這樣，我們可以利用這種聯(lián)系性，在獲得其中一個公式的基礎(chǔ)上，通過角的形式變換，用邏輯推理的方法而得到其他公式。

　　那么，應當以哪一個公式作為基礎(chǔ)呢？過去的教材曾經(jīng)進行過許多探索，其基本出發(fā)點都是努力使公司的證明過程盡量簡明易懂，易于被學生所接受。這里，我們以向量為工具，選擇了兩角差的余弦公式作為基礎(chǔ)。應當說，這樣處理使得公式的得出成為一個純粹的代數(shù)運算過程，大大降低了思考難度（盡管同時也失去了一些對學生進行數(shù)學思維訓練的機會）。

　　另外，對于眾多公式的推導順序，也可以有多種不同安排。本章中先探索出了兩角差的余弦公式，然后以它為基礎(chǔ)，推導出其他公式，具體過程如下：

　　實際教學中，教師可以根據(jù)學生情況，對公式的推導順序作出自己的選擇。

　　3．本章內(nèi)容安排考慮的另一個重要問題是如何引導學生在學習三角變換的過程中發(fā)展推理能力與運算能力，這種對能力培養(yǎng)的要求不僅體現(xiàn)在應用公式進行變換的練習中，而且也體現(xiàn)在公式的推導過程中。因此，全章始終注意通過恰時恰點的問題，引導學生用類比、聯(lián)系、化歸的觀點分析與處理問題，引導學生逐漸明確三角變換不僅是三角函數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式變換，而且還有角的變換，以及不同三角函數(shù)之間的變換，使學生領(lǐng)悟有關(guān)公式在變換中的作用和用法，學會用恰當?shù)臄?shù)學思想方法指導選擇和設(shè)計變換思路。

　　4．本章內(nèi)容安排中，認真貫徹了“標準”提出的“刪減繁瑣的計算、人為技巧化的難題和過分強調(diào)細枝末節(jié)的內(nèi)容”的要求，嚴格控制三角恒等變換及其應用的難度，把過去作為變換依據(jù)的半角公式、和差化積公式、積化和差公式等，處理成為三角變換的基本練習。

　　三、編寫中考慮的幾個問題

　　削枝強干，精簡內(nèi)容。

　　把重點放在兩角差的余弦公式的推導，以及通過它推出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦和正切公式，并形成對這些公式內(nèi)在聯(lián)系性的認識，把半角公式、積化和差、和差化積公式作為三角恒等變換的基本訓練。經(jīng)過這樣的處理，減少了三角變換所需要的課時數(shù)（從過去的11課時左右減為現(xiàn)在的8課時）。

　　2．突出數(shù)學思想方法，在類比、推廣、特殊化等一般邏輯思考方法上進行引導。

　　本章不僅關(guān)注使學生得到和（差）角公式，而且還特別關(guān)注公式推導過程中體現(xiàn)的數(shù)學思想方法。例如，在兩角差的余弦公式這一關(guān)鍵性問題的解決總體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想以及向量方法的應用；從兩角差的余弦公式推出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦和正切公式的過程中，始終引導學生體會化歸思想；在應用公式進行恒等變換的過程中，滲透了觀察、類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法。特別是充分發(fā)揮了“觀察”“思考”“探究”等欄目的作用，對學生解決問題的一般思路進行引導，這對學生養(yǎng)成科學的數(shù)學思考習慣能起到積極的促進作用。另外，還在適當?shù)臅r候?qū)θ�角變換中的數(shù)學思想方法作了明確的總結(jié)。例如，在旁白中有“‘倍’是描述兩個數(shù)量之間關(guān)系的，2α是α的二倍…… 是的二倍，這里蘊含著換元的思想”“這兩個式子的左右兩邊在結(jié)構(gòu)上有什么不同”等，這些都是為了加強思想方法而設(shè)置的。

　　3．以問題為引導，加強過程與聯(lián)系，切實改進學生的學習方式，提高學生的數(shù)學能力。

　　為了激發(fā)學生的自主探究、動手實踐等的積極性，發(fā)揮學生學習的主動性，使學生學習方式的改進得到落實，本章設(shè)置了許多思考性問題和旁注，用以啟發(fā)學生思考，提示關(guān)鍵所在，這樣做，既能為學生深刻理解所學內(nèi)容創(chuàng)造條件，又能鼓勵學生在學習過程中養(yǎng)成獨立思考、積極探索的習慣，從而使得學生學習方式的改進得到具體落實，并切實提高學生的思維能力。例如，在兩角差的余弦公式的推導過程中，以“如何用任意角α，β的正弦、余弦值來表示 ？”“你認為要獲得相應的表達式需要哪些已經(jīng)學過的知識？”“以上推導是否有不嚴謹之處？若有，請做出補充”等問題，引導學生開展獨立思考；又如，在由兩角差的余弦公式推導其他公式的過程中，先由“用誘導公式可以實現(xiàn)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的互化，你能根據(jù)、及誘導公式推導出、嗎”等對學生的思路進行引導，然后以“留空”的方式讓學生自主推導出有關(guān)公式。

　　四、對教學的幾個建議

　　1．精心搞好教學設(shè)計，突出重點，突破難點。

　　本章內(nèi)容的重點是兩角差的余弦公式的推導及在推導過程中體現(xiàn)的思想方法，同時它也是難點。為了突出重點、突破難點，教學中可以設(shè)計一定的教學情景，引導學生從數(shù)形結(jié)合的角度，利用單位圓中的三角函數(shù)線、三角形中的邊角關(guān)系等建立包含α，β，α－β的正弦、余弦值的等量關(guān)系。這個過程比較復雜，而且難度也比較大，但對理解公式的結(jié)構(gòu)特征有促進作用，另外還能激發(fā)學生探索簡便方法的欲望。

　　前一章中，教科書已經(jīng)明確指出，向量的數(shù)量積是解決距離與夾角問題的好工具，在兩角差的余弦公式的推導中正好能夠體現(xiàn)它的力量。由于學生剛接觸向量，他們還不太習慣用向量工具解決問題，因此這里需要教師作引導。教學時應當注意三個要點：

　�。�1）在回顧求角的余弦的方法時，有意識地提醒學生聯(lián)想向量方法；

　�。�2）充分利用單位圓，分析其中有關(guān)幾何元素（角的終邊及其夾角）的關(guān)系，為向量方法的運用做好準備；

　　（3）探索過程的安排，應當先把握整體，然后逐步追求細節(jié)。具體的，教科書的安排是先由圖3.1-3（P.140）得出一個公式，然后通過問題“以上推導是否有不嚴謹之處？若有，請做出補充”，引導學生補充細節(jié)。在補充完善的過程中，需要運用分類討論思想及誘導公式。

　　突破了兩角差的余弦公式的推導這一難點后，其他所有公式都可以通過學生自己的獨立探索而得出。

　　2．準確把握教學要求。

　　與以往的三角恒等變換學習相比較，“標準”強調(diào)了用向量方法推導差角的余弦公式，以用三角函數(shù)之間的關(guān)系推導和（差）角公式、二倍角公式，其他公式（積化和差、和差化積、半角公式等）都處理成為三角恒等變換的基本訓練。這樣的安排，把重點放在培養(yǎng)學生的推理能力和運算能力上，而對變換的技巧性要求大大降低。教學時應當把握好這種變化，遵循“標準”所規(guī)定的內(nèi)容和要求，不要隨意補充已被刪簡的知識點（如半角公式、積化和差與和差化積公式只是作為基本訓練的素材，結(jié)果不要求記憶，更不要求運用），也不要引進那些繁瑣的、技巧性高的變換難題以及強調(diào)細枝末節(jié)的內(nèi)容。

　　3．加強相關(guān)知識的聯(lián)系性，強調(diào)數(shù)學思想方法。

　　三角恒等變換與代數(shù)恒等變換、圓的幾何性質(zhì)等都有緊密聯(lián)系。推導兩角差的余弦公式的過程比較集中地反映了這種聯(lián)系，從中體現(xiàn)了豐富的數(shù)學思想。從數(shù)學變換的角度看，三角恒等變換與代數(shù)恒等變換既有相同之處又有各自特點。相同之處在于它們都是運用一定的數(shù)學工具對相應的數(shù)學式子作“只變其形不變其質(zhì)”的數(shù)學運算，對其結(jié)構(gòu)形式進行變換。由于三角函數(shù)式的差異不僅表現(xiàn)在其結(jié)構(gòu)形式上，而且還表現(xiàn)在包含的角及其函數(shù)類型上，因此三角恒等變換常常需要先考慮式子中包含的各個角之間的關(guān)系，然后以這種關(guān)系為依據(jù)來選擇適當?shù)娜�角公式進行變換，這是三角恒等變換的主要特點。教學中應當引導學生以一般的數(shù)學（代數(shù)）變換思想為指導，加強對三角函數(shù)式特點的觀察過程，在類比、特殊化、化歸等思想方法上多作引導，同時要注意體會三角恒等變換的特殊性。