三、第三次數(shù)學危機
數(shù)學基礎的第三次危機是由1897年的突然沖擊而出現(xiàn)的，從整體上看到現(xiàn)在還沒有解決到令人滿意的程度。這次危機是由于在康托的一般集合理論的邊緣發(fā)現(xiàn)悖論造成的。由于集合概念已經滲透到眾多的數(shù)學分支，并且實際上集合論已經成了數(shù)學的基礎，因此集合論中悖論的發(fā)現(xiàn)自然地引起了對數(shù)學的整個基本結構的有效性的懷疑。
1897年，福爾蒂揭示了集合論的第一個悖論；兩年后，康托發(fā)現(xiàn)了很相似的悖論，它們涉及到集合論中的結果。1902年，羅素發(fā)現(xiàn)了一個悖論，它除了涉及集合概念本身外不涉及別的概念。
羅素，英國人，哲學家、邏輯學家、數(shù)學家。1902年著述《數(shù)學原理》，繼而與懷德海合著《數(shù)學原理》(1910年～1913年)，把數(shù)學歸納為一個公理體系，是劃時代的著作之一。他在很多領域都有大量著作，并于1950年獲得諾貝爾文學獎。他關心社會現(xiàn)象，參加和平運動，開辦學校。1968～1969年出版了他的自傳。
羅素悖論曾被以多種形式通俗化，其中最著名的是羅索于1919年給出的，它講的是某村理發(fā)師的困境。理發(fā)師宣布了這樣一條原則：他只給不自己刮胡子的人刮胡子。當人們試圖答復下列疑問時，就認識到了這種情況的悖論性質：“理發(fā)師是否可以給自己刮胡子？”如果他給自己刮胡子，那么他就不符合他的原則；如果他不給自己刮胡子，那么他按原則就該為自己刮胡子。
羅素悖論使整個數(shù)學大廈動搖了，無怪乎弗雷格在收到羅素的信之后，在他剛要出版的《算術的基本法則》第2卷本末尾寫道：“一位科學家不會碰到比這更難堪的事情了，即在工作完成之時，它的基礎垮掉了。當本書等待付印的時候，羅素先生的一封信把我就置于這種境地”。狄德金原來打算把《連續(xù)性及無理數(shù)》第3版付印，這時也把稿件抽了回來。發(fā)現(xiàn)拓撲學中“不動點原理”的布勞恩也認為自己過去做的工作都是“廢話”，聲稱要放棄不動點原理。
自從在康托的集合論和發(fā)現(xiàn)上述矛盾之后，還產生了許多附加的悖論。集合論的現(xiàn)代悖論與邏輯的幾個古代悖論有關系。例如公元前四世紀的歐伯利得悖論：“我現(xiàn)在正在做的這個陳述是假的”。如果這個陳述是真的，則它是假的；然而，如果這個陳述是假的，則它又是真的了。于是，這個陳述既不能是真的，又不能是假的，怎么也逃避不了矛盾。更早的還有埃皮門尼德(公元前6世紀，克利特人)悖論：“克利特人總是說謊的人”。只要簡單分析一下，就能看出這句話也是自相矛盾的。
集合論中悖論的存在，明確地表示某些地方出了毛病。自從發(fā)現(xiàn)它們之后，人們發(fā)表了大量關于這個課題的文章，并且為解決它們作過大量的嘗試。就數(shù)學而論，看來有一條容易的出路：人們只要把集合論建立在公理化的基礎上，加以充分限制以排除所知道的矛盾。
第一次這樣的嘗試是策梅羅于1908年做出的，以后還有多人進行了加工。但是，此程序曾受到批評，因為它只是避開了某些悖論，而未能說明這些悖論；此外，它不能保證將來不出現(xiàn)別種悖論。
另一種程序既能解釋又能排除已知悖論。如果仔細地檢查就會發(fā)現(xiàn)：上面的每一個悖論都涉及一個集合S和S的一個成員M(既M是靠S定義的)。這樣的一個定義被稱作是“非斷言的”，而非斷言的定義在某種意義上是循環(huán)的。例如，考慮羅素的理發(fā)師悖論：用M標志理發(fā)師，用S標示所有成員的集合，則M被非斷言地定義為“S的給并且只給不自己刮胡子人中刮胡子的那個成員”。此定義的循環(huán)的性質是顯然的——理發(fā)師的定義涉及所有的成員，并且理發(fā)師本身就是這里的成員。因此，不允許有非斷言的定義便可能是一種解決集合論的己知悖論的辦法。然而，對這種解決辦法，有一個嚴重的責難，即包括非斷言定義的那幾部分數(shù)學是數(shù)學家很不愿丟棄的，例如定理“每一個具有上界的實數(shù)非空集合有最小上界(上確界)”。
解決集合論的悖論的其它嘗試，是從邏輯上去找問題的癥結，這帶來了邏輯基礎的全面研究。
從1900年到1930年左右，數(shù)學的危機使許多數(shù)學家卷入一場大辯論當中。他們看到這次危機涉及到數(shù)學的根本，因此必須對數(shù)學的哲學基礎加以嚴密的考察。在這場大辯論中，原來不明顯的意見分歧擴展成為學派的爭論。以羅素為代表的邏緝主義、以布勞威為代表的直覺主義、以希爾伯特為代表的形式主義三大數(shù)學哲學學派應運而生。它們都是唯心主義學派，它們都提出了各自的處理一般集合論中的悖論的辦法。他們在爭論中盡管言語尖刻，好象勢不兩立，其實各自的觀點都吸收了對方的看法而又有很多變化。
1931年，哥德爾不完全性定理的證明暴露了各派的弱點，哲學的爭論黯淡了下來。此后，各派力量沿著自己的道路發(fā)展演化。盡管爭論的問題遠未解決，但大部分數(shù)學家并不大關心哲學問題。直到近年，數(shù)學哲學問題才又激起人們的興趣。
承認無窮集合、承認無窮基數(shù)，就好象一切災難都出來了，這就是第三次數(shù)學危機的實質。盡管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數(shù)學的確定性卻在一步一步地喪失。現(xiàn)代公理集合論中一大堆公理，簡直難說孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個數(shù)學是血肉相連的。所以，第三次數(shù)學危機表面上解決了，實質上更深刻地以其它形式延續(xù)著。
數(shù)學中的矛盾既然是固有的，它的激烈沖突——危機就不可避免。危機的解決給數(shù)學帶來了許多新認識、新內容，有時也帶來了革命性的變化。把20世紀的數(shù)學同以前全部數(shù)學相比，內容要豐富得多，認識要深入得多。在集合論的基礎上，誕生了抽象代數(shù)學、拓撲學、泛函分析與測度論，數(shù)理邏輯也興旺發(fā)達成為數(shù)學有機體的一部分。古代的代數(shù)幾何、微分幾何、復分析現(xiàn)在已經推廣到高維。代數(shù)數(shù)論的面貌也多次改變，變得越來越優(yōu)美、完整。一系列經典問題完滿地得到解決，同時又產生更多的新問題。特別是二次大戰(zhàn)之后，新成果層出不窮，從來間斷。數(shù)學呈現(xiàn)無比興旺發(fā)達的景象，而這正是人們同數(shù)學中的矛盾、危機斗爭的產物。
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