三、解答題
12.某民營(yíng)企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，其關(guān)系如圖甲，B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖乙(注：利潤(rùn)與投資單位：萬(wàn)元).
⑴分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出它們的函數(shù)關(guān)系式；
⑵該企業(yè)已籌集到10萬(wàn)元資金，并全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問(wèn)：怎樣分配這10萬(wàn)元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，其最大利潤(rùn)約為多少萬(wàn)元(精確到1萬(wàn)元)？
考查目的：考查函數(shù)建模能力、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、換元法求二次函數(shù)最值，以及轉(zhuǎn)化化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想等.
答案：⑴，；⑵當(dāng)A產(chǎn)品投入3.75萬(wàn)元，B產(chǎn)品投入6.25萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)獲得最大利潤(rùn)約4萬(wàn)元.
解析：⑴設(shè)A產(chǎn)品投資萬(wàn)元時(shí)，利潤(rùn)為萬(wàn)元； B產(chǎn)品投資萬(wàn)元時(shí)，利潤(rùn)為萬(wàn)元，由題意設(shè)().由圖象可知，∴.又∵，∴，∴，.
⑵設(shè)投入A產(chǎn)品萬(wàn)元，則投入B產(chǎn)品為萬(wàn)元，這時(shí)企業(yè)獲得的利潤(rùn)為萬(wàn)元，依題意得
.
令，∴，
∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí).
答：當(dāng)A產(chǎn)品投入3.75萬(wàn)元，B產(chǎn)品投入6.25萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)獲得最大利潤(rùn)約4萬(wàn)元.
13.(2011湖北理)提高過(guò)江大橋的車(chē)輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況.在一般情況下，大橋上的車(chē)流速度(單位：千米/小時(shí))是車(chē)流密度(單位：輛/千米)的函數(shù).當(dāng)橋上的車(chē)流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車(chē)流速度為0；當(dāng)車(chē)流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí)，車(chē)流速度為60千米/小時(shí).研究表明：當(dāng)時(shí)，車(chē)流速度是車(chē)流密度的一次函數(shù).
⑴當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的表達(dá)式；
⑵當(dāng)車(chē)流密度為多大時(shí)，車(chē)流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀(guān)測(cè)點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)，單位：輛/小時(shí))
可以達(dá)到最大，并求出最大值.(精確到1輛/小時(shí))
考查目的：考查分段函數(shù)、待定系數(shù)法和函數(shù)最值的求法等基礎(chǔ)知識(shí)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.
答案：⑴⑵當(dāng)時(shí)，在區(qū)間[0，200]上取得最大值.
解析：⑴由題意得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，設(shè)().由已知條件得解得∴函數(shù)的表達(dá)式為⑵由⑴得
當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，其最大值為60×20=1200；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，在區(qū)間[20，200]上取得最大值.
綜合以上得，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間[0，200]上取得最大值.
即當(dāng)車(chē)流密度為100輛/千米時(shí)，車(chē)流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時(shí).
14.某跨國(guó)飲料公司在對(duì)全世界所有人均GDP(即人均純收入)在0.5千美元～8千美元的地區(qū)銷(xiāo)售該公司A飲料情況的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)：人均GDP處在中等的地區(qū)對(duì)該飲料的銷(xiāo)售量最多，然后向兩邊遞減.
⑴下列幾個(gè)模擬函數(shù)中的哪一個(gè)模擬函數(shù)(表示人均GDP，單位：千美元，表示年人均A飲料的銷(xiāo)量，單位：升)來(lái)描述人均A飲料銷(xiāo)量與地區(qū)的人均GDP關(guān)系更合適？說(shuō)明理由.
①，②，③，④；
⑵若人均GDP為1千美元時(shí)，年人均A飲料的銷(xiāo)量為2升，人均GDP為4千美元時(shí)，年人均A飲料的銷(xiāo)量為5升，把⑴中你所選的模擬函數(shù)求出來(lái)，并求出各個(gè)地區(qū)中，年人均A飲料的銷(xiāo)量最多是多少？
考查目的：考查幾類(lèi)增長(zhǎng)率函數(shù)模型與實(shí)際問(wèn)題的擬合，數(shù)學(xué)建模能力，綜合所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.
答案：⑴；⑵年人均A飲料銷(xiāo)量最多是升.
解析：⑴用函數(shù)①來(lái)描述人均A飲料銷(xiāo)量與地區(qū)的人均GDP的關(guān)系更合適.因?yàn)楹瘮?shù)，，在其定義域內(nèi)都是單調(diào)函數(shù)，不具備先遞增后遞減的特征.
⑵∵函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，2)和(4，5)，∴，解得，∴，.
∵，∴在各地區(qū)中，當(dāng)時(shí)，年人均A飲料銷(xiāo)量最多是升.
15.(2007廣東)已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)，如果函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
考查目的：考查函數(shù)零點(diǎn)的定義、二次函數(shù)與二次方程之間的相互轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合思想.
答案：或.
解析：函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，即方程在上有解.若時(shí)，則，不符合題意，∴，∴方程在上有解等價(jià)于
①或②.解①得.解②得或.
綜合①②得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是或.
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