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中國(guó)古代數(shù)學(xué)，和天文學(xué)以及其他許多科學(xué)技術(shù)一樣，也取得了極其輝煌的成就�？梢院敛豢鋸埖卣f(shuō)，直到明代中葉以前，在數(shù)學(xué)的許多分支領(lǐng)域里，中國(guó)一直處于遙遙領(lǐng)先的地位。中國(guó)古代的許多數(shù)學(xué)家曾經(jīng)寫(xiě)下了不少著名的數(shù)學(xué)著作。許多具有世界意義的成就正是因?yàn)橛辛诉@些古算書(shū)而得以流傳下來(lái)。這些中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著是了解古代數(shù)學(xué)成就的豐富寶庫(kù)。

例如現(xiàn)在所知道的最早的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》和《九章算術(shù)》，它們都是公元紀(jì)元前后的作品，到現(xiàn)在已有兩千年左右的歷史了。能夠使兩千年前的數(shù)學(xué)書(shū)籍流傳到現(xiàn)在，這本身就是一項(xiàng)了不起的成就。

開(kāi)始，人們是用抄寫(xiě)的方法進(jìn)行學(xué)習(xí)并且把數(shù)學(xué)知識(shí)傳給下一代的。直到北宋，隨著印刷術(shù)的發(fā)展，開(kāi)始出現(xiàn)印刷本的數(shù)學(xué)書(shū)籍，這恐怕是世界上印刷本數(shù)學(xué)著作的最早出現(xiàn)�，F(xiàn)在收藏于北京圖書(shū)館、上海圖書(shū)館、北京大學(xué)圖書(shū)館的傳世南宋本《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》等五種數(shù)學(xué)書(shū)籍，更是值得珍重的寶貴文物。

從漢唐時(shí)期到宋元時(shí)期，歷代都有著名算書(shū)出現(xiàn)：或是用中國(guó)傳統(tǒng)的方法給已有的算書(shū)作注解，在注解過(guò)程中提出自己新的算法；或是另寫(xiě)新書(shū)，創(chuàng)新說(shuō)，立新意。在這些流傳下來(lái)的古算書(shū)中凝聚著歷代數(shù)學(xué)家的勞動(dòng)成果，它們是歷代數(shù)學(xué)家共同留下來(lái)的寶貴遺產(chǎn)。

《算經(jīng)十書(shū)》

《算經(jīng)十書(shū)》是指漢、唐一千多年間的十部著名數(shù)學(xué)著作，它們?cè)��?jīng)是隋唐時(shí)候國(guó)子監(jiān)算學(xué)科（國(guó)家所設(shè)學(xué)校的數(shù)學(xué)科）的教科書(shū)。十部算書(shū)的名字是：《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》、《緝古算經(jīng)》、《綴術(shù)》。

這十部算書(shū)，以《周髀算經(jīng)》為最早，不知道它的作者是誰(shuí)，據(jù)考證，它成書(shū)的年代當(dāng)不晚于西漢后期（公元前一世紀(jì)）。《周髀算經(jīng)》不僅是數(shù)學(xué)著作，更確切地說(shuō)，它是講述當(dāng)時(shí)的一派天文學(xué)學(xué)說(shuō)──“蓋天說(shuō)”的天文著作。就其中的數(shù)學(xué)內(nèi)容來(lái)說(shuō)，書(shū)中記載了用勾股定理來(lái)進(jìn)行的天文計(jì)算，還有比較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)計(jì)算。當(dāng)然不能說(shuō)這兩項(xiàng)算法都是到公元前一世紀(jì)才為人們所掌握，它僅僅說(shuō)明在現(xiàn)在已經(jīng)知道的資料中，《周髀算經(jīng)》是比較早的記載。

對(duì)古代數(shù)學(xué)的各個(gè)方面全面完整地進(jìn)行敘述的是《九章算術(shù)》，它是十部算書(shū)中最重要的一部。它對(duì)以后中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展所產(chǎn)生的影響，正像古希臘歐幾里得（約前330—前275）《幾何原本》對(duì)西方數(shù)學(xué)所產(chǎn)生的影響一樣，是非常深刻的。在中國(guó)，它在一千幾百年間被直接用作數(shù)學(xué)教育的教科書(shū)。它還影響到國(guó)外，朝鮮和日本也都曾拿它當(dāng)作教科書(shū)。

《九章算術(shù)》，也不知道確實(shí)的作者是誰(shuí)，只知道西漢早期的著名數(shù)學(xué)家張蒼（前201—前152）、耿壽昌等人都曾經(jīng)對(duì)它進(jìn)行過(guò)增訂刪補(bǔ)�！稘h書(shū)?藝文志》中沒(méi)有《九章算術(shù)》的書(shū)名，但是有許商、杜忠二人所著的《算術(shù)》，因此有人推斷其中或者也含有許、杜二人的工作。1984年，湖北江陵張家山西漢早期古墓出土《算數(shù)書(shū)》書(shū)簡(jiǎn)，67 推算成書(shū)當(dāng)比《九章算術(shù)》早一個(gè)半世紀(jì)以上，內(nèi)容和《九章算術(shù)》極相類似，有些算題和《九章算術(shù)》算題文句也基本相同，可見(jiàn)兩書(shū)有某些繼承關(guān)系�？梢哉f(shuō)《九章算術(shù)》是在長(zhǎng)時(shí)期里經(jīng)過(guò)多次修改逐漸形成的，雖然其中的某些算法可能早在西漢之前就已經(jīng)有了。正如書(shū)名所反映的，全書(shū)共分九章，一共搜集了二百四十六個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，連同每個(gè)問(wèn)題的解法，分為九大類，每類算是一章。

從數(shù)學(xué)成就上看，首先應(yīng)該提到的是：書(shū)中記載了當(dāng)時(shí)世界上最先進(jìn)的分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算和比例算法。書(shū)中還記載有解決各種面積和體積問(wèn)題的算法以及利用勾股定理進(jìn)行測(cè)量的各種問(wèn)題。《九章算術(shù)》中最重要的成就是在代數(shù)方面，書(shū)中記載了開(kāi)平方和開(kāi)立方的方法，并且在這基礎(chǔ)上有了求解一般一元二次方程（首項(xiàng)系數(shù)不是負(fù)）的數(shù)值解法。還有整整一章是講述聯(lián)立一次方程解法的，這種解法實(shí)質(zhì)上和現(xiàn)在中學(xué)里所講的方法是一致的。這要比歐洲同類算法早出一千五百多年。在同一章中，還在世界數(shù)學(xué)史上第一次記載了負(fù)數(shù)概念和正負(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則。

《九章算術(shù)》不僅在中國(guó)數(shù)學(xué)史上占有重要地位，它的影響還遠(yuǎn)及國(guó)外。在歐洲中世紀(jì)，《九章算術(shù)》中的某些算法，例如分?jǐn)?shù)和比例，就有可能先傳入印度再經(jīng)阿拉伯傳入歐洲。再如“盈不足”（也可以算是一種一次內(nèi)插法），在阿拉伯和歐洲早期的數(shù)學(xué)著作中，就被稱作“中國(guó)算法”。現(xiàn)在，作為一部世界科學(xué)名著，《九章算術(shù)》已經(jīng)被譯成許多種文字出版。

《算經(jīng)十書(shū)》中的第三部是《海島算經(jīng)》，它是三國(guó)時(shí)期劉徽（約225—約295）所作。這部書(shū)中講述的都是利用標(biāo)桿進(jìn)行兩次、三次、最復(fù)雜的是四次測(cè)量來(lái)解決各種測(cè)量數(shù)學(xué)的問(wèn)題。這些測(cè)量數(shù)學(xué)，正是中國(guó)古代非常先進(jìn)的地圖學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。此外，劉徽對(duì)《九章算術(shù)》所作的注釋工作也是很有名的。一般地說(shuō)，可以把這些注釋看成是《九章算術(shù)》中若干算法的數(shù)學(xué)證明。劉徽注中的“割圓術(shù)”開(kāi)創(chuàng)了中國(guó)古代圓周率計(jì)算方面的重要方法（參見(jiàn)本書(shū)第98頁(yè)），他還首次把極限概念應(yīng)用于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

《算經(jīng)十書(shū)》的其余幾部書(shū)也記載有一些具有世界意義的成就。例如《孫子算經(jīng)》中的“物不知數(shù)”問(wèn)題（一次同余式解法，參見(jiàn)本書(shū)第106頁(yè)），《張丘建算經(jīng)》中的“百雞問(wèn)題”（不定方程問(wèn)題）等等都比較著名。而《緝古算經(jīng)》中的三次方程解法，特別是其中所講述的用幾何方法列三次方程的方法，也是很具特色的。

《綴術(shù)》是南北朝時(shí)期著名數(shù)學(xué)家祖沖之的著作。很可惜，這部書(shū)在唐宋之際公元十世紀(jì)前后失傳了。宋人刊刻《算經(jīng)十書(shū)》的時(shí)候就用當(dāng)時(shí)找到的另一部算書(shū)《數(shù)術(shù)記遺》來(lái)充數(shù)。祖沖之的著名工作──關(guān)于圓周率的計(jì)算（精確到第六位小數(shù)），記載在《隋書(shū)?律歷志》中（參見(jiàn)本書(shū)第101頁(yè)）。

《算經(jīng)十書(shū)》中用過(guò)的數(shù)學(xué)名詞，如分子、分母、開(kāi)平方、開(kāi)立方、正、負(fù)、方程等等，都一直沿用到今天，有的已有近兩千年的歷史了。

宋元算書(shū)

中國(guó)古代數(shù)學(xué)，經(jīng)過(guò)從漢到唐一千多年間的發(fā)展，已經(jīng)形成了更加完備的體系。在這基礎(chǔ)上，到了宋元時(shí)期（公元十世紀(jì)到十四世紀(jì)）又有了新的發(fā)展。宋元數(shù)學(xué)，從它的發(fā)展速度之快、數(shù)學(xué)著作出現(xiàn)之多和取得成就之高來(lái)看，都可以說(shuō)是中國(guó)古代數(shù)學(xué)史上最光輝的一頁(yè)。

特別是公元十三世紀(jì)下半葉，在短短幾十年的時(shí)間里，出現(xiàn)了秦九韶（1202—1261）、李冶（1192—1279）、楊輝、朱世杰四位著名的數(shù)學(xué)家。所謂宋元算書(shū)就指的是一直流傳到現(xiàn)在的這四大家的數(shù)學(xué)著作，包括：

秦九韶著的《數(shù)書(shū)九章》（公元1247年）；

李冶的《測(cè)圓海鏡》（公元1248年）和《益古演段》（公元1259年）；

楊輝的《詳解九章算法》（公元1261年）、《日用算法》（公元1262年）、《楊輝算法》（公元1274—1275年）；

朱世杰的《算學(xué)啟蒙》（公元1299年）和《四元玉鑒》（公元1303年）。

《數(shù)書(shū)九章》主要講述了兩項(xiàng)重要成就：高次方程數(shù)值解法和一次同余式解法（分別參見(jiàn)本書(shū)第119頁(yè)和第110頁(yè)）。書(shū)中有的問(wèn)題要求解十次方程，有的問(wèn)題答案竟有一百八十條之多�！稖y(cè)圓海鏡》和《益古演段》講述了宋元數(shù)學(xué)的另一項(xiàng)成就：天元術(shù)（用代數(shù)方法列方程，參見(jiàn)本書(shū)第121頁(yè)）；也還講述了直角三角形和內(nèi)接圓所造成的各線段間的關(guān)系，這是中國(guó)古代數(shù)學(xué)中別具一格的幾何學(xué)。楊輝的著作講述了宋元數(shù)學(xué)的另一個(gè)重要側(cè)面：實(shí)用數(shù)學(xué)和各種簡(jiǎn)捷算法。這是應(yīng)當(dāng)時(shí)社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展而興起的一個(gè)新的方向，并且為珠算盤(pán)的產(chǎn)生創(chuàng)造了條件。朱世杰的《算學(xué)啟蒙》不愧是當(dāng)時(shí)的一部啟蒙教科書(shū)，由淺入深，循序漸進(jìn)，直到當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)比較高深的內(nèi)容�！端脑�玉鑒》記載了宋元數(shù)學(xué)的另兩項(xiàng)成就：四元術(shù)（求解高次方程組問(wèn)題，參見(jiàn)本書(shū)第123頁(yè)）和高階等差級(jí)數(shù)、高次招差法（參見(jiàn)本書(shū)第131頁(yè)）。

宋元算書(shū)中的這些成就，和西方同類成果相比：高次方程數(shù)值解法比霍納（1786—1837）方法早出五百多年，四元術(shù)要比貝佐（1730—1783）①早出四百多年，高次招差法比牛頓（1642—1727）等人早出近四百年。

宋元算書(shū)中所記載的輝煌成就再次證明：直到明代中葉之前，中國(guó)科學(xué)技術(shù)的許多方面，是處在遙遙領(lǐng)先地位的。

宋元以后，明清時(shí)期也有很多算書(shū)。例如明代就有著名的算書(shū)《算法統(tǒng)宗》。這是一部風(fēng)行一時(shí)的講珠算盤(pán)的書(shū)。入清之后，雖然也有不少算書(shū)，但是像《算經(jīng)十書(shū)》、宋元算書(shū)所包含的那樣重大的成就便不多見(jiàn)了。特別是在明末清初以后的許多算書(shū)中，有不少是介紹西方數(shù)學(xué)的。這反映了在西方資本主義發(fā)展進(jìn)入近代科學(xué)時(shí)期以后我國(guó)科學(xué)技術(shù)逐漸落后的情況，同時(shí)也反映了中國(guó)數(shù)學(xué)逐漸融合到世界數(shù)學(xué)發(fā)展總的潮流中去的一個(gè)過(guò)程。

中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史表明：中國(guó)數(shù)學(xué)曾經(jīng)為世界數(shù)學(xué)的發(fā)展作出過(guò)卓越的貢獻(xiàn)，只是在近代才逐漸落后了。我們深信，經(jīng)過(guò)努力，中國(guó)數(shù)學(xué)一定能迎頭趕上世界先進(jìn)水平。

注釋：

① 貝佐也譯作裴蜀或比左。