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二、第二次數(shù)學(xué)危機(jī)

十七、十八世紀(jì)關(guān)于微積分發(fā)生的激烈的爭(zhēng)論，被稱為第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。從歷史或邏輯的觀點(diǎn)來(lái)看，它的發(fā)生也帶有必然性。

這次危機(jī)的萌芽出現(xiàn)在大約公元前450年，芝諾注意到由于對(duì)無(wú)限性的理解問(wèn)題而產(chǎn)生的矛盾，提出了關(guān)于時(shí)空的有限與無(wú)限的四個(gè)悖論：

“兩分法”：向著一個(gè)目的地運(yùn)動(dòng)的物體，首先必須經(jīng)過(guò)路程的中點(diǎn)，然而要經(jīng)過(guò)這點(diǎn)，又必須先經(jīng)過(guò)路程的1/4點(diǎn)……，如此類(lèi)推以至無(wú)窮�！�—結(jié)論是：無(wú)窮是不可窮盡的過(guò)程，運(yùn)動(dòng)是不可能的。

“阿基里斯(《荷馬史詩(shī)》中的善跑的英雄)追不上烏龜”：阿基里斯總是首先必須到達(dá)烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)，因而烏龜必定總是跑在前頭。這個(gè)論點(diǎn)同兩分法悖論一樣，所不同的是不必把所需通過(guò)的路程一再平分。

“飛矢不動(dòng)”：意思是箭在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的任一瞬時(shí)間必在一確定位置上，因而是靜止的，所以箭就不能處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

“操場(chǎng)或游行隊(duì)伍”：A、B兩件物體以等速向相反方向運(yùn)動(dòng)。從靜止的c來(lái)看，比如說(shuō)A、B都在1小時(shí)內(nèi)移動(dòng)了2公里，可是從A看來(lái)，則B在1小時(shí)內(nèi)就移動(dòng)了4公里。運(yùn)動(dòng)是矛盾的，所以運(yùn)動(dòng)是不可能的。

芝諾揭示的矛盾是深刻而復(fù)雜的。前兩個(gè)悖論詰難了關(guān)于時(shí)間和空間無(wú)限可分，因而運(yùn)動(dòng)是連續(xù)的觀點(diǎn)，后兩個(gè)悖論詰難了時(shí)間和空間不能無(wú)限可分，因而運(yùn)動(dòng)是間斷的觀點(diǎn)。芝諾悖論的提出可能有更深刻的背景，不一定是專(zhuān)門(mén)針對(duì)數(shù)學(xué)的，但是它們?cè)跀?shù)學(xué)王國(guó)中卻掀起了一場(chǎng)軒然大被。它們說(shuō)明了希臘人已經(jīng)看到“無(wú)窮小”與“很小很小”的矛盾，但他們無(wú)法解決這些矛盾。其后果是，希臘幾何證明中從此就排除了無(wú)窮小。

經(jīng)過(guò)許多人多年的努力，終于在17世紀(jì)晚期，形成了無(wú)窮小演算——微積分這門(mén)學(xué)科。牛頓和萊布尼茲被公認(rèn)為微積分的奠基者，他們的功績(jī)主要在于：把各種有關(guān)問(wèn)題的解法統(tǒng)一成微分法和積分法；有明確的計(jì)算步驟；微分法和積分法互為逆運(yùn)算。由于運(yùn)算的完整性和應(yīng)用的廣泛性，微積分成為當(dāng)時(shí)解決問(wèn)題的重要工具。同時(shí)，關(guān)于微積分基礎(chǔ)的問(wèn)題也越來(lái)越嚴(yán)重。關(guān)鍵問(wèn)題就是無(wú)窮小量究競(jìng)是不是零？無(wú)窮小及其分析是否合理？由此而引起了數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長(zhǎng)達(dá)一個(gè)半世紀(jì)的爭(zhēng)論，造成了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。

無(wú)窮小量究竟是不是零？?jī)煞N答案都會(huì)導(dǎo)致矛盾。牛頓對(duì)它曾作過(guò)三種不同解釋?zhuān)?669年說(shuō)它是一種常量；1671年又說(shuō)它是一個(gè)趨于零的變量；1676年它被“兩個(gè)正在消逝的量的最終比”所代替。但是，他始終無(wú)法解決上述矛盾。萊布尼茲曾試圖用和無(wú)窮小量成比例的有限量的差分來(lái)代替無(wú)窮小量，但是他也沒(méi)有找到從有限量過(guò)渡到無(wú)窮小量的橋梁。

英國(guó)大主教貝克萊于1734年寫(xiě)文章，攻擊流數(shù)(導(dǎo)數(shù))“是消失了的量的鬼魂……能消化得了二階、三階流數(shù)的人，是不會(huì)因吞食了神學(xué)論點(diǎn)就嘔吐的。”他說(shuō)，用忽略高階無(wú)窮小而消除了原有的錯(cuò)誤，“是依靠雙重的錯(cuò)誤得到了雖然不科學(xué)卻是正確的結(jié)果”。貝克萊雖然也抓住了當(dāng)時(shí)微積分、無(wú)窮小方法中一些不清楚不合邏輯的問(wèn)題，不過(guò)他是出自對(duì)科學(xué)的厭惡和對(duì)宗教的維護(hù)，而不是出自對(duì)科學(xué)的追求和探索。

當(dāng)時(shí)一些數(shù)學(xué)家和其他學(xué)者，也批判過(guò)微積分的一些問(wèn)題，指出其缺乏必要的邏輯基礎(chǔ)。例如，羅爾曾說(shuō)：“微積分是巧妙的謬論的匯集。”在那個(gè)勇于創(chuàng)造時(shí)代的初期，科學(xué)中邏輯上存在這樣那樣的問(wèn)題，并不是個(gè)別現(xiàn)象。

18世紀(jì)的數(shù)學(xué)思想的確是不嚴(yán)密的、直觀的，強(qiáng)調(diào)形式的計(jì)算而不管基礎(chǔ)的可靠。其中特別是：沒(méi)有清楚的無(wú)窮小概念，從而導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念不清楚；無(wú)窮大概念不清楚；發(fā)散級(jí)數(shù)求和的任意性等等；符號(hào)的不嚴(yán)格使用；不考慮連續(xù)性就進(jìn)行微分，不考慮導(dǎo)數(shù)及積分的存在性以及函數(shù)可否展成冪級(jí)數(shù)等等。

直到19世紀(jì)20年代，一些數(shù)學(xué)家才比較關(guān)注于微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)。從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利等人的工作開(kāi)始，到威爾斯特拉斯、狄德金和康托的工作結(jié)束，中間經(jīng)歷了半個(gè)多世紀(jì)，基本上解決了矛盾，為數(shù)學(xué)分析奠定了一個(gè)嚴(yán)格的基礎(chǔ)。

波爾查諾給出了連續(xù)性的正確定義；阿貝爾指出要嚴(yán)格限制濫用級(jí)數(shù)展開(kāi)及求和；柯西在1821年的《代數(shù)分析教程》中從定義變量出發(fā)，認(rèn)識(shí)到函數(shù)不一定要有解析表達(dá)式；他抓住極限的概念，指出無(wú)窮小量和無(wú)窮大量都不是固定的量而是變量，無(wú)窮小量是以零為極限的變量；并且定義了導(dǎo)數(shù)和積分；狄里赫利給出了函數(shù)的現(xiàn)代定義。在這些工作的基礎(chǔ)上，威爾斯特拉斯消除了其中不確切的地方，給出現(xiàn)在通用的極限的定義，連續(xù)的定義，并把導(dǎo)數(shù)、積分嚴(yán)格地建立在極限的基礎(chǔ)上。

　　19世紀(jì)70年代初，威爾斯特拉斯、狄德金、康托等人獨(dú)立地建立了實(shí)數(shù)理論，而且在實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)上，建立起極限論的基本定理，從而使數(shù)學(xué)分析建立在實(shí)數(shù)理論的嚴(yán)格基礎(chǔ)之上。