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　　數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個十分重要的組成部分。它是指學(xué)生依照數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，按照一定的目的、內(nèi)容、要求，在教師的指導(dǎo)下，系統(tǒng)地掌握數(shù)學(xué)知識與技能的過程，是一個全面發(fā)展和個性發(fā)展的過程。本文就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特征與一般過程作一初步探討。

　　一、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特征

　　由于數(shù)學(xué)有其突出的特點，所以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)作為學(xué)生學(xué)習(xí)的一種具體形式，也必將表現(xiàn)出一些特殊性來。

　�。ㄒ唬�數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)語言的學(xué)習(xí)，也是一種科學(xué)的公共語言的學(xué)習(xí)

　　數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動基本上是數(shù)學(xué)思維活動，而數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)思維的工具，所以掌握數(shù)學(xué)語言是順利地、有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的重要基礎(chǔ)之一，我們要求學(xué)生應(yīng)當(dāng)把對數(shù)學(xué)語言的掌握同數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)緊密地結(jié)合起來。對數(shù)學(xué)語言的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)從語義和語法兩個方面去進(jìn)行，做到“能說、會寫、會用”。

　　數(shù)學(xué)語言被廣泛運(yùn)用于各門科學(xué)。無論是自然科學(xué)，還是社會科學(xué)，它們中的不少概念是用數(shù)學(xué)語言來加以精確定義的，例如瞬時速度、人口增長率等；它們中的不少法則和規(guī)律是用數(shù)學(xué)語言來加以描述的，例如體積、溫度與壓強(qiáng)三者之間的相互關(guān)系等。另外，數(shù)學(xué)語言還能幫助我們通過對實驗數(shù)據(jù)的分析和處理作出科學(xué)的預(yù)測。例如，１８７１年海王星的發(fā)現(xiàn)，就與運(yùn)用數(shù)學(xué)語言有密切關(guān)系。所以說，數(shù)學(xué)還是一種科學(xué)的公共語言。任何一門科學(xué)都是以對數(shù)學(xué)語言的運(yùn)用程度來衡量其發(fā)展水平的。正如馬克思說的那樣，只有當(dāng)科學(xué)能夠成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時，它才能達(dá)到完善的程度。

　�。ǘ�）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個“數(shù)學(xué)化”的過程，需要較強(qiáng)的抽象概括能力

　　數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實，也必須寓于現(xiàn)實，并且用于現(xiàn)實，這就使數(shù)學(xué)完全脫離了具體的事實，僅考慮形式的數(shù)量關(guān)系和空間形式，決定了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個“數(shù)學(xué)化”的過程，從而成為學(xué)生學(xué)習(xí)的各門學(xué)科當(dāng)中一門最為抽象、最為概括的學(xué)科。

　　數(shù)學(xué)的高度抽象性和概括性主要表現(xiàn)在它所使用的高度形式化的數(shù)學(xué)語言上，例如，數(shù)的絕對值的“|ａ|”的定義形式，就采用了十分形式化的數(shù)學(xué)語言。

　　數(shù)學(xué)學(xué)科的這一高度抽象概括特性，容易給學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中造成表面的形式理解，具體表現(xiàn)在只記住內(nèi)容豐富的形式符號，而不能真正理解它的本質(zhì)含義；僅能掌握形式的數(shù)學(xué)結(jié)論，而不知道結(jié)論背后的豐富事實；僅能夠解答與例題類似的習(xí)題，而不能靈活運(yùn)用解題方法，達(dá)到舉一反三。從而出現(xiàn)形式和內(nèi)容的脫節(jié)，具體和抽象的脫節(jié)，感性和理性的脫節(jié)。因此，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中特別需要進(jìn)行抽象概括，只有通過逐步地從具體到抽象的概括，才能使學(xué)生真正地掌握數(shù)學(xué)知識，不僅掌握形式的數(shù)學(xué)結(jié)論，而且掌握形式結(jié)論背后的豐富事實。

　�。ㄈ�）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個邏輯推理的過程，需要較強(qiáng)的邏輯推理能力

　　推理是人類思維的一種重要表現(xiàn)形式，它是由一個或幾個判斷推出另一個判斷的思維形式。數(shù)學(xué)是一門建立在公理體系基礎(chǔ)上，其結(jié)論需加以嚴(yán)格證明的科學(xué)。數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)格性和數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性是大家所共知的。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，無論是概念的學(xué)習(xí)，還是命題的學(xué)習(xí)，或是定理的證明，習(xí)題的解決，都離不開邏輯推理，即數(shù)學(xué)證明。而數(shù)學(xué)證明所采用的邏輯形式中，最基本、最主要的就是演繹推理中的三段論。學(xué)生在整個中學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，反復(fù)學(xué)習(xí)、使用三段論來解答各種數(shù)學(xué)問題，并且還要求他們能夠達(dá)到熟練掌握的程度，這對于他們演繹（邏輯）推理能力的發(fā)展無疑是極其有利的。所以從思維過程來說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是一個邏輯推理的過程。

　　（四）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個再創(chuàng)造的過程，需要較強(qiáng)的非邏輯思維能力

　　數(shù)學(xué)既是演繹科學(xué)，又是歸納科學(xué)；既是理論科學(xué)，又是實驗科學(xué)。因此，數(shù)學(xué)思維具有“實驗、猜測、想象、直覺、靈感”等特點。對于學(xué)生來說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個再創(chuàng)造的過程。這個過程要求學(xué)生除了必須具有一定的邏輯推理能力外，更需要具有非邏輯思維能力。

　　（五）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是能使學(xué)習(xí)者形成良好心理品質(zhì)、科學(xué)態(tài)度、富于創(chuàng)造開拓精神和良好素質(zhì)的一種學(xué)習(xí)

　　數(shù)學(xué)除了能使學(xué)習(xí)者獲得知識、發(fā)展智力和能力、形成數(shù)學(xué)觀念外，還具有突出的思想品德教育功能。首先，數(shù)學(xué)中含有許多可進(jìn)行愛國主義教育的內(nèi)容，例如可結(jié)合數(shù)學(xué)內(nèi)容，適當(dāng)介紹一些我國古今數(shù)學(xué)家的偉大成就，使學(xué)生樹立愛國主義思想。其次，數(shù)學(xué)中充滿了辯證法，蘊(yùn)涵著豐富的辯證唯物主義觀點，例如對立統(tǒng)一（有理數(shù)的減法轉(zhuǎn)化為加法）、量變質(zhì)變（圓的割線繞圓外一點逐漸旋轉(zhuǎn)變成切線的過程）、普遍聯(lián)系（有序?qū)崝?shù)對與平面內(nèi)的點之間的對應(yīng)關(guān)系）、運(yùn)動變化（數(shù)的概念的發(fā)展）等。再次，數(shù)學(xué)是一門特別費思考、嚴(yán)要求、重訓(xùn)練的學(xué)科。因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有助于學(xué)生形成愛科學(xué)、有頑強(qiáng)意志、良好的思考習(xí)慣和勤于探索、追求真理的科學(xué)態(tài)度。最后，數(shù)學(xué)具有很大的魅力，例如數(shù)與形的完美統(tǒng)一、和諧簡潔等，足以把學(xué)習(xí)者帶入一個五彩繽紛的世界，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)他們對科學(xué)美、數(shù)學(xué)美的感受力、鑒賞力以及對美的追求和創(chuàng)新意識。

　　二、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般過程

　　根據(jù)學(xué)習(xí)的認(rèn)知理論可知，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是新的學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)相互作用，形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。依據(jù)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的變化，可以將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般過程劃分為三個階段，如圖１所示：

　　圖1數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般過程

　　（一）輸入階段

　　學(xué)習(xí)活動起源于新的學(xué)習(xí)情境。輸入階段實質(zhì)上就是給學(xué)生提供新的數(shù)學(xué)信息和新的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生觀察思考、分析辨別和抽象概括的情境。在這樣的學(xué)習(xí)情境中，學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新學(xué)習(xí)的內(nèi)容之間發(fā)生認(rèn)知沖突，使他們在心理上產(chǎn)生學(xué)習(xí)新知識的需要，這是輸入階段的關(guān)鍵。為了引起學(xué)習(xí)，在這一階段中，教師一方面要設(shè)法激發(fā)學(xué)生們強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)動機(jī)和學(xué)習(xí)熱情；另一方面要通過一定的手段（例如必要的復(fù)習(xí)）強(qiáng)化與新知識有關(guān)的內(nèi)容，使學(xué)生作好必要的認(rèn)知準(zhǔn)備。

　�。ǘ�）相互作用階段

　　在學(xué)生有了學(xué)習(xí)的需要和一定的知識準(zhǔn)備之后，當(dāng)新的學(xué)習(xí)內(nèi)容輸入后，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)便進(jìn)入相互作用的階段。這時學(xué)生原有的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)與新的學(xué)習(xí)內(nèi)容之間就發(fā)生相互作用。相互作用的基本形式有兩種：同化和順應(yīng)。

　　所謂同化，就是利用自己已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，對新學(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行加工和改造，并將其納入到原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，從而擴(kuò)大原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

　　所謂順應(yīng)，就是當(dāng)原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)不能接納新的學(xué)習(xí)內(nèi)容時，必須對原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整和改造，以適應(yīng)新的學(xué)習(xí)內(nèi)容的需要。例如，初中一年級學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)有理數(shù)，就是把負(fù)有理數(shù)同化到正有理數(shù)結(jié)構(gòu)中去的過程，學(xué)生在小學(xué)已形成了0和正有理數(shù)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，因此，當(dāng)把負(fù)有理數(shù)的概念輸入時，學(xué)生就在他們頭腦中篩選出可以納入負(fù)有理數(shù)的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)?正有理數(shù)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。根據(jù)這個結(jié)構(gòu)，對負(fù)有理數(shù)進(jìn)行加工改造，建立起負(fù)有理數(shù)和正有理數(shù)之間的聯(lián)系：在數(shù)軸上，負(fù)有理數(shù)是0左邊的數(shù)，負(fù)有理數(shù)的性質(zhì)和正有理數(shù)的性質(zhì)相反，負(fù)有理數(shù)的加、減運(yùn)算可用正有理數(shù)來定義，等等。負(fù)有理數(shù)就被同化到正有理數(shù)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去了，原有的正有理數(shù)認(rèn)知結(jié)構(gòu)被擴(kuò)充成有理數(shù)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這個過程可用下面的圖2來表示：

　　圖2有理數(shù)認(rèn)知結(jié)構(gòu)形成過程

　　再如，學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)概念的過程就是順應(yīng)的過程。初中生剛學(xué)習(xí)函數(shù)時，原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不能適應(yīng)新的認(rèn)知需要，在此之前，學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中只有常量數(shù)學(xué)的有關(guān)知識，主要是代數(shù)式的恒等變形和方程、不等式的等價變形，以通過運(yùn)算求得結(jié)果為目的，其主要手段是運(yùn)算。而學(xué)習(xí)變量的概念，要以變化的觀點來考察變量之間的相互依賴關(guān)系，研究的著眼點是“關(guān)系”，其表達(dá)的主要手段是列出解析式或描繪圖象。比如，在學(xué)習(xí)函數(shù)概念之前學(xué)習(xí)圓的面積公式，是為了利用圓的半徑去計算圓的面積；而在學(xué)習(xí)函數(shù)概念時，則要換個角度來考察圓的面積公式，將其看成圓的面積與半徑之間相互變化所遵循的規(guī)律。顯然，學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不能和新的認(rèn)知需要相適應(yīng)，學(xué)生必須對原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，以適應(yīng)新的學(xué)習(xí)需要，并建立新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，我們可用圖3來表示這一過程：

　　變量及相互關(guān)系→常量數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)→函數(shù)認(rèn)知結(jié)構(gòu)

　　同化和順應(yīng)是學(xué)習(xí)過程中學(xué)生原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和新學(xué)習(xí)內(nèi)容相互作用的兩種不同的形式；它們往往存在于同一個學(xué)習(xí)過程中，只是側(cè)重面不同而已。例如上面所說的負(fù)有理數(shù)的學(xué)習(xí)，原有的正有理數(shù)認(rèn)知結(jié)構(gòu)也有所改變，以順應(yīng)新知識的學(xué)習(xí)；而在函數(shù)概念的學(xué)習(xí)中，也存在著同化的過程。

　�。ㄈ�）操作運(yùn)用階段

　　這一階段是運(yùn)用在相互作用階段形成的新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)去解決問題的過程。這里的操作指智力活動，也就是數(shù)學(xué)思維活動，操作的主要方式是數(shù)學(xué)練習(xí)。這一階段的主要任務(wù)就是要使剛剛產(chǎn)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)趨于完善，達(dá)到預(yù)期的教育目標(biāo)。

　　數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的這三個階段是緊密聯(lián)系的，任一階段的學(xué)習(xí)出現(xiàn)紕漏，都會影響學(xué)習(xí)的質(zhì)量。通過剖析數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般過程可看出，不但輸入階段和相互作用階段對新知識的加工、接納取決于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的狀況，而且操作運(yùn)用階段中問題解決的策略、方式和途徑的選擇也與一定的認(rèn)知結(jié)構(gòu)相適應(yīng)。因此，有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，要求新知識與原數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)處于相互容納的動態(tài)平衡狀態(tài)之中。

　　來源：233網(wǎng)校論文中心