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章末綜合測（10）概率
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．
1．從裝有5只紅球，5只白球的袋中任意取出3只球，有事件：
①“取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”；
②“取出2只紅球和1只白球”與“取出3只紅球”；
③“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只白球”；
④“取出3只紅球”與“取出3只白球”．
其中是對立事件的有(　　)
A．①②　 　　 B．②③　 　　
C．③④　 　　 D．③
D解析：從袋中任取3只球，可能取到的情況有：“3只紅球”，“2只紅球1只白球”，“1只紅球，2只白球”，“3只白球”，由此可知①、②、④中的兩個事件都不是對立事件．對于③，“取出3只球中至少有一只白球”包含“2只紅球1只白球”，“1只紅球2只白球”，“3只白球”三種情況，與“取出3只紅球”是對立事件.
2．取一根長度為4 m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得的兩段都不少于1 m的概率是(　　)
A.14 B.13
C.12 D.23
C解析：把繩子4等分，當剪斷點位于中間兩部分時，兩段繩子都不少于1 m，故所求概率為P＝24＝12.
3．甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為30%，甲不輸?shù)母怕蕿?0%，則甲 、乙兩人下一盤棋，你認為最為可能出現(xiàn)的情況是(　　)
A．甲獲勝 B．乙獲勝
C．甲、乙下成和棋 D．無法得出
C解析：兩人下成和棋的概率為50%，乙勝的概率為20%，故甲、乙兩人下一盤棋，最有可能出現(xiàn)的情況是 下成和棋.
4．如圖所示，墻上掛有邊長為a的正方形木板，它的四個角的空白部分都是以正方形的頂點為圓心，半徑為a2的扇形，某人向此板投鏢，假設(shè)每次都能擊中木板，且擊中木板上每個點的可能性都一樣，則它擊中陰影部分的概率是(　　)
A．1－π4 B.π4
C．1－π8 D．與a的取值有關(guān)
A 解析：幾何概型，P＝a2－πa22a2＝1－π4，故選A.
5．從1,2,3,4這四個數(shù)中，不重復地任意取兩個種，兩個數(shù)一奇一偶的概率是(　　)
A.16 B.25
C.13 D.23
D 解析：基本事件總數(shù)為6，兩個數(shù)一奇一偶的情況有4種，故所求概率P＝46＝23.
6．從含有4個元素的集合的所有子集中任取一個，所取的子集是含有2個元素的集合的概率是(　　)
A.310 B.112
C.4564 D.38
D解析：4個元素的集合共16個子集，其中含有兩個元素的子集有6個，故所求概
率為P＝616＝38.
7 ．某班準備到郊外野營，為此向商店定了帳篷，如果下雨與不下雨是等可能的，能否準時收到帳篷也是等可能的，只要帳篷如期運到，他們就不會淋雨，則下列說法正確的是(　　)
A．一定不會淋雨 B．淋雨的可能性為34
C．淋雨的可能性為12 D．淋雨的可能性為14
D解析：基本事件有“下雨帳篷到”、“不下雨帳篷到”、“下雨帳篷未到”、“不下
雨帳篷未到”4種情況，而只有“下雨帳篷未到”時會淋雨，故淋雨的可能性為14.
8．將一顆骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時向上的點數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為(　　)
A.19 B.112
C.115 D.118
D解析：基本事件總數(shù)為216，點數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列包含的基本事件有(1,2,3)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,4,6)，(3,2,1)，(3,4,5)，(4,3,2)，(4,5,6)，(5,4,3)，(5,3,1)，(6,5,4)，(6,4,2)共12個，故求概率為P＝12216＝118.
9．設(shè)集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分別從集合A和集合B中隨機取一個數(shù)a和b，確定平面上的一個點P(a，b)，記“點P(a，b)落在直線x＋y＝n上”為事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，則N的所有可能值為(　　)
A．3 B．4
C．2和5 D．3和4
D解析：點P(a，b)的個數(shù)共有2×3＝6個，落在直線x＋y＝2上的概率P(C2)＝16；落在直線x＋y＝3上的概率P(C3)＝26；落在直線x＋y＝4上的概率P(C4)＝26；落在直線x＋y＝5上的概率P(C5)＝16，故選D.
10．連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，記向量a＝(m，n)與向量b＝(1，－1)的夾角為θ，則θ∈0，π2的概率是(　　)
A.512 B.12
C.712 D.56
C 解析：基本事件總數(shù)為36，由cosθ＝a•ba•b≥0得a•b≥0，即m－n≥0，包含的基本事件有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4) 高二，(6,5)，(6,6)共21個，故所求概率為P＝2136＝712.
11．在一張打方格的紙上投一枚直徑為1的硬幣，方格的邊長(方格邊長設(shè)為a)要多少才能使得硬幣與方格線不相交的概率小于1% (　　)
A．a(chǎn)＞910 B．a(chǎn)＞109
C．1＜a＜109 D．0＜a＜910
C解析：硬幣與方格線不相交，則a＞1時，才可能發(fā)生，在每一個方格內(nèi)，當硬幣的圓心落在邊長為a－1，中心與方格的中心重合的小正方形內(nèi)時，硬幣與方格線不相交，故硬幣與方格線不相交的概率P＝(a－1)2a2.，由(a－1)2a2＜1%，得1＜a＜109.
12．集合A＝{(x，y)x－y－1≤0，x＋y－1≥0，x∈N}，集合B＝{(x，y)y≤－x＋5，x∈N}，先后擲兩顆骰子，設(shè)擲第一顆骰子得點數(shù)記作a，擲第二顆骰子得數(shù)記作b，則(a，b)∈A∩B的概率等于 (　　)
A.14 B.29
C.736 D.536
B解析：根據(jù)二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，可知A∩B對應(yīng)如圖所示的陰影部分的區(qū)域中的整數(shù)點．其中整數(shù)點有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)共14個．現(xiàn)先后拋擲2顆骰子，所得點數(shù)分別有6種，共會出現(xiàn)36種結(jié)果，其中落入陰影區(qū)域內(nèi)的有8種，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)．所以滿足(a，b)∈A∩B的概率為836＝29，
二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分．
13．若實數(shù)x，y滿足x≤2，y≤1，則任取其中x，y，使x2＋y2≤1的概率為__________．
解析：點(x，y)在由直線x＝±2和y＝±1圍成的矩形上或其內(nèi)部，使x2＋y2≤1的點(x，
y)在以原點為圓心，以1為半徑的圓上或其內(nèi)部，故所求概率為P＝π4×2＝π8.
答案：π8
14．從所有三位二進制數(shù)中隨機抽取一個數(shù)，則這個數(shù)化為十進制數(shù)后比5大的概率是
________．
解析：三位二進制數(shù)共有4個，分別111(2), 110(2),101(2),100(2)，其中111(2)與110(2)化為十
進制數(shù)后比5大，故所求概率為P＝24＝12.
答案：12
15．把一顆骰子投擲兩次，第一次出現(xiàn)的點數(shù)記為m，第二次出現(xiàn)的點數(shù)記為n，方程
組mx＋ny＝3，2x＋3y＝2，只有一組解的概率是__________．
1718 解析：由題意，當m2≠n3，即3m≠2n時，方程組只有一解．基本事件總數(shù)為36，
滿足3m＝2n的基本事件有(2,3)，(4,6)共兩個，故滿足3m≠2n的基本事件數(shù)為34個，
故所求概率為P＝3436＝1718.
16．在圓(x－2)2＋(y－2)2＝8內(nèi)有一平面區(qū)域E：x－4≤0，y≥0，mx－y≤0(m≥0)，點P是圓內(nèi)的
任意一點，而且出現(xiàn)任何一個點是等可能的．若使點P落在平面區(qū)域E內(nèi)的概率最
大，則m＝__________.
0 解析：如圖所示，當m＝0時，平面區(qū)域E的面積最大，
則點P落在平面區(qū)域E內(nèi)的概率最大．

三、解答題：本大題共6小題，共70分．
17．(10分)某公司在過去幾年內(nèi)使用某種型號的燈管1 000支，該公司對這些燈管的使用壽 命(單位：小時)進行了統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示
分組 [500，900) [900，1 100) [1 1001 300) [1 300，1 500) [1 500，1 700) [1 700，1 900) [1 900，＋∞)
頻數(shù) 48 121 208 223 193 165 42
頻率[]
(1)將各組的頻率填入表中；
(2)根據(jù)上述統(tǒng)計結(jié)果，計算燈管使用壽命不足1 500小時的頻率；
(3)該公司某辦公室新安裝了這種型號的燈管15支，若將上述頻率作為概率，估計經(jīng)過1 500小時約需換幾支燈管．
解析：
分組 [500，900) [900，1 100) [1 1001 300) [1 300，1 500) [1 500，1 700) [1 700，1 900) [1 900，＋∞)
頻數(shù) 48 121 208 223 193 165 42
頻率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042
(2)由(1)可得0.048＋0.121＋0.208＋0.223＝0.6，
所以，燈管使用壽命不足1 500小時的頻率是0.6.
(3)由(2)只，燈管使用壽命不足1 500小時的概率為0.6.
15×0.6＝9，故經(jīng)過1 500小時約需換9支燈管．
18．(12分)袋中有大小、形狀相同的紅、黑球各一個，現(xiàn)有放回地隨機摸取3次，每次摸 取一個球．
(1)一共有多少種不同的結(jié)果？請列出所有可能的結(jié)果；
(2)若摸到紅球時得2分，摸到黑球時得1分，求3次摸球所得總分為5的概率．
解析：(1)一共有8種不同的結(jié)果，列舉如下：
(紅，紅，紅)、(紅，紅，黑)、(紅，黑，紅)、(紅，黑，黑)、
(黑、紅，紅)、(黑，紅，黑)、(黑，黑，紅)、(黑、黑、黑)．
(2)記“3次摸球所得總分為5”為事件A，
事件A包含的基本事件為：
(紅，紅，黑)、(紅，黑，紅)、(黑，紅，紅)．
事件A包含的基本事件數(shù)為3.
由(1)可知，基本事件總數(shù)為8，
所以事件A的概率為P(A)＝38.
19．(12分)將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個面的點數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次，記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為a，第二次出現(xiàn)的點數(shù)為b.設(shè)復數(shù)z＝a＋bi.
(1)求事件“z－3i為實數(shù)”的概率；
(2)求事件“復數(shù)z在復平面內(nèi)的對應(yīng)點(a，b)滿足(a－2)2＋b2≤9”的概率．
解析：(1)z－3i為實數(shù)，
即a＋bi－3i＝a＋(b－3)i為實數(shù)，∴b＝3.
又b可取1,2,3,4,5,6，故出現(xiàn)b＝3的概率為16.
即事件“z－3i為實數(shù)”的概率為16.
(2)由已知，b的值只能取1,2,3.
當b＝1時，(a－2)2≤8，即a可取1,2,3,4；
當b＝2時，(a－2)2≤5，即a可取1,2,3,4；
當b＝3時，(a－2)2≤0，即a可取2.
綜上可知，共有9種情況可使事件成立．
又a，b的取值情況共有36種，
所以事件“點(a，b)滿足(a－2 )2＋b2≤9”的概率為14.
20．(12分)汶川地震發(fā)生后，某市根據(jù)上級要求，要從本市人民醫(yī)院報名參加救援的護理專家、外科專家、治療專家8名志愿者中，各抽調(diào)1名專家組成一個醫(yī)療小組與省專家組一起赴汶川進行醫(yī)療求助，其中A1，A2，A3是護理專家，B1，B2，B3是外科專家，C1，C2是治療專家．
(1)求A1恰被選中的概率；
(2)求B1和C1不全被選中的概率．
解析：(1)從8名志愿者中選出護理專家、外科專家、心理治療專家各1名，其一切可能的結(jié)果為：
(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)．共有18個基本事件．
用M表示“A1恰被選中 ”這一事件，則
M包括(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)．共有6個基本事件．
所以P(M)＝618＝13.
(2)用N表示“B1和C1不全被選中”這一事件，則 其對立事件N表示“B1和C1全被選中”這一事件，
由N包括(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，共有3個基本事件，
所以P(N)＝318＝16，
由對立事件的概率公式得P(N)＝1－P(N)＝1－16＝56.
21．(12分)設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.
(1)若a是從－4，－3，－2，－1四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從1,2,3三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率；
(2)若a是從區(qū)間[－4，－1]任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[1,3]任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率．
解析：設(shè)事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實根”．
當a＜0，b＞0時，方程x2＋2ax＋b2＝0有實根的充要條件為a＋b≤0.
(1)基本事件共12個：(－4,1)，(－4,2)，(－4,3)，
(－3,1)，(－3,2)，(－3,3)，(－2,1)，(－2,2)，(－2,3)，(－1,1)，(－1,2)，(－1,3)．
其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值．事件A中包含9個基本事件，事件A發(fā)生的概率為
P(A)＝912＝34.
(2)試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為
{(a，b)－4≤a≤－1,1≤b≤3}，構(gòu)成事件A的區(qū)域為{(a，b)－4≤a≤－1,1≤b≤3，a＋b≤0}，
所求概率為這兩區(qū)域面積的比．
所以所求的概率P＝3×2－12×223×2＝23.
22．(12分)某單位要在甲、乙、丙、丁4人中安排2人分別擔任周六、周日的值班任務(wù)(每人被安排是等可能的，每天只安排一人) ．
(1)共有多少種安排？
(2)其中甲、乙兩人都被安排的概率是多少？
(3)甲、乙兩人中至少有一人被安排的概率是多少？
解析：(1)安排情況如下：
甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙．故共有12種安排方法．
(2)甲、乙兩人都被安排的情況包括：“甲乙”，“乙甲”兩種，故甲、乙兩人都被安排(記為事件A)的概率為
P(A)＝212＝16.
(3)方法一：“甲、乙兩人中至少有一人被安排”與“甲、乙兩人都不被安排”這兩個事件是對立事件，∵甲、乙兩人都不被安排的情交包括：“丙丁”，“丁丙”兩種，則“甲、乙兩人都不被安排的概率為212＝16”．
∴甲、乙兩人中至少有一人被安排(記為事件B)的概率P(B)＝1－16＝56.
方法二：甲、乙兩人中至少有一人被安排的情況包括：“甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丁甲，丁乙”共10種，∴甲、乙兩人中至少有一人被安排(記為事件B)的概率P(B)＝1012＝56.

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