一. 教學(xué)內(nèi)容：分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理、排列
二. 教學(xué)重、難點(diǎn)：
1. 分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，分步計(jì)數(shù)原理
2.
【典型例題
[例1] 有三個(gè)袋子，其中一個(gè)袋子裝有紅色小球20個(gè)，每個(gè)球上標(biāo)有1至20中的一個(gè)號(hào)碼，一個(gè)袋子裝有白色小球15個(gè)，每個(gè)球上標(biāo)有1至15中的一個(gè)號(hào)碼，第三個(gè)袋子裝有黃色小球8個(gè)，每個(gè)球上標(biāo)有1至8中的一個(gè)號(hào)碼。
（1）從袋子里任取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？
（2）從袋子里任取紅、白、黃色球各一個(gè)，有多少種不同的取法？
解：
（1）任取一個(gè)小球的方法可分三類(lèi)，一類(lèi)取紅球，有20種取法；一類(lèi)取白球，有15種取法；一類(lèi)取黃球，有8種取法。由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理共有20 15 8=43種不同取法。
（2）取三色小球各一個(gè)，可分三步完成，先取紅球。有20種取法；再取白球，有15種取法；最后取黃球，有8種取法。由分步計(jì)數(shù)原理，共有 種不同的取法。
[例2] 在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少個(gè)？
解：分析個(gè)位數(shù)字，可分以下幾類(lèi)：
個(gè)位是9，則十位可以是1，2，3，……，8中的一個(gè)，故有8個(gè)；
個(gè)位是8，則十位可以是1，2，3，……，7中的一個(gè)，故有7個(gè)；
與上同樣。
個(gè)位是7的有6個(gè)；
個(gè)位是6的有5個(gè)；
……
個(gè)位是2的只有1個(gè)。
由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理知，滿(mǎn)足條件的兩位數(shù)有 （個(gè)）
[例3] 如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線(xiàn)表示它們有網(wǎng)線(xiàn)相聯(lián)，連線(xiàn)標(biāo)注的數(shù)字，表示該網(wǎng)線(xiàn)單位時(shí)間內(nèi)可以通過(guò)的最大信息量，現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息，信息可以分開(kāi)沿不同的路線(xiàn)同時(shí)傳遞，則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為多少？
解：沿12?D5?D3路線(xiàn)傳遞的信息最大量為3（單位時(shí)間內(nèi)），沿12?D6?D4路線(xiàn)傳遞信息的最大量為4……由于以上每個(gè)線(xiàn)路均能獨(dú)立完成這件事（傳遞信息），故單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為3 4 6 6=19。
[例4] 用6種不同的顏色對(duì)下圖中5個(gè)區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能同色，那么共有多少種不同的涂色方法？
解：分五步進(jìn)行，第一步給5號(hào)域涂色有6種方法
第二步給4號(hào)涂有5種方法
第三步給1號(hào)涂有5種方法
第四步給2號(hào)涂有4種方法
第五步給3號(hào)涂有4種方法
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有 值
（1） ；（3） 。
解：（1）由排列數(shù)公式，
得
整理得 或 （舍去） ∴
解得
（3）由排列數(shù)公式，得 ∴ ；
（2）
∴
（3）∵
[例7] 由0，1，2，3，4，5共六個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且能被5整除的六位數(shù)？
解：組成的六位數(shù)與順序有關(guān)，但首位不能排0，個(gè)位必須排0或5，因此分兩類(lèi)：第一類(lèi)：個(gè)位必須排0，此時(shí)前五位數(shù)由1，2，3，4，5共五個(gè)數(shù)字組成，這五個(gè)數(shù)字的每一個(gè)排列對(duì)應(yīng)一個(gè)六位數(shù)，故此時(shí)有 個(gè)六位數(shù)。第二類(lèi)：個(gè)位數(shù)排5，此時(shí)為完成這件事（構(gòu)造出六位數(shù)）還應(yīng)分兩步，第一步排首位，有4種排法，第二步排中間四位，有 個(gè)。
[例8] 用0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，其依次從小到大的排列。
（1）第49個(gè)數(shù)是多少？（2）23140是第幾個(gè)數(shù)？
解：（1）1、2是首數(shù)時(shí)各組成 個(gè)；2在萬(wàn)位，0、1在千位的共有 個(gè)，還有23104比23140小，故23140是第 種方法，然后讓剩下的5個(gè)人（其中包括甲）站在中間的5個(gè)位置，有 種站法。
方法二：因?yàn)榧撞辉趦啥�，分兩步排�?duì)，首先排甲，有 種方法，第二步讓其他6人站在其他6個(gè)位置上，有 種方法，第二步讓甲插入這6個(gè)人之間的空當(dāng)中，有 種，故共有 種站法。
方法四：在排隊(duì)時(shí)，對(duì)7個(gè)人，不考慮甲的站法要求任意排列，有 種方法，因此共有 種排法，再考慮其余5個(gè)元素的排法有 種。
方法二：甲、乙兩人不能站在兩端，應(yīng)包括同時(shí)不在兩端，某一人在兩端，故用排異法，應(yīng)減去兩種情況，同時(shí)在兩端，有 種不同站法。
（3）分三步：第一步，從甲、乙以外的5個(gè)人中任選2人排在甲、乙之間的兩個(gè)位置上，有 種方法，第三步，對(duì)甲、乙進(jìn)行全排列，故共有 種不同站法。
（4）方法一：男生站在前4個(gè)位置上有 種站法，男女生站成一排是分兩步完成的，因此這種站法共有 種站法，這兩種站法都符合要求，所以四名男生站在一起，三名女生也站在一起的站法共有 種排法，然后排四名男生，有 種排法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，將四名男生站在一起，三名女生站在一起的站法有 種排法，在四名男生間的三個(gè)間隔共有三個(gè)位置安排三名女生，有 種排法符合要求，故四名男生三名女生相間排列的排法共有 種。
（6）在7個(gè)位置上任意排列7名學(xué)生，有排法 中每一種情況均以 種。
[例10] 某班開(kāi)設(shè)的課程有語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、政治、物理、化學(xué)、生物、體育共8門(mén)。若星期一上午排4節(jié)不同的課，并且規(guī)定體育課不能排在第一節(jié)及第四節(jié)，那么星期一上午該班的課程表有多少種不同的排法？
解：若不排體育課，則有 ，且A中至少有一個(gè)奇數(shù)，則這樣的集合有（ ）
A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 高中物理 5個(gè)
2. 書(shū)架上、下兩層分別放有5本不同的數(shù)學(xué)書(shū)和4本不同的語(yǔ)文書(shū)，從中選兩本數(shù)學(xué)書(shū)和一本語(yǔ)文書(shū)，則不同的選法有 種（ ）
A. 9 B. 13 C. 24 D. 40
3. 不等式 B. 或 或
4. 已知 的值為（ ）
A. 7 B. 2 C. 6 D. 8
5. 2個(gè)男生和4個(gè)女生排成一排，其中男生既不相鄰也不排兩端的不同排法有（ ）
A. 種
C. 種
6. 27位女同學(xué)排隊(duì)照相，第一排8人，第二排9人，第三排10人，則所有不同的排法種數(shù)為（ ）
A.
C.
二. 解答題
1. （1）某教學(xué)樓有三個(gè)不同的樓梯，4名學(xué)生要下樓，共有多少種不同的下樓方法？（2）有4名同學(xué)要爭(zhēng)奪3個(gè)比賽項(xiàng)目的冠軍，冠軍獲得者共有多少種可能？
2. 現(xiàn)有高一年級(jí)四個(gè)班學(xué)生34人，其中一、二、三、四班分別有7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組。
（1）選其中一人為負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？
（2）每班選一名組長(zhǎng)，有多少種不同的選法？
（3）推選兩人作中心發(fā)言，這兩人需來(lái)自不同的班級(jí)，有多少種不同的選法？
3. 解下列各式中的 值。
（1） （2）
【試題答案】
一. 選擇題
1. D 2. D 3. C 4. A 5. A 6. C
二. 解答題
1. 解：
（1）4名學(xué)生分別下樓，即問(wèn)題分4步完成。每名學(xué)生都有3種不同的下樓方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的下樓方法共有 種。
（2）確定3項(xiàng)冠軍人選可逐項(xiàng)完成，即分3步，第1項(xiàng)冠軍人選有4種可能，第2項(xiàng)與第3項(xiàng)也均有4種可能，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：冠軍獲得者共有 （種）
（2）分四步，易知不同的選法總數(shù)
（種）
（3）分六類(lèi)，每類(lèi)又分兩步，從一、二班學(xué)生中各選1人，有 種不同的選法；從一、三班學(xué)生中各選1人，有 種不同選法；從一、四班學(xué)生中各選1人，有 種不同的選法；從二、三班學(xué)生中各選1人，有 種不同的選法，所以共有不同的選法數(shù)
∴
∴ （舍）
（2）
∴ （舍）
4. 解：
（1）先排乙有2種方法，再排其余5位同學(xué)有 種排法。
（4） 種排法。
（5） 種排法。
（6）7個(gè)學(xué)生的所有排列中，3名女生交換順序得到的排列只對(duì)應(yīng)一個(gè)符合題意的排隊(duì)方式，故共有 種排法。
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